2023年國際隊際賽數(shù)學(xué)競賽試題（圖片版含解析）

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MathematicsCompetition2023

(Virtual)

2023

Bulgaria,1stto7thJuly2023

青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽

隊際賽試題

1.

設(shè)p、9、r為方程x3-9x2+11x-1=0的非負(fù)實根。若s=√D+√G+√F,請

問s4-18s2-8之值為何？【泰國供題】

2.

己知ABCD為矩形，點E在線段BC

上，圓心在點A的圓w經(jīng)過點E。

EB的延長線與w相交于點X而EA

的延長線與ω相交于點Y,如下圖所

示。證明：DC與經(jīng)過點Y、X、D的

B

圓相切。【墨西哥供題】

0

3.

在給定的凸四邊形ABCD中，有∠CAD=40°、

A

∠BAC=50°、∠CBD=20°以及∠CDB=25°，

如圖所示。若點O為AC與BD的交點，請問

50%

∠AOB為多少度？【越南供題】

40

B

209

0

250

C

D

4.小工將一些珠子放入100個黑色的袋子內(nèi)，袋子分別標(biāo)號為1到100。每個

回合，您可以詢問小丁任何15個相異的袋子內(nèi)珠子數(shù)之總和的奇偶性。請

問您最少需要詢問小丁幾個回合才能確定1號袋子內(nèi)珠子數(shù)量的奇偶性？

請給出一個詢問方式，并證明您的結(jié)論。【中國供題】

5.

己知三角形ABC是一個直角三角形，其中∠C=90°、AC=28cm以及

BC=14cm。正方形ACDE與BCFG為三角形ABC外部的正方形，令BE

與AC交于點H、與AG交于點I而AG與BC交于點J,如圖所示。請問四

邊形CHJ的面積是多少cm2【評審供題】

G

B

A

C

H

D

E

6.求最小的正整數(shù)，使得存在一個無限多項的等差數(shù)列，滿足下列性質(zhì)：

·數(shù)列的每一項為正整數(shù)。

·數(shù)列的公差為d。

·數(shù)列的項都不出現(xiàn)在斐波那契數(shù)列中。

(斐波那契數(shù)列的定義為F=1、F=1、F+2=F,+F1,n21)【秘魯供題】

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Bulgaria,1stto7thJuly2023

青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽

隊際賽試題

1.

設(shè)p、q、r為方程x3-9x2+11x-1=0的非負(fù)實根。若s=√D+√G+F,請

問s4-18s2-8y之值為何？【泰國供題】

【參考解法】

由于p、q、r為方程x3-9x2+11x-1=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理，我們得到

p+q+r=9,pg+4+p=11以及pgr=1。由于s=√D+√G+VF,因此有

s2=p+q+r+2(Vpg+√gr+√m)

=9+2(Vpg+√qr+Vm)

s2-9=2(√pg+√qr+√p)

現(xiàn)在平方得到

s-18s2+81=4(pq+qr+rp+2pqr(p+q+))

=4(11+2s)

s4-18s2-8s=44-81=-37

因此s4-18s2-8s=37.

答：37

2.

己知ABCD為矩形，點E在線段BC

X

上，圓心在點A的圓o經(jīng)過點E。

EB的延長線與w相交于點X而EA

的延長線與ω相交于點Y,如下圖所

示。證明：DC與經(jīng)過點Y、X、D的

A

B

圓相切?！灸鞲绻╊}】

0

【參考解法1】

連接點D與X設(shè)∠DXC=a。

E

由于XC與CD垂直，因此

∠CDX=90°-a。連接Y與X,由于X在

圓上，EY為直徑，因此∠YXE=90°。由于

∠DCX=