三次樣條插值

三次樣條插值第1頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3三次樣條插值學(xué)習(xí)目標(biāo)：

知道三次樣條插值函數(shù)的概念，會(huì)求三次樣條插值函數(shù)，進(jìn)行誤差分析。第2頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分段插值但分段線(xiàn)性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑┤螛訔l插值（先由函數(shù)值確定導(dǎo)數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問(wèn)題）舉例：1汽車(chē)、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線(xiàn)型（光滑）；2木樣條的來(lái)源。2.3.1三次樣條插值函數(shù)的概念

一、背景第3頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)里的樣條(Spline)一詞來(lái)源于它的直觀(guān)幾何背景：繪圖員或板金工人常用彈性木條或金屬條加壓鐵(構(gòu)成樣條!)固定在樣點(diǎn)上，在其它地方讓它自由彎曲，然后畫(huà)下長(zhǎng)條的曲線(xiàn)，稱(chēng)為樣條曲線(xiàn).

樣條曲線(xiàn)實(shí)際上是由分段三次曲線(xiàn)并接而成，在連接點(diǎn)擊樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。第4頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相同數(shù)據(jù)3次樣條插值與Lagrange插值效果比較CubicSplineInterpolationLagrange第5頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定義2.8

（三次樣條函數(shù)）在每一個(gè)小區(qū)間上是次數(shù)多項(xiàng)式。若(1)中三次樣條函數(shù)還滿(mǎn)足插值條件：關(guān)于剖分稱(chēng)為的三次樣條插值函數(shù)。

，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。滿(mǎn)足下述條件：如果函數(shù)(1)設(shè)有對(duì)[a,b]的剖分的一個(gè)3次樣條函數(shù)。為關(guān)于剖分則稱(chēng)

函數(shù)表（2）設(shè)給定二、樣條函數(shù)的定義第6頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月提出問(wèn)題：3次樣條插值函數(shù)是否存在？是否唯一？如何計(jì)算？誤差估計(jì)？問(wèn)題的提法：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造3次樣條函數(shù),滿(mǎn)足插值條件

第7頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月構(gòu)造方法：

S(x)應(yīng)具有如下形式并且滿(mǎn)足條件(2.42)和(2.43)第8頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析：

因上是分段3次多項(xiàng)式，即為4n個(gè)待定系數(shù):從而S(x)共須4n個(gè)獨(dú)立條件確定.①內(nèi)部條件：

S和S′,S’’在n-1個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù),即滿(mǎn)足條件(2.43),因而(2.43)給出了3(n-1)

個(gè)條件；(2.43)第9頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

②已有條件：共有個(gè)條件,要唯一確定,還必須附加2個(gè)條件(2.42)提供了n+1個(gè)獨(dú)立條件;(邊界條件)。③附加2個(gè)條件，有多種給法.最常見(jiàn)的給法是:(a)

（簡(jiǎn)支邊界，導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式,M關(guān)系式）,

特別地,(自然邊界,三次自然樣條);(b)

(固支邊界,導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式,m關(guān)系式).(2.44)(2.45)第10頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第3種邊界條件（周期邊界條件）：為周期函數(shù)，此時(shí)稱(chēng)為周期樣條函數(shù)。亦是周期函數(shù)，周期為，即取要求

注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。

注意：上述①給出的個(gè)條件是問(wèn)題本身隱含的，②和③共個(gè)獨(dú)立條件須提供，故節(jié)點(diǎn)三次樣插值問(wèn)題只有個(gè)自由度.(請(qǐng)與分段三次Hermite插值比較!)第11頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這樣，由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出4n個(gè)方程，可以惟一確定4n個(gè)系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，這種做法當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法。且(1)如果是定義在上函數(shù)且已知函數(shù)表

定理2.8（3次樣條插值函數(shù)存在唯一）唯一3次樣條插值函數(shù),且滿(mǎn)足(2)給定邊界條件，則于存在第12頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

