高中數(shù)學專題訓練(七)軌跡問題

高中數(shù)學專題訓練——軌跡問題1.已知平面a//平面卩，直線1ua，點Pel，平面a、卩間的距離為4,則在卩內(nèi)到點P的距離為5且到直線1的距離為9的點的軌跡是（）2A.一個圓B.兩條平行直線C.四個點D.兩個點2在四棱錐P-ABCD中，AD丄面PAB,BC丄面PAB,底面ABCD為梯形，AD=4,BC=8,AB=6，ZAPD=ZCPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（）A.圓B.不完整的圓C.拋物線D.拋物線的一部分如圖，定點A和B都在平面a內(nèi)，定點Pga,PB丄a,C是a內(nèi)異于A和B的動點。且PC丄AC，那么動點C在平面a內(nèi)的軌跡是（）一條線段，但要去掉兩個點一個圓，但要去掉兩個點一個橢圓，但要去掉兩個點半圓，但要去掉兩個點如圖3,在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BC內(nèi)一動點，若P到直11111線BC與直線CD的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（）11A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線F圖3F圖3已知正方體ABCD-ABCD的棱長為1,點P是平面AC內(nèi)的動點，若點P1111到直線AD的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是11()A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線已知異面直線a,b成60。角，公垂線段MN的長等于2,線段AB兩個端點A、B分別在a,b上移動，且線段AB長等于4,求線段AB中點的軌跡方程。7.已知圓E的方程為(x-1)2+y2=1,四邊形PABQ為該圓的內(nèi)接梯形，底AB為圓的直徑且在x軸上，以A、B為焦點的橢圓C過P、Q兩點.若直線QP與橢圓C的右準線相交于點M，求點M的軌跡；當梯形PABQ周長最大時，求橢圓C的方程.8.已知雙曲線的兩個焦點分別為F］、F2,其中F1又是拋物線y=4x的一個焦點,且點A(-1,2)，B(3,2)在雙曲線上．(1)求點f2的軌跡；⑵是否存在直線y=x+m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數(shù)m的值,若不存在,說明理由．9.已知常數(shù)a>0,c=(0,a),i=(1,0),經(jīng)過原點0,以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0,a),以i-2入c為方向向量的直線交于點P,其中入GR,試問:是否存在兩個定點E,F,使得|PE|+|PF|為定值，若存在，求出E,F的坐標,若不存在,說明理由．10.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6二0點T(-1,1)在AD邊所在直線上．求AD邊所在直線的方程；求矩形ABCD外接圓的方程；若動圓P過點N(-2,0)，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.11.如圖，設拋物線C:y二X2的焦點為F,動點P在直線l:x-y-2二0上運動,過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求AAPB的重心G的軌跡方程.(2)證明ZPFA=(2)證明ZPFA=ZPFB.l12.已知橢圓蘭+竺=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F.(―c,0)、F2(c,0),a2b2設X為點P設X為點P的橫坐標，證明\FP\二a+cx；1a求點T的軌跡C的方程；試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M,使的面積S=b2.若存在，求ZF]MF2的正切值；若不存在，請說明理由.Q是橢圓外的動點，滿足IFQ\=2a.點P是線段F]Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足PT-TF=0,\TF\乂0.22213.過拋物線y2=4x的焦點的直線l與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點.求△AOB的重心G的軌跡C的方程.14.已知圓C:x2+y2=1和點Q（2,0），動點M到圓C的切線長與IMQI的比等于常數(shù)九（九〉0），求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？15.如圖，圓O與圓O的半徑都是1，OO=4，過動點P分別作圓O、圓O121212的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得PM=^2PN.試建立適當?shù)淖鴺讼?并求動點P的軌跡方程．已知橢圓C:學二1和點P(1,2),直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、169B兩點，求當l傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程。