第二章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

第二章

時域離散信號和系統(tǒng)的頻率分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1Fourier變換的幾種可能形式

時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換FT時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)FS

時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而頻域的離散對應(yīng)時域是周期函數(shù)。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換DTFT

時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)性質(zhì)見書P29-35第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換DFT

一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對上式進(jìn)行抽樣，得：

導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復(fù)數(shù)傅氏級數(shù)開始的：連續(xù)的傅氏級數(shù)離散的傅氏級數(shù)第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因是離散的，所以應(yīng)是周期的。

代入而且，其周期為，因此應(yīng)是N點的周期序列。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

又由于所以求和可以在一個周期內(nèi)進(jìn)行，即

這就是說，當(dāng)在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析二.的k次諧波系數(shù)的求法

1.預(yù)備知識第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

同樣，當(dāng)時，p也為任意整數(shù)，則所以亦即第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

的表達(dá)式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析的DFS第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

通常將定標(biāo)因子1/N移到表示式中。即：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3.離散傅氏級數(shù)的習(xí)慣表示法

通常用符號 代入，則：正變換：反變換：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4.的周期性周期性：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析其中，a,b為任意常數(shù)。二、DFS的性質(zhì)1、線性如果則有第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2、序列的移位則有：如果第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時，i=m;n=N-1時，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數(shù)。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3、調(diào)制特性

如果

則有第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析證明：時域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4、周期卷積和

1）如果則：證明從略。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）兩個周期序列的周期卷積過程（1）畫出和的圖形；（2）將翻摺,得到

可計算出：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析m計算區(qū)mm0123第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（3）將右移一位、得到可計算出：m第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析計算區(qū)mm0123m第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（4）將再右移一位、得到，可計算出：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（5）以此類推，

第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n1344計算區(qū)31第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3.頻域卷積定理如果，則證明從略。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預(yù)備知識1.余數(shù)運算表達(dá)式如果，m為整數(shù)；則有：此運算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取模值,或簡稱為取模值,n模N。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析例如：(1)(2)第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運作;而 視作將周期延拓。2.第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析二.有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析如：N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析三.周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系

同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。

而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析四.從DFS到DFT

從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。

因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,0kN-1,0nN-1或者：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析五、

DFT的性質(zhì)1、線性1）兩序列都是N點時如果

則有：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）和的長度N1和N2不等時，選擇為變換長度,短者進(jìn)行補零達(dá)到N點。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2、序列的圓周移位1）定義一個有限長序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將進(jìn)行周期延拓再進(jìn)行移位最后取主值序列：

第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0N-1第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0周期延拓n0左移2第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0取主值N-1第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）圓周位移的含義由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析12345n=0N=6第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3、圓周卷積和1）時域卷積定理設(shè)和均為長度為N的有限長序列，且如果，則第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析證明：相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將周期延拓：則有：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析在主值區(qū)間，所以：N同樣可證：N第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）時域圓周卷積過程N-10nN-10n第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析0m0m0m0m第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析0233211N-1nN最后結(jié)果：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4、有限長序列的線性卷積與圓周卷積1）線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析m-1-2-3mm1012m第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析mn2103145233211012m第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）用圓周卷積計算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列.的長度為,的長度為,先構(gòu)造長度均為L長的序列,即將補零點;然后再對它們進(jìn)行周期延拓，即所以得到周期卷積：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L。由于有個非零值,所以周期L必須滿足:又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析5、共軛對稱性1）周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為同樣，有第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為由于所以

這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3）共軛對稱特性之一證明：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4）共軛對稱特性之二證明：可知：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析5）共軛對稱特性之三證明：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析6）共軛對稱特性之四證明：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析7）共軛對稱特性之五、六8）X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析9）實、虛序列的對稱特性

當(dāng)x(n)為實序列時，根據(jù)特性之三，則

X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：

當(dāng)x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則

X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.2z變換及相關(guān)性質(zhì)時域分析方法變換域分析方法： 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

Laplace變換

Fourier變換 離散時間信號與系統(tǒng)

z變換

Fourier變換第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析一、z變換的定義及收斂域1、z變換的定義序列x(n)的z變換定義為：z是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面例：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2、z變換的收斂域與零極點對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析1）有限長序列第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2）右邊序列第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析因果序列

的右邊序列，Roc:因果序列的z變換必在處收斂在處收斂的z變換，其序列必為因果序列第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3）左邊序列第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4）雙邊序列第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析二、z反變換實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析1、圍線積分法（留數(shù)法）

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而

其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析留數(shù)的計算公式單階極點的留數(shù)：多階極點的留數(shù)：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析三、z變換的基本性質(zhì)與定理1、線性若則第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2、序列的移位若則第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3、乘以指數(shù)序列若則證：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析4、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）若則同理：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析5、共軛序列若則證：第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析6、翻褶序列若則第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析7、初值定理證：因為x(n)為因果序列第二章時域離