隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用

隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)微分方程的重要性近年來，隨機(jī)微分方程，隨機(jī)分析有了迅速發(fā)展，隨機(jī)微分方程的理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、物理、自動化等領(lǐng)域。

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，用隨機(jī)微分方程來解決期權(quán)定價(jià)的問題，在產(chǎn)品的銷售，市場的價(jià)格等隨機(jī)事件中，可根據(jù)大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定某個隨機(jī)變量，并附加初始條件建立隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)模型，從而推斷出總體的發(fā)展變化規(guī)律。

在生物領(lǐng)域，用于揭示疾病的發(fā)生規(guī)律以及疾病的傳播流行過程，腫瘤演化機(jī)制等。

在物理領(lǐng)域，用于布朗粒子的逃逸與躍遷問題，反常擴(kuò)散。第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月33隨機(jī)微分方程——定義設(shè)X為n維的隨機(jī)變量,W為m維的維納運(yùn)動，b和B是給定的函數(shù)，并不是隨機(jī)變量，，1、隨機(jī)微分方程的定義：那么隨機(jī)微分方程可以表示成如下形式：若X滿足等式：那么X就是此隨機(jī)微分方程的解。如果系數(shù)b和B分別滿足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就稱此方程為線性隨機(jī)微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么線性隨機(jī)微分方程是齊次的。如果F(t)=0，這稱隨機(jī)微分方程狹義上是線性。3第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月444隨機(jī)微分方程——解的形式2、線性隨機(jī)微分方程的解的形式以上我們定義的是基于n維隨機(jī)變量和m維布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程，實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)為一維的情況，以下給出一維中隨機(jī)微分方程的解的具體形式當(dāng)m=n=1時(shí)，線性隨機(jī)微分方程的一般形式如下：解為：其中4第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)微分方程舉例2、線性隨機(jī)微分方程舉例例1、股票價(jià)格設(shè)P(t)表示在t時(shí)刻股票的價(jià)格，通過股票價(jià)格的變化率可以建立P(t)的隨機(jī)微分方程：其中υ和σ為常數(shù)，υ>0表示股票趨勢項(xiàng)，σ表示股票波動項(xiàng)，則微分方程轉(zhuǎn)化為下面的形式：根據(jù)伊藤公式可知：第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)微分方程舉例可以解出P(t)：由此可知，若初始價(jià)格為正直，則股票價(jià)格總是正的。由隨機(jī)微分方程可知：并且，則可知：可以解出：因此股票價(jià)格的期望值由股票的趨勢項(xiàng)決定，與股票的波動沒有關(guān)系。第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月7隨機(jī)微分方程舉例例2：朗之萬方程存在摩擦力的情況下，布朗粒子的運(yùn)動模型服從一維的隨機(jī)微分方程，，其中ξ表示白噪聲，b>0表示摩擦系數(shù)，σ表示擴(kuò)散系數(shù)。在此方程中，X代表布朗粒子的運(yùn)動速率。X0與維納過程相互獨(dú)立，因?yàn)榘自肼暿蔷S納過程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以此方程等價(jià)于下面的隨機(jī)微分方程：根據(jù)線性隨機(jī)微分方程解的形式可以求得此微分方程的解為：第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月8隨機(jī)微分方程舉例可以求出X的期望：則X的方差為：則當(dāng)t趨于無窮大時(shí)：從解的形式來看，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，X的漸近分布為正態(tài)分布，與初始分布無關(guān)。第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月9隨機(jī)微分方程舉例例3：烏倫貝克過程布朗運(yùn)動的另一隨機(jī)微分方程模型：其中Y(t)是t時(shí)刻布朗粒子的位移，Y0與Y1是給定的高斯隨機(jī)變量，b>0是摩擦系數(shù)，σ是擴(kuò)散系數(shù)，ξ通常為白噪聲。若，即X表示速率，則原方程等價(jià)于以下朗之萬方程：則方程的解為：第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月10隨機(jī)微分方程舉例則可以解出原微分方程的解Y(t)：例4：隨機(jī)諧波振子其中表示線性的保守勢場力，表示摩擦阻尼力，ξ表示白噪聲，可以通過一般的公式來求解此隨機(jī)微分方程。當(dāng)X1=0，b=0，σ=1時(shí)，隨機(jī)微分方程的解為：第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月1111逃逸問題隨機(jī)諧波振子的微分方程進(jìn)行推廣可以的得到如下方程：阻尼力，b是摩擦系數(shù)保守勢場力，V(x)即為勢函數(shù)，在隨機(jī)諧波振子微分方程中為線性的，當(dāng)勢函數(shù)為非線性的時(shí)，就會存在逃逸的問題。隨機(jī)力或噪聲項(xiàng)，通常為高斯白噪聲1.摩擦系數(shù)b可以是線性的，也可以是非線性的。2.此方程中X的導(dǎo)數(shù)為一階，然而X的導(dǎo)數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即分?jǐn)?shù)階摩擦11第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月121212逃逸問題逃逸問題是研究系統(tǒng)在隨機(jī)力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程，盡管隨機(jī)力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，從而使原來的穩(wěn)態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變，我們基于以上的隨機(jī)微分方程來研究布朗粒子的逃逸問題。若勢函數(shù)V(x)是非線性的，且是單勢阱，結(jié)構(gòu)如下圖：

