2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)利用函數(shù)性質(zhì)解不等式5大題型含解析

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)利用函數(shù)性質(zhì)解不

命題皚勢(shì)等式5大題型

高中數(shù)學(xué)解不等式主要分為兩類，一類是利用不等式性質(zhì)直接解出解集（如二次不等式，分式不等

式,指對(duì)數(shù)不等式等）；另一類是利用函數(shù)的性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運(yùn)算。

利用函數(shù)性質(zhì)解不等式一般情況以選擇題形式出現(xiàn)，考查的角度較多，除了基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)，有時(shí)候

還需要構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考驗(yàn)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)用條件能力，難度較大。

滿分技巧

利用單調(diào)性、奇偶性解不等式原理

1.解/（力）v/S）型不等式

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性,去掉函數(shù)符號(hào)"尸,將''抽象”的不等式問題轉(zhuǎn)化為“具體”的不等式問題求解；

（2）若不等式一邊沒有函數(shù)符號(hào)而是常數(shù)（如/（他）＜。）,那么我們應(yīng)該將常數(shù)轉(zhuǎn)化帶有函數(shù)符

號(hào)的函數(shù)值再解。

2./（?）為奇函數(shù)，形如/（a）+/（九）V0的不等式的解法

第一步:將“⑶移到不等式的右邊，得到/（?。疽?6）;

第二步:根據(jù)/（⑼為奇函數(shù)，得到—m；

第三步:利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào)列出不等式求解。

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式的技巧

1.此類問題往往條件較零散，不易尋找入手點(diǎn)，所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合分析，在草稿上

列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么，兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn)；

2.在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能具備乘除關(guān)系的函數(shù)，在

構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整；

3.此類問題處理的核心要素是單調(diào)性與零點(diǎn)，對(duì)稱性和圖象知識(shí)輔助手段，所以要能夠確定構(gòu)造函數(shù)

的單調(diào)性，猜出函數(shù)的零點(diǎn),那么問題便易于解決了。

三、利用函數(shù)性質(zhì)解不等式的要點(diǎn)

1.構(gòu)函數(shù):根據(jù)所解不等式的結(jié)構(gòu)特征和已知條件構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，把不等式看作一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函

數(shù)值大小比較問題；

2.析性質(zhì)：分析所構(gòu)造函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要包括函數(shù)定義域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等；

3.巧轉(zhuǎn)化:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為某個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)自變量大小比較;

4.寫解集:解關(guān)于自變量的不等式，寫出解集。

熟點(diǎn)題型解讀

題型1利用抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式

題型2利用具體函數(shù)的性質(zhì)解不等式

題型3利用單調(diào)性定義構(gòu)造函數(shù)解不等式

題型4分段函數(shù)解不等式

題型5導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解不等式

【題型1利用抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式】

【例1】(2023秋?河北張家口?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃工)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镠,當(dāng)7>0時(shí)，r(c)V

0,則不等式/(/-0一/(0>()的解集為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,1)D.(-2,2)

【變式1一1】(2023?廣西梧州?統(tǒng)考一模)已知偶函數(shù)/(0在(一8,0]上單調(diào)遞減，且八1)=0,則不等式

母(無(wú)一2)>。的解集為()

A.(1,3)B.(3,+oo)

C.(-3,-1)U(3,+~)D.(0,1)U(3,+~)

【變式1一2】(2022*?上海楊浦?高三復(fù)衛(wèi)附中?？茧A盤練習(xí))若定義在R的奇函數(shù)/(2)在(一8,0)單

調(diào)遞減，且/(2)=0,則滿足時(shí)①一1)>()的工的取值范圍是.

[^^1-31(2022款?陜西商洛?高三校我背階收練習(xí))若定義域?yàn)镽的函數(shù)/(工)滿足/(4+2)為偶函

數(shù),且對(duì)任意向，ge[2,+8),gWg,均有人及)一131)>0,則關(guān)于工的不等式*工)</(7)的解

X-)-X\

集為()

A.(-3,7)B.(0,7)C.(-3,5)D.(-1,5)

【變式1一4】(2023?直慶?統(tǒng)考一模)己知定義域?yàn)?0,+8)的減函數(shù)滿足/(項(xiàng))=/(x)+/(9),且了

(2)=—1,則不等式/(t+2)+/(工+4)>-3的解集為.