已知棱長為3的正方體ABCDABCD中，長為2的線段MN的一個端點1111在DD上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，求MN中點P的軌跡與正方1體的面所圍成的幾何體的體積。(經(jīng)典問題，值得一做，很能訓練學生的思維能力)三峽工程需修建一個土石基坑，基坑成矩形ABCD，按規(guī)定,挖出的土方必須沿道路PA或PB送到P點處。已知PA100m,PB150m,BC60m,AB160m，能否在池中確定一條界線，使得位于界線一側(cè)的點沿道路PA送土方較近，而另一側(cè)的點沿道路PB送土方較近？如果能，請說明這條界線是什么曲線，并求出軌跡方程。19.設點A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知OA丄OB,OM丄AB,求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線20.某檢驗員通常用一個直徑為2cm和一個直徑為1cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？答案：因為AD丄面PAB,BC丄面PAB,所以AD//BC，且ZDAP=ZCBP=90。。又ZAPD=ZCPB,AD=4,BC=8,ADCB可得tanZAPD=——=一=tanZCPB,PAPB即得IB==2PAAD在平面PAB內(nèi)，以AB所在直線為x軸，AB中點0為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A(-3，0)、B(3，0)。設點P(x,y),則有IPBI\：(x—3)2+y2=|=2，|PA|v.;(x+3)2+y2整理得X2+y2+10x+9=0由于點P不在直線AB上，故此軌跡為一個不完整的圓，選B。因為AC丄PC，且PC在a內(nèi)的射影為BC，所以AC丄BC，即ZACB=90。。所以點C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點，故選B。因為P到CD的距離即為P到C的距離，所以在面BC內(nèi)，P到定點C的距11111離與P到定直線BC的距離相等。由圓錐曲線的定義知動點P的軌跡為拋物線，故選D。即vx2+1=1y-11,化簡得X2—y2+2y=0故動點P的軌跡為雙曲線，選B。6.如圖，易知線段AB的中點P在公垂線段MN的中垂面a上，直線a'、b'為平面a內(nèi)過MN的中點0分別平行于a、b的直線，AA'丄a'于A'，BB'丄b'于B'，則ABnA'B'=P，且P也為A'B'的中點。由已知MN=2,AB=4,易知AA'=1,AP=2,得A'B'=2込。則問題轉(zhuǎn)化為求長等于2込的線段A'B'的兩個端點A'、B'分別在a'、b'上移動時其中點P的軌跡。現(xiàn)以ZA'OB'的角平分線為x軸，0為原點建立如圖所示的平面直角坐標系。設P(x,y)，IOA'I=m,IOB'l=n，則A'(3m,1m),B'(3n,--^n)2222v3ix=—4-(m+n),y=4(m-n)(m-(m-n)2+(m+n)244=(2/3)2消去m、n，得線段AB的中點P的軌跡為橢圓’其方程為扌+護=7.解(1)設橢圓C：b2(x-1)2+a2y2=a2b2(a>b>0)，由題意知2c=2,故c=1,如圖9-9，從而可得右準線的方程x=a2+1,……………①設M(x,y),P(x。,y。)，連PB,則有|PA|2+|PB|2=|AB|2,TOC\o"1-5"\h\z???(|PA|+|PB|)2-2|PA|?|PB|=4，由此可得(2a)2-2?2|yp|=4，即yp=±(a2-1),②于是，由①②得y=±(x-2).又???點P(x0,y0)是圓E上的點，且不與AB重合，?0<|y0|<1，故有0<a2-1<1,即1<a2<2③由①③得2<x<3,???點M的軌跡是兩條線段，其方程為y=±(x-2)(2<x<3).(2)設ZABQ=0，V點Q在P點左側(cè)，???。$(45。,90。)，又|AB|=2,于是，由圖9-9可得|PA|=|BQ|=2cos0,|PQ|=|AB|-2|BQ|cos0=2-4cos20,=-4(cos0—周長L=(2-4cos20=-4(cos0—當cos0=丄，即0=60°時，周長L取最大值5.圖9-92圖9-9此時|BQ|=1,|AQ|=肓，2a=|BQ|+|AQ|=1+鮎,TOC\o"1-5"\h\z?,1+&2+(3,“<3…a2=()2=,b2=a2一1=故所求橢圓的方程為222故所求橢圓的方程為(x-1)2匹_12+亍3v'322解⑴由題意知FJ1,0)，設F2(x,y)，貝則||AFJ-|AF2||=||BFj-|BF2||=2a>0.①???A(-1,2)，B(3,2)在已知雙曲線上，且|AFJ=|BFJ=2込.于是(i)當|AFJ-|AF2|=|BFJ-|BF21時，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：F2的軌跡為直線x=1除去兩個點FJ1,0),D(1,4).(ii)???當|AFJ-|AF2|=-(|BFJ-|BF2|)時，有|AF2|+|BF2|=|AFJ+|BFJ=4擊>4=|AB|,???點F2的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓Q，且除去FJ1,0)，D(1,4)兩點,