12第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月131313逃逸問題從勢函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖中可以看出該勢阱的高度為，勢能最小值的位置坐標(biāo)為xs，也是V(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，最大值的位置坐標(biāo)為xu，也是V(x)的不穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，，因此系統(tǒng)在負(fù)x方向是被束縛的，x<xu叫做束縛區(qū)（穩(wěn)定區(qū)）；而在x正方向不受束縛，即當(dāng)x>xu,系統(tǒng)會自動趨于無窮，所以x>xu叫做逃逸區(qū)。研究系統(tǒng)從束縛區(qū)進(jìn)入逃逸區(qū)的問題，就叫“逃逸問題”。13當(dāng)勢阱函數(shù)V(x)為雙穩(wěn)勢阱時(shí)，在隨機(jī)力的作用下，兩個勢阱中的運(yùn)動不再相互獨(dú)立，初始在某一勢阱內(nèi)的系統(tǒng)，會在不同時(shí)間以不同的概率進(jìn)入另一勢阱。逃逸問題也就轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)在隨機(jī)力的作用下兩個穩(wěn)態(tài)之間的躍遷問題。第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月141414逃逸問題如圖所示：它在x的正負(fù)無窮上都是受束縛的，勢函數(shù)有兩個極小值（穩(wěn)定解）和一個極大值（不穩(wěn)定解）。如果不存在隨機(jī)力的作用，初態(tài)處于的勢阱內(nèi)的粒子將逗留在原勢阱內(nèi)，它們將各自趨于初態(tài)所處勢阱的極小值，即到達(dá)系統(tǒng)的穩(wěn)定解。而一旦到達(dá)了此穩(wěn)態(tài)，粒子將永遠(yuǎn)不再偏離。但若存在隨機(jī)力激勵的條件下，則粒子就可能在兩個穩(wěn)態(tài)之間躍遷。14V(x)的雙勢阱結(jié)構(gòu)圖第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月1515逃逸問題逃逸率和平均首次穿越時(shí)間是用來刻畫逃逸過程和躍遷過程的兩個重要的特征量，布朗粒子首次穿過勢壘所用的時(shí)間即為首通時(shí)間，由于隨機(jī)力的作用，在同樣條件的各次實(shí)驗(yàn)中，首通時(shí)間是各不相同的，即從一個穩(wěn)態(tài)出發(fā)系統(tǒng)越過勢壘進(jìn)入另一勢阱所用時(shí)間在各次試驗(yàn)中是不同的，這些時(shí)間的平均值叫作平均第一渡越時(shí)間（MFPT）。15第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月16非線性摩擦下的逃逸率Model：粒子的質(zhì)量，假設(shè)m=1高斯白噪聲，噪聲強(qiáng)度為D16（1）γ(v)表示非線性摩擦函數(shù)，在非平穩(wěn)問題中，摩擦函數(shù)有RH和SET兩種形式。RH摩擦函數(shù)的表達(dá)式：u0表示在沒有噪聲激勵下，粒子最終到達(dá)的速度，假設(shè)u0=1,γ0=20,SET摩擦函數(shù)的表達(dá)式：,假設(shè)β=2（2）勢函數(shù)U(x)的表達(dá)式為：，A表示振幅，則U(x)的結(jié)構(gòu)圖如下：第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月17非線性摩擦下的逃逸率如圖所示，勢能最小值坐標(biāo)x-min=-1,為穩(wěn)定點(diǎn)，勢能最大值坐標(biāo)x-max=1，為不穩(wěn)定點(diǎn)，x<1為束縛區(qū)，x>1為逃逸區(qū)。如果振幅很小的話，粒子會很容易逃出勢壘，存在臨界值振幅Ac，使得不存在噪聲激勵時(shí)，粒子逗留在原勢阱內(nèi)，不會逃逸。對于不同的摩擦函數(shù)，臨界值的表達(dá)式不同。根據(jù)V的零切線的分叉可以可以計(jì)算出振幅的臨界值。該勢阱的高度為3/4A。第17頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月18非線性摩擦下的逃逸率

零切線：在不存在噪聲的情況下，所表示的直線就是v的零切線。那么v的零切線為方程的圖像，該方程是關(guān)于v的三次方程，如果給定x的值，速率v存在三個解，位于中間的解是動態(tài)不穩(wěn)定的，上下解的分支形成粒子的軌跡，x零切線與v的切斜線相交僅僅形成兩個不穩(wěn)定的固定點(diǎn)。通過上下解的分歧情況可以求出振幅的臨界值。18對于SET摩擦函數(shù)臨界振幅為：