【變式1一5](2022款?山東?商三利洋縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考■階段練習(xí))已知函數(shù)/(/)的定義域?yàn)?一1,1),

對(duì)任意的土，"（T,l）,都有/（4）+/（y）=/（魯著），且當(dāng)（-1,0）時(shí)，/3）>0恒成立.若ae

（一^號(hào)），則不等式2.f（tana）>.f（tan2a）的解集是（）

A.（一?0）B.（-y.0）C.D.（0,專）

【題型2利用具體函數(shù)的性質(zhì)解不等式】

【例2】（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（工）=3——/5+3,且/（〃）+/（5a—6）>4,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.(—6,1)B.(—oo,—6)U(l,4-oo)

C.(—8,—1)U(6,4-0°)D.(-1,6)

【變式2一1](2022秋?廣東清通?商三?？茧A我練習(xí))已知函數(shù)/Q)=2023,+—--^―，則不等

ZUZJX?o

式*c+l)>/(20的解集為()

A.(-2^3'+°°)B.(2023,+oo)

C.(―OO,一■Mu(1,+co)D.(一■1)

【變式2一2］（2022款?福建?方三福堂舜大府中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/Q）=e“+e-工,則使得"2a;+1）

<f（x-2）成立的z的取值范圍是.

【變式2一3］（2022*河南?統(tǒng)考一模）已知/Q）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)/e［0,+8）時(shí)，/（0=2一窯為，則

不等式/（3工-1）</（1-x）的解集為.

【變式2—4］（2021卷?上*t陀?高三<楊二中階段練習(xí)）已知函數(shù)=2*+IgQ+100）,定義在（一1

,1）上的函數(shù)/（0滿足/（①）=g（0—g（—0+2,則關(guān)于/的不等式“3/+1）+/（①）>4的解集為_

【變式2一5］（2022款?江蘇蘇州?高三統(tǒng)才階段練習(xí)）已知函數(shù)/（I）=4x+2sinx+ln（V?+T+句，若

不等式/（3,—伊）+/（m-3r-2）<0對(duì)任意xER均成立,貝ljm的取值范圍為

【題型3利用單調(diào)性定義構(gòu)造函數(shù)解不等式】

【例3】（2023*全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義在（0,+8）上的函數(shù)/（工）滿足:對(duì)Vxy,x2C（0,+8）,且為K附，

都有巴”三^^>0成立，且/（2）=4,則不等式等>2的解集為（）

A.(4,+<?)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+oo)

【變式3—1](2022秋川成壽?高三明川省成善市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)

/(x)滿足/⑴=1,對(duì)于V叫，附€H,當(dāng)①1<叫時(shí)，都有/(xi)一f(電)<2(為一工2),則不等式

2

/(log㈤+1<log2x的解集為()

A.(-8⑵B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+8)

【變式3一2](2023*全國(guó)?南三壽題)已知/(乃為R上的奇函數(shù)，/(2)=2,若對(duì)V為，。e(0,+8),當(dāng)電

>g時(shí)，都有(皿—g)[—2)]V0,則不等式(x+1)/(/+1)>4的解集為()

A.(—3,1)B.(—3,—1)U(—1,1)

C.(-oo.-l)U(-l,l)D.(-00,-3)U(l.+oo)

【變式3—3](2022?廣西柳州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(⑼是定義域?yàn)?-oo,0)U(0,+8)的奇函數(shù)，若對(duì)

任意的孫電e(0,+8)且電片.，都有v0成立，且f(1)=2,則不等式/Q)>2x

功―一-

的解集為()

A.(—oo,—l)(J(l,+oo)B.(—oo,—l)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,+~)D.(-1,0)U(0,1)

【變式3一4](2022?廣西柳州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃切是定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8)的奇函數(shù)，且

/(-2)=0，若對(duì)任意的為，x,G(0,+8)，且為#g,都有“飛二臥㈤V0成立，則不等式/⑸

V。的解集為()

A.(-oo,-2)U(2,+oo)B.(-00,-2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+8)D.(-2,0)U(0,2)

【題型4分段函數(shù)解不等式】

【例4】(2022秋?云青堯明?高三堯明市第三中學(xué)?？计谀?已知偶函數(shù)/(/)=[*：%*則滿足了

Q-1)</(2)的實(shí)數(shù)I的取值范圍是()

A.(―8,3)B.(3,+°°)C.(—1,3)D.(—8,—1)U(3,+°°)

2一了丁V0

f'，則不等式

{Inx4-1,x>0

/(1)+1的解集是()

A.(—oo,—l)U(e,+oo)B.[—l,+oo)

C.(—oo,e)D.(e,+8)

【變式4一2](2022秋?江西俊州?高三校考階及練習(xí))已知函數(shù)/⑺滿足/⑸=[若f(a)

1/~~/fJUU,

>/(—a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+~)

C.(-oo,-l)U(l,+co)D.(-oo,-l)U(0,1)

