幾何證明-角平分線模型

幾何證明——角平分線模型(高級)【經(jīng)典例題】例1、已知如圖，AABC中，BC=AC,AD平分/CAB，若/C=100。，求證：AB=AD+CD。例2、如圖，已知在AABC中，/B=60。,AABC的角平分線AD,CE相交于點O,求證：AE+CD=AC。例3、如圖，BD平分/ABC，ZADB=45。，AE±BC，求/AED.例4、已知，如圖AABC中，AD為AABC的角平分線，求證：AB?DC=AC-BD.例5、如圖，已知P為銳角△ABC內(nèi)一點，過P分別作BC,AC,AB的垂線，垂足分別為D,E,F,BM為/ABC的平分線，MP的延長線交AB于點N；如果PD=PE+PF，求證：CN是/ACB的平分線。例6、如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,ZABC=80。，E是腰CD上一點，連接BE、AC、AE,若ZACB=60。，/EBC=50。，求/EAC的度數(shù).例7、已知：AABC中，AB<BC，AC的中點為M，MN±AC交/ABC的角平分線于N.(1)如圖1,若/ABC=60。，求證：BA+BC=.吞BN；(2)如圖2,若/ABC=120。，則BA、BC、BN之間滿足什么關(guān)系式，并對你得出的結(jié)論給予證明.【提升訓練】1、在AABC中，AB>AC，AD是/BAC的平分線.P是AD上任意一點.求證：AB-AC>PB-PC.

2、如圖，在AABC中，/A等于60。，BE平分/ABC,CD平分/ACB，求證：DH=EH。3、如圖所示，在AABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM±AD于M，求證：AB+AC=2AM。4、已知I是4、已知I是AABC內(nèi)角平分線的交點，AI交對應(yīng)邊于D。求證:AI_AB+ACTDBC5、（1）如圖，BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點A作AF±BD，AG1CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交，求證：FG=：（AB+BC+AC）。（2）若BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線（如圖（2）），過點A作AF1BD，AG1CE，垂足分別為F、G，連接FG，線段FG與AABC三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？；（3）若BD為/ABC的內(nèi)角平分線，CE為AABC的外角平分線（如圖（3）），過點A作AF1BD，AG1CE，垂足分別為F、G，連接FG，則線段FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？6、如圖，已知BD，CE為AABC的角平分錢，F(xiàn)為DE的中點，點F到AC，AB，BC的距離分別為15FH=b，F(xiàn)M=c，若c2—FG=a，F(xiàn)H=b，F(xiàn)M=c，若c2—FG=a，（1）求a，b，c，m的值；（2）求證：DG=4（BC一CD）。.已知如圖，CD是RtAABC斜邊上的高，/A的平分線交CD于H，交/BCD的平分線于G,求證：HF//BC..如圖，BD、CE為AABC的兩條內(nèi)角平分線，K為ED的中點，KFLAB于F,KG±AC于G,KH±BC于H,求證：KF+KG=KH.

9.已知AC9.已知AC=BC,"B=90。/DCB=15。BD=CD,CE±AD于點E,求證：BC=2CE..(1)如圖1,BP為^ABC的角平分線，PM^AB于M,PN，BC于N,AB=30,BC=23,請補全圖形，并求^ABP與ABPC的面積的比值；(2)如圖2,分別以4ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,CD與BE相交于點O,判斷NAOD與NAOE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在四邊形ABCD中，已知BC=DC,且AB/AD,對角線AC平分NBAD,請直接寫出NB和ND的數(shù)量關(guān)系..(1)已知：如圖1,Rt^ABC中，NACB=90°,NBAC=60°,CD平分NACB,點E為AB中點，PELAB交CD的延長線于P,猜想：NPAC+NPBC=。(直接寫出結(jié)論，不需證明).(2)已知：如圖2,Rt^ABC中，NACB=90°,NBAC/45°,CD平分NACB,點E為AB中點，PELAB交CD的延長線于P,(1)中結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立請說明理由..如圖1,分別過線段AB的端點A、B作直線AM、BN,且AM〃BN,NMAB、NNBA的角平分線交于點C,過點C的直線l分別交AM、BN于點D、E.(1)求證：4ABC是直角三角形；(2)在圖1中，當直線l^AM時，線段AD、BE、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想；(3)當直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到與AM不垂直時，在如圖2、3兩種情況下，(2)中的三條線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,并選擇一種情況給予證明..如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD，AB于D,AE平分NBAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一點，且BF=CE,求證：FK〃AB..在AABC中，AD是NBAC的平分線.SAB(1)如圖①，求證：-A4BD二一；SACAACD(2)如圖②(3)如圖③若BD=(2)如圖②(3)如圖③若AB=5,AC=4,BC=6.求BD的長..如圖，在AABC中，NABC=90°,D為BC上一點，在4ADE中，NE=NC,N1=90°-NEDC.求證:(1)N1=N2；(2)ED=BC+BD．.如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在NMON的邊OM上移動，移動過程中始終保持ABLON于點B,AC，OM于點A.NMON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點.(1)點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)點A在移動的過程中，若射線ON上始終存在一點F與點A關(guān)于OP所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點的四邊形是怎樣特殊的四邊形？(3)若NMON=45°,猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，只寫出結(jié)果即可.不用證明..定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)點.如圖1,PH=PJ,PI=PG,則點P就是四邊形ABCD的準內(nèi)點.(1)如圖2,NAFD與NDEC的角平分線FP,EP相交于點P.求證：點P是四邊形ABCD的準內(nèi)點.(2)分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)點．(作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明)(3)判斷下列命題的真假,在括號內(nèi)填“真”或“假”．①任意凸四邊形一定存在準內(nèi)點.(—)②任意凸四邊形一定只有一個準內(nèi)點.(—)③若P是任意凸四邊形ABCD的準內(nèi)點，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.().如圖，已知平行四邊形ABCD中，AE平分NBAD交DC于E,DF，BC于F,交AE于G,且AD=DF.過點D作DC的垂線，分別交AE、AB于點M、N.(1)若M為AG中點，且DM=2,求DE的長；(2)求證:AB=CF+DM..如圖，在平行四邊形ABCD中，NBAD、NABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G,AF與BG交于點E.(1)求證：AF^BG,DF=CG；(2)若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的長度.AB320、平行四邊形ABCD中，--=-,/ABC的平分線交AD于點E,/BCD的平分線交AD于點F,BC4BE、CF交于點G，若FG=4BC。求證：BE2=3CF2。21、如圖，在AABC中，D是/BAC外角平分線上一