推導(dǎo)方法：1、先確定插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，記為該方法即為3次樣條插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示。2、先確定插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為該方法即為3次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示。第13頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月------三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱(chēng)用表示的算法為三彎矩算法。2.3.2三彎矩算法第14頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得第15頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由條件，確定積分常數(shù)第16頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將上式代入(2.48)得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式由上討論可知,只要確定Mj(j=0,1,…n)這n+1個(gè)值,就可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了確定Mj(j=0,1,…n),對(duì)S(x)求導(dǎo)得第17頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第18頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第19頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.55）

上式兩邊同乘以,即得方程若記

（2.56）第20頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成（2.58）即

（2.57）

——三彎矩方程第21頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線(xiàn)性方程組.要完全確定Mi(i=0,1,…,n)的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，根據(jù)插值區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來(lái)補(bǔ)充。第22頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，則令j=0，令j=n，第23頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第24頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1個(gè)方程第25頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)對(duì)第三類(lèi)邊界條件：兩邊同除以(j=n)(j=n)(j=0)第26頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令得又由,三彎矩方程可寫(xiě)為第27頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明：

（1）方程組(2.59)~(2.61)系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此方程組(2.59)~(2.61有唯一解

（2）Mj在力學(xué)上為細(xì)梁在xj處截面處的彎矩,且彎矩與相鄰的兩個(gè)彎矩有關(guān),故方程組(2.59)~(2.61)稱(chēng)為三彎矩方程。Mj在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為曲率。

實(shí)際上,方程組(2.59)~(2.61)的系數(shù)矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，在后面線(xiàn)性方程組的解法中，將專(zhuān)門(mén)介紹這類(lèi)方程組的解法和性質(zhì)。

第29頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.14

設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，函數(shù)的值為，。試求三次樣條插值函數(shù)，滿(mǎn)足條件

解（1）利用方程組（2.56）進(jìn)行求解，可知第30頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)第一類(lèi)邊界條件代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有第31頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（２）仍用方程組進(jìn)行求解，不過(guò)要注意的不同。由于和已知，故可以化簡(jiǎn)得第32頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此解得。

將代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有第33頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.15

已知的函數(shù)值如下：

x1245

f(x)1342在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿(mǎn)足邊界條件解:這是在第二種邊界條件下的插值問(wèn)題，故確定的方程組形如（2.60）所示，由已知邊界條件,有則得求解的方程組為第34頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與

第35頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則得方程組解得

又

即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式,由式（2.51）知,S(x)在上的表達(dá)式為代入式(2.50)將代入上式化簡(jiǎn)后得

第36頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理S(x)在上的表達(dá)式為

S(x)在上的表達(dá)式為第37頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式為

第38頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

下面構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)值表示的三次樣條插值函數(shù)。在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在截面處的轉(zhuǎn)角，并且得到的轉(zhuǎn)角與相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱(chēng)用表示的算法為三轉(zhuǎn)角算法。2.3.3三轉(zhuǎn)角算法第39頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)Hermite插值函數(shù)的唯一性和表達(dá)式可設(shè)S(x)在區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…n-1)的表達(dá)式為第40頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)S(x)求二次導(dǎo)數(shù)得于是有同理，考慮S(x)在[xi-1,xi]上的表達(dá)式，可以得到第41頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用條件，得（2.62）其中，由（2.56）所示，而（2.63）

方程組(2.63)是關(guān)于的方程組,有個(gè)未知數(shù),但只有個(gè)方程.可由(2.44)—(2.46)的任一種邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。

第42頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可解得m1,m2,…,mn-1

，從而得S(x)的表達(dá)式.（2.64）①對(duì)于邊界條件(2.45),兩個(gè)方程則m1,m2,…,mn-1滿(mǎn)足方程組

第43頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①對(duì)于邊界條件(2.44),可導(dǎo)出兩個(gè)方程:(2.65)第44頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若令則（2.62）和（2.65）可合并成矩陣形式（2.66）可解出從而得S(x)的表達(dá)式.第45頁(yè)，課件共48頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由(2.6