【變式4一3](2022?全國(guó)?誨三專題練習(xí))已知函數(shù)/(./)=]一爹”'”>0,若/(2—標(biāo))>/(—同)，則實(shí)

12力一爐，6Vo

數(shù)Q的取值范圍是()

A.(_2,_鴻一2)U(瀉-2,2)B.(-2,-1)U(1,2)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-1,0)U(0,1)

【變式4一4](2021秋?山東?高三校取才開學(xué)考試)已知函數(shù)/Q)=P',。、則不等式/⑺

[log2(①+3),x>l

+/(Z+5)>4的解集為()

A.(0,5)B.(0,+8)C.(5,+8)D.(-5,5)

【題型5導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解不等式】

【例5】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)八乃=4則不等式入⑼的解集是()

J.IUJL乙vC

A.(0,1)B,(.])C.(9,1)D.(泰4)

【變式5一1](2021秋?云南M,明?高三北明市第三中學(xué)?？茧A盤練習(xí))已知函數(shù)/⑵在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)

函數(shù)為r(c),若/(*)滿足：(x—1)[f'(x)~f(x)]>0,f(2—x)=/(c)e2-2，，則不等式e2f(\nx)<xf

(2)的解集是()

A.(l,e2)B.(e-2,e2)C.(e2,+oo)D.(e-,1)

【變式5一2](2Q22秋?江蘇常州?高三統(tǒng)考階盤練習(xí))已知函數(shù)/(為的定義域?yàn)镽,且函數(shù)/(土)在定義

域內(nèi)的圖象是連續(xù)不間斷的，Va?￡R./(a?)+/(—s)=6/,當(dāng)xG(0,+oo)時(shí)，尸(①)一6①>0,若

/(2t-l)-/(t+2)^3(3/—8t—3),則在以下四個(gè)取值中，實(shí)數(shù)t不能取的值為()

17

A.-3B.~2~C.3D.

【變式5一3](2023秋?山西呂柒?商三統(tǒng)考期末)已知定義在R上的偶函數(shù)f(z)滿足/(工一得)-

f(-x-4)=0J(2022)=j,若/Q)>f'(-x),則不等式ef(x+3)>心的解集為______________

/ee

【變式5—4］(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)0=/(/)的導(dǎo)函數(shù)為"=/(/),當(dāng)/

>0時(shí),/(⑼+與V()，且/(2)=3,則不等式/(2z-1)<2^1的解集為_

限B寸檢測(cè)

(建議用時(shí)：60分鐘)

1.(2022秋?廣東廣州三校聯(lián)考■期中)已知定義在R上的函數(shù)夕=/(/+1)是偶函數(shù)，且在(0,+8)

上單調(diào)遞增，則滿足〃2c)>f{x+3)的工的取值范圍為()

A.(_8,一］)U(3,+oo)B.(3,+8)

C.(―°o1)U(3,4-0°)D.(—oo,—l)

2.(2022秋?寧夏雄川?高三銀川一中校才階我練習(xí))若/Q)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)

是增函數(shù)，又/(3)=0,則b(工)V0的解集是()

A.［司一3<工<0或;r>31B.{/_3</V0或0VrrV3)

C.{a?|—3<x<3(-D.{：r.^x<—3或0c2V3}

3.(2022?河南開封?統(tǒng)考一模)設(shè)/(⑼是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+oo)上單調(diào)遞減,則滿足/(，)

</(2—2)的/的取值范圍是()

A.(-00,-2)B.(-2,4-00)C.(-oo.l)D.(l,+oo)

4.(2022秋?北京?高三北大帶中階盤練習(xí))已知fQ)是定義在R上的偶函數(shù)，/(-1)=3,對(duì)于任意,a

,be［0,+8)且涼6,媽二3VO恒成立，則使得/3)V3成立的6的取值范圍是()

A.(l.+oo)B.(-?>,-!)C.(-1,1)D.(-00,-1)U(l,+oo)

5.(2022我?江西南曷?高三校考■階盤練習(xí))已知函數(shù)人土)是定義域?yàn)?-1,1)的單調(diào)遞減函數(shù)，若/(乃

圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,則滿足/(力一1)+/(工)V2的c的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-hy)D.(4,1)

6.(2022我?吉林四千?高三四十市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(為是定義在R上的奇函

數(shù)，若當(dāng)xe(-00,0］時(shí),f(x)=/+3-"+則滿足，f(x—1)-F/(m)V0的/的取值范圍為(

)

A.(—oo,0)B.(0,+8)C.(—oo,2)D.(2,4-00)