當(dāng)β=2時(shí)，Ac=0.3對于RH摩擦函數(shù)臨界振幅為：，當(dāng)u0=1時(shí)，Ac=0.38第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月19非線性摩擦下的逃逸率如圖所示，可以看出，當(dāng)振幅小于臨界值時(shí)，粒子的軌跡與零切線很接近，并且很快逃出穩(wěn)定區(qū)，當(dāng)振幅大于臨界值時(shí)，粒子保持在最小值附近，軌跡類似于一極限環(huán)，即布朗粒子的運(yùn)動穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)。在無噪聲激勵下，布朗粒子的樣本路徑如圖：19第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月20非線性摩擦下的逃逸率Escapestatistics：由以上討論可知，在沒有噪聲激勵的情況下，如果振幅大于臨界值，布朗粒子將逗留在穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，在一極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動。如果存在噪聲的激勵，粒子將逃離穩(wěn)定區(qū)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子越容易逃離，用逃逸率來衡量粒子逃逸的容易度，研究隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸率將如何變化。在此逃逸率是用平均首次穿越時(shí)間的倒數(shù)來計(jì)算的。為了測量不同噪聲強(qiáng)度下粒子的逃逸率，選取初始狀態(tài)為x(0)=-1，v(0)=-1，計(jì)算粒子首次通過極限值xth=5的平均時(shí)間，也可以選取穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的其他初始狀態(tài)，這并不影響我們模擬的結(jié)果。第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月21非線性摩擦下的逃逸率逃逸率隨噪聲強(qiáng)度的變化如下圖：21第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月22非線性摩擦下的逃逸率結(jié)論：

（1）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強(qiáng)度的增加，明顯地，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，噪聲強(qiáng)度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強(qiáng)度的增大而減小，隨后又隨著噪聲強(qiáng)度的增加而增大，產(chǎn)生了最大值和最小值。

（2）當(dāng)A=0.41時(shí)，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，當(dāng)振幅比較大時(shí)，對所有的噪聲強(qiáng)度而言。逃逸率都會減小，但是在噪聲強(qiáng)度較弱時(shí)，減小的更明顯。（3）隨著振幅的增加，逃逸率的最大值將會在更大的噪聲強(qiáng)度處取得，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，逃逸率的最大值將消失，逃逸率隨著噪聲強(qiáng)度的增大嚴(yán)格遞增。22第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月23非線性摩擦下的逃逸率為了更好的理解逃逸率與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系，畫出了在不同噪聲強(qiáng)度下的粒子逃逸軌跡如下圖：無噪聲激勵的情況下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動，沒能逃出勢壘在噪聲強(qiáng)度很小的情況下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動一段時(shí)間，最后通過分界線逃出勢壘隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子更有可能逃出勢壘，在極限環(huán)內(nèi)只運(yùn)動幾圈在一定的噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸率減小，粒子穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)，降低了逃逸的可能，但是最終也逃出勢壘23第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月24非線性摩擦下的逃逸率Summary:論文研究了在非線性摩擦函數(shù)的情況下，逃逸率與噪聲強(qiáng)度呈現(xiàn)非單調(diào)的關(guān)系，這與線性情況下的單調(diào)關(guān)系完全不一致。依賴噪聲的非單調(diào)逃逸率并非僅僅限制在一維的模型中，也可能在高維的模型中存在。24第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)一步研究的問題1.非高斯型噪聲2.分?jǐn)?shù)階摩擦3.生物系統(tǒng)中的應(yīng)用：腫瘤模型和神經(jīng)元模型

基于隨機(jī)微分方程的腫瘤演化機(jī)制及動力學(xué)行為研究第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月1.非高斯型的噪聲以上我們提到的噪聲都是高斯白噪聲，即概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，功率譜密度是常數(shù)的噪聲，自然界中并不存在真正的白噪聲，只是在噪聲相關(guān)時(shí)間遠(yuǎn)小于確定性系統(tǒng)的弛豫時(shí)間時(shí)，噪聲之間的關(guān)聯(lián)才可以近似地忽略，當(dāng)作白噪聲來處理。則概率密度函數(shù)不服從正態(tài)分布的噪聲為非高斯型噪聲，可以通過高斯白噪聲的線性表達(dá)形成非高斯型噪聲。假設(shè)η(t)為非高斯噪聲，則η(t)滿足下列線性方程：其中，τ表示相關(guān)時(shí)間，ξ(t)表示高斯白噪聲，D表示噪聲強(qiáng)度，q表示η(t)偏離高斯分布的程度。第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月27272.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)GL定義1、Grunwald-Letnikov（GL）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義對于連續(xù)函數(shù)y=f(t)，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階導(dǎo)數(shù)定義式為：依據(jù)相同的定義，可以推出二階導(dǎo)數(shù)的定義式：同理可得函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)為：27第27頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月28282.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)GL定義以此類推，n階導(dǎo)數(shù)的一般定義可以記為：式中：推廣以上等式，當(dāng)n為任意正實(shí)數(shù)α，可以導(dǎo)出GL分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的形式：28第28頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月2929292.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)RL定義其中：2、黎曼-劉維爾（RL）分?jǐn)?shù)階微積分定義（1）RL分?jǐn)?shù)階積分

首先定義2階積分函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間，且函數(shù)f(x)的一階積分函數(shù)在該區(qū)間上局部黎曼可積，則對，稱為