故所求的軌跡方程為I：X=1與Q:(x—I)2+(y-2)2=1(yHO,yH4).84(2)設存在直線L：y=x+m滿足條件.(i)若L過點Fx或點D,JF］、D兩點既在直線I：x=1上，又在橢圓Q上，但不在F2的軌跡上，???L與F2的軌跡只有一個公共點，不合題意.(ii))若L不過點F］和D兩點，(mH-1,mH3)，則L與I必有一個公共點E，且E點不在橢圓Q上,y=x+m,得(X—1)2y=x+m,得(X—1)2丄(y—2)21I寸+=1,843x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,從而，有△=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2m-11),當厶=0時，有m=1土2肓.即存在符合條件的直線丫=X+1土2込?解c+入i=(入，a)，i-2入c=(1,-2入a),由向量平行關系得OP與AP的方程分別為入y=ax，y-a=-2入ax.①由此消去參數(shù)入，得點由此消去參數(shù)入，得點P(x,y)滿足方程為(y-2)2—」=1/2828*?*a>0,從而，有(1)當a=2時，方程②表示的是圓，不存在符合題意的2兩個定點E，F(xiàn)；當0<°厶時，方程②表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個定點，即2為橢圓的兩個焦點：E(丄］丄-a2,a),F(-丄i：丄-a2,勺；222222當°時，方程②表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個定點，即為2橢圓的兩個焦點：E(0,丄(a+{a2--)),F(0,丄(a-】'a2-丄))-2\22V210.解：(I)因為AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直,所以直線AD的斜率為-3.又因為點T(-1,1)在直線AD上,所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1)即3x+y+2=0.

由jX—3y—6二°’解得點A的坐標為(0,-2),[3x+y+2=0因為矩形ABCD兩條對角線的交點為M(2,0)?所以M為矩形ABCD外接圓的圓心.又|AM|=.^；(2-0)2+(0+2)2二2邁.從而矩形ABCD外接圓的方程為(x-2)2+y2二8.因為動圓P過點N，所以|pn|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切,所以\PM\二|PN|+2邁,即|PM|-\PN\=2邁.故點P的軌跡是以M,N為焦點，實軸長為2邁的雙曲線的左支.因為實半軸長a=斗2，半焦距c=2?所以虛半軸長b=\:c2-a2=\2.從而動圓P的圓心的軌跡方程為乂-蘭=1(xW-邁).^2^211.解：(1)設切點A、B坐標分別為(x,x2)和(x,x2)((x豐x),01110???切線AP的方程為：2xx—y—x2=0;00切線BP的方程為：2xx—y—x2=0;11解得P點的坐標為：x=芻4,y=xxTOC\o"1-5"\h\zP2P01所以MB的重心G的坐標為S=中產(chǎn)=S'(x+x)2—xx4x2—y(x+x)2—xx4x2—y01=PP,3從而得到重心G的軌跡方程y=—0+p=1=1g333所以y=—3y+4x2,由點P在直線l上運動,pGG為：x—(—3y+4x2)—2=0,即y=|(4x2—x+2).-uuur-—4),FB=-uuur-—4),FB=(x,x2—-).(2)方法1：因為FA=(x,x2—-),FP=(txx004201由于P點在拋物線外，則IFP圧0.11uuruurFP-FAcosZAFP=uruur=IFPIIFAIX+X/1、/1、0—-X+(XX一一)(X2-)2ooi4o4