7.(2022?全國(guó)三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%?)=八了)-4，”&一1,若/[”0]〈0,則工的取值范圍

[ln(x+l),x>—1

為()

A.(—2,0)B.(-8,5—1)C.(―2,J—1)D.(―2,—1)U—1,0)

8.(2022?全國(guó)?高三壽題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),/(1)=1+6,當(dāng)g>為>0時(shí)，有

Tif(xi)—xj(x2)>ge，,—1百、則不等式/(Ina;)>rr+Inx的解集為()

A.(l.+oo)B.(e,+8)C.(l,e)D.(O.e)

9.(2022款?廣東揖用?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知/(工)為R上的奇函數(shù)，/(2)=2,若V%ge(0,+oo)

且電〉g,都有*-----?一>0,則不等式Q—1)/3—l)V4的解集為()

X}-X9

A.(―oo1)U(3,+<?)B.(-8,3)

C.(-1,3)D.(—1,+8)

10.(2022款?江西宜春?高三?？奸_學(xué)考試)已知定義在A上的函數(shù)/(。)在(-~,3]上單調(diào)遞增，且

/(x+3)為偶函數(shù)，則不等式+1)>/(2x)的解集為().

A.(l,y)B.(―oo,1)U(y)+00)

C.(-3,-2)D.(—8,-3)U(-2,+8)

11.(2022?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春吉大府中實(shí)?學(xué)校?？寄M瑯測(cè))設(shè)/'(⑼是函數(shù)/Q)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(/)>

3/(切QWR),/(1)=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則不等式/(Inx)<x:,的解集為()

A.(0,4-)B.(J,+8)C.(0,^e)D.(AJ^,+8)

12.(2022?淅江?模擬很測(cè))已知函數(shù)/(工)=毋‘-ln(c+G不I),若對(duì)任意的實(shí)數(shù)工，恒有

/(。/一；；；)+/(—/+i)<2成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.[0,4-oo)C.(l,4-oo)D.[1,+8)

13.(2022?四川綿陽(yáng)?3川盾綿拒南山中學(xué)?？级?已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為

廣⑺，滿足/'⑺V/(出)，且/(—紀(jì))=/(2+x),/(2)=1,則不等式/⑺<丁的解集為()

A.(—8,2)B.(2,+<?)C.(l,4-oo)D.(0,+8)

14.(2022秋?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期中)己知函數(shù)六2)=3a?-+2,且/(a2)+/(3a—4)>2,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-4,1)B.(—co4)U(1,+℃!)

C.(―oo,—1)U(4,+℃>)D.(-1,4)

15.(2022-江蘇拉城?模擬覆潴)若函數(shù)/(H)=In團(tuán)—?jiǎng)t關(guān)于a的不等式/(2a-1)-/(a)V0的解

X

集為.

L_A

16.(2022?W川靖苒??？寄M演潴)函數(shù)/(/)=('2X"<2，則滿足不等式/(/)>/(2—/)的工

的取值范圍為.

17.(2022秋?江蘇秦州?高三江蘇省泰興中學(xué)校英考階段練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(?的

導(dǎo)函數(shù)為y=f'⑺，當(dāng)上>()時(shí)，rf'(x)+/(T)<0,且〃2)=-3，則不等式/(2工-1)<芯片的解

集為.

18.(2022秋?甘肅張杭?高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校才階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)人工)，滿足/Q)+

/(—a:)=0,且當(dāng)7>0時(shí),/(T)=—ln-^-，則滿足不等式Q-l)/(x+2)>0的

O

T的取值范圍是.

19.(2022秋?天津伸海?高三?海一中校才階&練習(xí))已知/(⑼=/+3-x為實(shí)數(shù)且滿足,8

3+1)

x3...3x—工；］,則/(I)的最大值為.

20.(2023-全國(guó)?模擬覆測(cè))已知/3)是偶函數(shù)，當(dāng)00時(shí)，f(x)=V^+log2(x+1)，則滿足/⑸>日

的實(shí)數(shù)工的取值范圍是

利用函數(shù)性質(zhì)解不等式5大題型

命題輅勢(shì)

高中數(shù)學(xué)解不等式主要分為兩類，一類是利用不等式性質(zhì)直接解出解集（如二次不等式，分式不等

式,指對(duì)數(shù)不等式等）;另一類是利用函數(shù)的性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運(yùn)算。

利用函數(shù)性質(zhì)解不等式一般情況以選擇題形式出現(xiàn)，考查的角度較多，除了基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)，有時(shí)候

還需要構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考驗(yàn)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)用條件能力，難度較大。

滿分技巧

利用單調(diào)性、奇偈性解不等式原理

L解/（m）V/S）型不等式

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性,去掉函數(shù)符號(hào)“尸,將“抽象”的不等式問題轉(zhuǎn)化為“具體”的不等式問題求解；

（2）若不等式一邊沒有函數(shù)符號(hào)而是常數(shù)（如/（他）＜。）,那么我們應(yīng)該將常數(shù)轉(zhuǎn)化帶有函數(shù)符

號(hào)的函數(shù)值再解。

2./（?）為奇函數(shù)，形如/（a）+/（九）V0的不等式的解法

第一步:將"0移到不等式的右邊，得到/（?。疽?6）；

第二步:根據(jù)/（⑼為奇函數(shù)，得到一九）；

第三步:利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào)列出不等式求解。

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式的技巧

1.此類問題往往條件較零散，不易尋找入手點(diǎn)，所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合分析，在草稿上

列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么，兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn)；

2.在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能具備乘除關(guān)系的函數(shù)，在

構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整；

3.此類問題處理的核心要素是單調(diào)性與零點(diǎn)，對(duì)稱性和圖象知識(shí)輔助手段，所以要能夠確定構(gòu)造函數(shù)

的單調(diào)性，猜出函數(shù)的零點(diǎn),那么問題便易于解決了。

三、利用函數(shù)性質(zhì)解不等式的要點(diǎn)

1.構(gòu)函數(shù):根據(jù)所解不等式的結(jié)構(gòu)特征和已知條件構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，把不等式看作一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函

數(shù)值大小比較問題；

2.析性質(zhì)：分析所構(gòu)造函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要包括函數(shù)定義域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等；

3.巧轉(zhuǎn)化:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為某個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)自變量大小比較;

4.寫解集:解關(guān)于自變量的不等式，寫出解集。

熟點(diǎn)題型解讀

題型1利用抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式

題型2利用具體函數(shù)的性質(zhì)解不等式

題型3利用單調(diào)性定義構(gòu)造函數(shù)解不等式

題型4分段函數(shù)解不等式

題型5導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解不等式

【題型1利用抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式】

【例1】(2023秋?河北很掌口?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃工)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镠,當(dāng)工>0時(shí)，/'(T)V

0,則不等式/(/-0一/(0>()的解集為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,1)D.(-2,2)

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng);0時(shí)，/'(rr)<0,故偶函數(shù)/(①)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故/(/一⑼-/(x)>o變形為:f(\x2-x\)>y(M),

所以爐一劍〈國(guó)，顯然4=0不滿足不等式，

解得：也一1|<1,故(0,2).故選：B

【變式1一1](2023?廣西梧州?統(tǒng)考一模)已知偶函數(shù)/(0在(-oo,0]上單調(diào)遞減，且/(I)=0,則不等式

時(shí)(工一2)>0的解集為()

A.(1,3)B.(3,+8)

C.(-3,-1)U(3,+oo)D.(0,1)U(3,+oo)

【答案】D

【解析】偶函數(shù)/⑶)在(一8,())上單調(diào)遞減，則在((),+8)單調(diào)遞增，

因?yàn)?(1)=0,則當(dāng)工>0時(shí),/(工一2)>0,即/(也一2|)>0=/(1),

故7一2>1或工一2V-1,解得：Z>3或wVl,

z>3或zVl與rr>()取交集得：:(0,1)U(3,4-0°),

則當(dāng)tVO時(shí),/(7一2)V0,即f(|c-2|)V0=/(l)

故一1<2-2<1,解得：1<±<3,

l<z<3與劣<0取交集，解集為空集，

綜上：不等式時(shí)(2—2)>0的解集為zC(0,1)U(3,+oo).故選：D.

【變式1一2](2022春?上海楊浦?高三復(fù)旦府中校才階段練習(xí))若定義在R的奇函數(shù)/(工)在(-8,())單

調(diào)遞減，且/(2)=0,則滿足時(shí)Q—1)>0的T的取值范圍是.

【答案】(-1,())U(1⑶,之

【解析】因?yàn)槎x在H的奇函數(shù)/(工)在(-8,0)單調(diào)遞減，且/(2)=0,\

所以/(⑼在(0,+8)上單調(diào)遞減，且/(—2)=—"2)=0,如下圖為/(c)的大致圖象：\|\_

所以當(dāng)一2</<?；騴>2時(shí)，/(土)V0;當(dāng)zV—2或OVo;<2時(shí)，/3)>0,-2\0~-*

由切了一1)>。得1V0或1：；一1<2,解得TV，<?；騈\

所以c的取值范圍是(-l,0)U(l,3).