uuiirXX+—

=0dur4,IFPI同理有cosZBFP=uuuruuurFP-FB

uuruur|FP||FB|4、0IFPIJ’X2+(X2—1)2004-X+(XX—1)(X2—1)XX+11014丄4=0Ur4,1、IFPIX+X—912uurI1~IFPI：X2+(X2-)2.\ZAFP=ZPFB.方法2：①當xx10=0時,由于X1豐x,不妨設x00=0,則y=0,所以P點坐標為0,0)，則點到直線AF的距離d1=￥而直線bf的方程:y一-1X2—14-X,X111艮卩(x2一―)x一xy+—X=0.14141所以P點到直線BF的距離為：1XXI(x2—)+—I(X2—1)2+(X)21411IXI(X2+)—=—42=1X2+14所以d1=d2，即得ZAFP=ZPFB.②當xx豐0時，直線AF的方程:101X2—直線BF的方程：y—1=亠44X-0所以P點到直線AF的距離為I(X2—1)()—X2X+1XId=04]20丄401J(X2—4)2+X20401X2—:104?y=4x—00(X—0),即(X2—)x—xy+04=0,(X-0),即(X2-)x-xy+X=0,14I寧)(X2+―)2o4IX—XI同理可得到P點到直線BF的距離d2=-y亠，ZPFB.因此由d1=d2，可得到ZAFP=12.(I)證法一：設點P的坐標為(x,y).由P(X,y)在橢圓上，得b2■cIFPI=(X+c)2+y2=(X+c)2+b2—X2=|'(a+x)2.1a2ac由x>-a,知a+—x>-c+a>0，所以丨FPI=a+X.a1a證法二：設點P的坐標為(x,y).記IFPI=r,IFPI=r,1122則(x+c)2+y2,[J：(x+c)2+y-cTOC\o"1-5"\h\z由r+r=2a,r2一r2=4cx,得IFP1=r=a+x.121211證法三：設點P的坐標為（x,y）.橢圓的左準線方程為a+二x二0.由橢圓第二定義得〔?P〔=—，即IFPI=￡Ix+竺I=Ia+cxI.a2a1acaIx+Ic—■-c由x>-a,知a+x>-c+a>0，所以IFPI=a+x.a1（II）解法一：設點T的坐標為（x,y）.當IPTI=0時，點（a,0）和點（一a,0）在軌跡上.當|PTIh0且ITFIh0時，由PT-TF=0，得PT丄TF.222又IPQI=IPFI，所以T為線段F2Q的中點.221■在△QF1F2中，IOTI=-IFQI=a，所以有x2+y2=a2.1221綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.解法二：設點T的坐標為（x,y）.當IptI=0時，點（a，0）和點（一a，0）在軌跡上.當|PTIh0且ITFIh0時，由PT-TF=0，得PT丄TF.222又IPQI=IPFI，所以T為線段F2Q的中點.22設點Q的坐標為（x設點Q的坐標為（x:y'），則x=y=x'+c2工2°x=2x一c,y'=2y.由IFQI=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②1將①代入②，可得x2+y2=a2.

綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2二a2.（Ill）解法一：C上存在點M（x,y）使S=b2的充要條件是00x2+y2=a2,0051—?2cIy1=b2.〔20由③得Iy由③得Iyol＜a，由④得yol=y.所以，當0＞竺時，存在點M，使S=b2；c當a<竺時，不存在滿足條件的點c當a>—時，MF=(—c—x，―y),MF=(c—x，―y)，c100200由MF?MF=x2—c2+y2=a2—c2=b2，1200MF?MF=lMFI?IMFIcosZFMF，1212121S=IMFI?IMFIsinZFMF=b2，得tanZFMF=2.2121212解法二：C上存在點M(x,y)使S=b2的充要條件是00x2+y2=a2,0051-?2cIyI=b2.〔20由④得IyI=竺.上式代入③得x2=a2—匕=（a-竺）（a+竺）＞0.0c0c2cc于是，當a＞竺時，存在點M，使S=b2；c當a＜竺時，不存在滿足條件的點Mc記k=k1F記k=k1F1M0—,k=k=0—/x+c2F2Mx—c00由IFFk2a,由IFFk2a,知ZFxMF2<90。，所以tanzfmf=I121212—k1+kk1213.解：拋物線的焦點坐標為（1,0），當直線l不垂直于x軸時，設方程為y=k（x—1），代入y2=4x，得k2x2－x（2k2+4）+k2=0.設l方程與拋物線相交于兩點，???kH0.設點A、B的坐標分別為（x”y1）＞（x2，y2），

根據(jù)韋達定理，有x1+x2=+2）k2從而y1+y2=k(x1+x2－2)設AAOB的重心為根據(jù)韋達定理，有x1+x2=+2）k2從而y1+y2=k(x1+x2－2)設AAOB的重心為G（x,y），0+x+x24x=12=+333k2424消去k得x=3+3(4y)20+y+yy=123.*.y2=_x—8.當l垂直于x軸時，A、B的坐標分別為(1,2)39?3k和（1，－2），339因此所求軌跡C的方程為y2=4x-8.3914.解：設點M(x,y)，點M到圓C的切線的切點為P，貝VIMPI二九IMQIQIMPI=JMOI2-1OPI2=、:'x2+y2—1IMQ\=Q(x—2)2+y2??x2+y2—1=y'(x—2)2+y2整理，得：(九2一1)x2+(九2一1)y2一4九2x+(1+4九2)二0?動點M的軌跡方程為（九2—1）x2+（九2—1）y2—4九2x+（1+4九2）二0當九=1時，它表示直線4x—5=0心，若為半徑的圓。2尢2，表示以G一,0）為圓人2—1P當當豐心，若為半徑的圓。2尢2，表示以G一,0）為圓人2—1P00215.解：以OO的中點0為原點，OO所在的1212直線為x軸，建立平面直角坐標系，則O(—2,0),O(2,0)12由已知PM=j2pN可得：PM2二2PN2因為兩圓的半徑均為1，所以PO2—1二2（PO2—1）12設P(x,y)，則(x+2)2—1二2[(x—2)2+y2—1]，即(x—6)2+y2二33

所以所求軌跡方程為：(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0)解：設弦中點為M(x,y),交點為A(x,y)、B(x,y)。當M與P不重1122合時,A、B、M、P四點共線。?:(y-y)(x-1)二(x-x)(y-2)①2121由紅+紅=1，169話+專=1，兩式相減得2116("l-兀2)(A+兀2)+(人-歹2)(人+歹2)二21169又x+又x+x=2x,1212=2y2x(x-x)2y(y-y)12=—12169由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0③當點M與點P重合時，點M坐標為(1,2),適合方程③。???弦中點的軌跡方程為：9x2+16y2-9x-32y=0由于M、N都是運動的，所以求的軌跡必須化“動”為“靜”，結(jié)合動點P的幾何性質(zhì)，連結(jié)DP，因為MN=2,所以PD=1，因此點P的軌跡是一個以D為球心，1為半徑的球面在正方體內(nèi)的部分，所以點P的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的1，即1x4兀x13=。8836解:如圖所示，以AB所在直線為x軸，以AB中點為原點建立直角坐標系。若這樣界線存在，如圖設點M為此曲線上任一點，則由題義得：|PA|+|AM|=|PB|+|BM|，艮卩|MA|-|MB|=|PB|—|PA|=150-100=50

???點M的軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支(在矩形ABCD內(nèi)部的一段)。方程