【變式1一3】(2022秋?陜西商洛?高三校聯(lián)考階及練習(xí))若定義域?yàn)镽的函數(shù)/(⑼滿足/Q+2)為偶函

數(shù)，且對(duì)任意為，gC[2,+8),為均有,(工2)―/(電)>o,則關(guān)于6的不等式/(立)</(7)的解

X2-2^1

集為()

A.(-3,7)B.(0,7)C.(-3,5)D.(-1,5)

【答案】A

【解析】/(4+2)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于9軸對(duì)稱，所以/(￡)的圖象關(guān)于直線H=2對(duì)稱，

依題意可知，/(工)在[2,+8)上單調(diào)遞增，則在(-8,2)上單調(diào)遞減，

由于/(工)</(7),所以"一2|<|7一2|,即一5<3；-2<5,解得一3<0：<7,

所以不等式/3)V/(7)的解集為(-3,7).故選:A

【變式1一4](2021立慶?統(tǒng)考一模)己知定義域?yàn)?0,+8)的減函數(shù)/(工)滿足/(叼)=f(G+/(y),且/

(2)=-1,則不等式/(/+2)+f(x+4)>-3的解集為.

【答案】(一2,0)

【解析】由題意知,-3=3/(2)=f(8),f(x+2)+f(x+4)=f(x2+6c+8),

f(x,-+6x+8)>/(8)-)???

.、Jv7I(a:+6a;+8<8?

/(x+2)+f(x+4)>-3=><x+2>0n1,=>—2<x<0

x+4>0Ix>-2

【變式1一5](2022秋?山東?方三利津縣高級(jí)中學(xué)校殘考階段練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),

對(duì)任意的八yE(―1,1),都有/㈤+/(“)=/(黑^),且當(dāng)xG(-1,0)時(shí),/(x)>0恒成立.若aC

(—與強(qiáng))，則不等式2/(tana)>/(tan2a)的解集是()

A.(一?0)B.(―1-,0)C.(一專，專)D.(0,j)

【答案】D

【解析】在人工)+/(?)=/(咨/)中，令z=y=o,得2/(0)=/(0),得/(o)=o,

在/(工)+f(y)=/()中，令沙=一%得/⑶+/(-工)=/(o)=o,即/㈤=-/(-6

所以/(宏)為奇函數(shù)，

3

令一1V電VgV1,則/(^1)+/(-電)=/(音/；,)，所以/(^1)-/(^2)=/(二^'),

因?yàn)橐?V電VeV1,所以0V1—X\X41,g—?>0,所以~r^—也-<0,

21—X\X2

因?yàn)?—Z]g—(g—電)=1—g—電(g—1)=(1—x2)(1+x])>0,

所以1—xxo>x>—電，所以——<1,f—>一1,所以一1V—<0,

1}

■'1-XiX21-XiX21-X[X2

因?yàn)楫?dāng)a；e(—1,0)時(shí)，/(4)>0恒成立，所以——)>0恒成立，

\_L-X\X'>'

所以/(電)一/(立2)>0,即/(為)>/(工2),所以函數(shù)/(工)在(-1」)上單調(diào)遞減，

由2/(tana)>/(tan2a)及函數(shù)/(工)的定義域可知，[二31，

[-1<tan2a<1

f-f<a<f

又由已知a€(一拳—)，可得(?7r，可得一￡<&<]■,

221-廣2&<￡88

>tan2a

由2/(tana)>J(tan2a)得1：魯3a)/()>

因?yàn)楹瘮?shù)/(土)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

“72tana-”…2tana_2tana

所以TT7一~<tann2a，所以————<--—,

1+tarra1+tana1-tarra

因?yàn)?+tan%>0,1—tan2a>0,

所以2tanez(l—tan%)<2tana(l+tan%),所以tana-2tan2(z>0,

所以tana>0,結(jié)合一名VaV等，可得OVaV?故選:D

OOO

【題型2利用具體函數(shù)的性質(zhì)解不等式】

【例2】(2022-全S?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(乃=3/—-^―+3,K/(a2)+/(5a-6)>4,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(-6,1)B.(-oo,-6)U(1,+~)

C.(-oo.-l)U(6,+oo)D.(-1,6)

【答案】B

【解析】由題意得，函數(shù)/(2)=3a?3+1+2=3"+W+2,

ex-F1e+1

設(shè)。(2)=3a：.'+e二：(土e7?),則9(-rr)=3(-a;)3+e_~!=~(3^3+e~\)=一9(土)，

e+1e+1、e4-17

所以gQ)是凡上的奇函數(shù)，

因?yàn)閒(x)=g3+2,由/(a2)-hf(5a-6)>4,則g(a?)+g(5a-6)>0,即9(〃)>—g(5r-6),

因?yàn)?g(5a-6)=g(6—5a),所以g((?)>g(6—5a),

又有g(shù)(x)=3x'H------=3x3--------F1,

e*+lM+l'

因?yàn)間=313是凡上的增函數(shù)，y=--^―是R上的增函數(shù)，所以g(i)是/?上的增函數(shù)；

e'+1

則有a2>6—5a,整理得：足+5a-6>0,解得：a>1或aV—6,

所以Q的取值范圍為(-oo,-6)U(l,+oo).故選：B

【變式2一1］（2022秋?廣東清遠(yuǎn)?高三?？肌鲭A段練習(xí)）已知函數(shù)/（z）=20231+—--^―，則不等

NUNJ“十J

式/（工+1）>/（2工）的解集為（）

A-（一百片收）B.（2023,+oo）

C.(—8,--U(1,4-°°)D.(-y,l)

【答案】D

【解析】由題意可知，函數(shù)/（⑼的定義域?yàn)镽,

且?。?2023一,+--號(hào)與=備+2023-出力⑸,

所以，函數(shù)/（2）為偶函數(shù),

當(dāng)工》（）時(shí),

［⑸=2。23%2。23+備E康+號(hào)=（2023,-2。2廠）ln2023+苻%>°

且r（工）不恒為零，所以，函數(shù)/（工）在［。,+8）上為增函數(shù)，

由f（x+1）>f（2x）可得/（|工+1|）>y（|2x|）,則\x+l|>|2x|,可得（x+1）2>4/，

整理可得（3重+1）（比-1）<0,解得一看<0：<1.故選：D.

?J

【變式2一2](2022款?福t?高三福t”大尉中校才階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/Q)=e，+e-3則使得/(26+1)

<f(x-2)成立的立的取值范圍是.

【答案】(一3,4)

【解析「.力工)=e，+e-，，."(一工)=/(c),㈤為偶函數(shù)，

.r”、「1e"-l(ex+l)(ex-l)

../(X)=e----=------=-------------

J-e，eTe工

當(dāng)時(shí)，ex>l,f'(x)>0,則八⑼在[0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)

?.?/(2工+1)V)(c-2),又因f(a?)為偶函數(shù)

.,./(|2s+1|)<f(\x-2|),\2x+l\>0,\x-2\>0

即得|2z+l|<|a:-2|,\2x+112Vg-2|2即3/+8°-3<0,解得(-3,y)

故工的取值范圍為：(一3,5)

【變式2一3](2022*河南?統(tǒng)考一模)已知于⑺為R上的奇函數(shù)，當(dāng)工e[0,+8)時(shí)，/⑵=2,一三為，則

不等式-0的解集為.

[答案](_8,/)

【解析】由函數(shù)”=2"與9=一告[均在[0,+8)上單調(diào)遞增，

故/3)在[o,+8)上單調(diào)遞增，

而/(c)為R上的奇函數(shù)，故/(/)在R上單調(diào)遞增，

/(3x—1)<C/(1—x)等價(jià)于3x*—1V1—得eV

【變式2—4](2021春?上*t陀?高三曹相二中階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)=2,+lg(￡+100),定義在(一1

,1)上的函數(shù)/(M滿足/㈤=g?-g(T)+2,則關(guān)于冗的不等式/(3c+1)+/(%)>1的解集為一

【答案](一;,0)

【解析】函數(shù)gQ)=2,+lg(x+100)在(-100,+8)上單調(diào)遞增，?一%)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)gQ)-g(一為在(-1,1)上單調(diào)遞增，令九3)=/(6)-2=g(i)—g(一力),

當(dāng)力6(—1,1)時(shí)，h(-x)=g(一①)—g(x)=—h(x),

則h^x)為(-1,1)上的奇函數(shù),且為增函數(shù)，

不等式/(3c+1)+f(x)>4?/(3x+1)-2+/U)-2>0,

有h(3x4-1)4-h(x)>0,h(3x+1)>—h[x)=h(—x),

于是得一1V—xV3a;+1V1,解得—、VrrV0,

所以所求不等式的解集為(一:,0).

【變式2一5](2022秋?江蘇蘇州?方三統(tǒng)考階盤練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=42+2sinx+ln(Vs2+l+勸，若

不等式f(3,一9/)+/(m-31-2)<0對(duì)任意xER均成立,則m的取值范圍為

【答案】(—00,2A/2-1).

【解析】因?yàn)?(I)=4%+2sina+ln(J―+1+i)的定義域?yàn)镽,

f(—x)+/(，)=—4化—2sinx+ln(Vl+x2—c)+4]+2sinx+ln(Vl+x~+=Ini=0,

所以函數(shù)/Q)是奇函數(shù)，

由fr(x)=4+2cos%H—廠；--->0,

可知/(⑼=41+2sinx+In(Vx24-1+N)在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/位)為A上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

所以不等式/(3工-9，)+/(7八?3，-2)〈0對(duì)任意1611均成立等價(jià)于

/(31-91)<-/(m-31-2)=f(2-m-3"),

o

即3'—91<2一山?3二即771〈3'+2一1對(duì)任意1611均成立,

>>

又3/一1+房>2\/3"?磊一1=2口-1,當(dāng)且僅當(dāng)3,=得時(shí)取等號(hào),

JVoo

所以m的取值范圍為(一8,2禽一1).

【題型3利用單調(diào)性定義構(gòu)造函數(shù)解不等式】

【例3】(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))定義在(0,+8)上的函數(shù)/(①)滿足:對(duì)V許久e(0,+?>)，且為w處,

都有:電/(二)二：八g)>0成立，且/(2)=4,則不等式幺?>2的解集為()

A.(4,+8)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+~)

【答案】D

【解析】令g(±)=當(dāng)2,

因?yàn)閷?duì)V皿、久2W(0,+8),且⑨#z2,都有：W("J_>0成立，

X\±2

不妨設(shè)0V%<C2,則為一外2<o,故6,31)-ef(12)<0,則J['<J?'，即9(皿)V9(曲),

所以g(c)在(0,4-oo)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(2)=4,所以g(2)=/y=2,故年/>2可化為g(c)>g(2),

f(力)

所以由g(z)的單調(diào)性可得工>2,即不等式的解集為(2,4-oo).故選：D.

【變式3一1](2022秋?四川成郡?高三四川省成都市三林中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)

/(①)滿足/⑴=1,對(duì)于V處，42eR,當(dāng)叫v3時(shí)，都有/(xi)—f(電)<2(電—±2),則不等式

2

/(log2x)+1<log2x的解集為()

A.(-8,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+8)

【答案】B

【解析】由題設(shè)的〈22時(shí)/3)—2X1<f(x2)—2X2,即h(x)=f(x)—2c在7?上遞增，

2

又一⑴=/(1)-2=-1,而/(log*)+1<log2r等價(jià)于/(log/)-210g2工<-1,

所以/i(log,a;)V/z⑴，即log2a:<1,可得0</<2.

故不等式解集為(0,2).故選:B

【變式3一2](2023<全國(guó)?商三專題)已知/(⑼為R上的奇函數(shù)，/(2)=2,若對(duì)V皿，x,e(0,+~),當(dāng)為

>我時(shí)，都有(xi-g)[誓■-誓■]<0,則不等式(x+1)/(?+1)>4的解集為()

A.(—3,1)B.(-3,-1)U(-1,1)

C.(-00,-1)u(-1,1)D.(-CO.-3)U(l,4-oo)

【答案】B

【解析】由-管?]<°，得(的-引產(chǎn)黑卻叫<0,

因?yàn)間-g>0,XtX-2>0,所以Xj/(a；i)—x2f(x2')<0,

即x]f(xi')<zj(g),設(shè)g(。)=xf(x),

則g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

而g(x+1)=3+1)/3+1)>4=2/(2)=g⑵,

則OVa:+1V2,解得：-1VrrVl;

因?yàn)?(工)為H上的奇函數(shù)，所以g(—re)=—xf(—x)=xf(x)—g(x),

則g(z)為R上的偶函數(shù)，故g(rc)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

g(工+1)=(H+1)/3+1)>4=g(-2),

則-2〈4+1<0,解得：-3<zV-l;

綜上，原不等式的解集為(-3,—1)U(-1,1),故選：B.

【變式3一3](2022?廣西柳州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(⑹是定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8)的奇函數(shù)，若對(duì)

任意的%0:2￡(0,+8)且為H,都有句(電—㈤)v0成立，且/(1)=2,則不等式/Q)>2x

g-

的解集為()

A.(-00,-1)U(l,+oo)B.(-?),-i)U(0,l)

C.(-l,0)U(l,+~)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】B

【解析】由題設(shè)，9(h)=0'([■)在(0,+8)上遞增，又(-8,o)U(0,+8),kf(x)是奇函數(shù)，

所以9(-工)=(一工)/(一看)=對(duì)'(!)=9㈤，即。(為為偶函數(shù),

由偶函數(shù)的對(duì)稱性知：g(x)在(