初中數(shù)學(xué)一等獎(jiǎng)?wù)n件-一元二次方程

一元二次方程初中數(shù)學(xué)課件之一元二次方程初中數(shù)學(xué)課件之1目錄概念解析A●方程的解B●方程解法C●拓展訓(xùn)練D●解應(yīng)用題E●目錄概念解析A●方程的解B●方程解法C●拓展訓(xùn)練D●解應(yīng)用題2A概念解析基本定義●判定條件●四種形式●A概念解析基本定義●判定條件●四種形式●3概念解析之成立條件

只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程經(jīng)過(guò)整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）?！径x】ax2+bx+c=0叫作二次項(xiàng)a是二次項(xiàng)系數(shù)叫作一次項(xiàng)b是一次項(xiàng)系數(shù)叫作常數(shù)項(xiàng)概念解析之成立條件只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未41、公元前2000年左右，古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解一元二次方程了。古埃及的紙草文書中也涉及到最簡(jiǎn)單的二次方程。2、大約公元前480年，中國(guó)人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根?！毒耪滤阈g(shù)》勾股章中的第二十題，是通過(guò)求相當(dāng)于x2+34x-71000=0

的正根而解決的。3、公元628年，印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）（約598～約660）出版了《婆羅摩修正體系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)求根公式。4、公元820年，阿拉伯的阿爾·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代數(shù)學(xué)》。書中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在。5、法國(guó)的韋達(dá)（1540～1603）除推出一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，還給出了根與系數(shù)的關(guān)系。【歷史】概念解析之基本定義1、公元前2000年左右，古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解一元二次方程5概念解析之判定條件一元二次方程成立必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①是整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式。方程中如果有分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個(gè)方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號(hào)，且未知數(shù)在根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)方程也不是一元二次方程（是無(wú)理方程）。②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2。【判定條件】概念解析之判定條件一元二次方程成立必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：【6概念解析之四種形式ax2+bx+c=0（a≠0）【一般形式】【變形式】ax2+bx=0（a≠0）ax2+c=0（a≠0）ax2=0（a≠0）【配方式】【兩根式】b2ax+()2=b2-4ac4a2a(x-x1)(x-x2)=0概念解析之四種形式ax2+bx+c=0（a≠0）【一般形式7B方程的解含義特點(diǎn)●判別式●韋達(dá)定理●B方程的解含義特點(diǎn)●判別式●韋達(dá)定理●8方程的解之含義特點(diǎn)【含義】一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解。一般情況下，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根（只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根）?！咎攸c(diǎn)】由代數(shù)基本定理，一元二次方程有且僅有兩個(gè)根（重根即為兩個(gè)相等的根），根的情況由判別式?jīng)Q定?！?b2-4ac方程的解之含義特點(diǎn)【含義】一元二次方程的解（根）的意義：能9方程的解之判別式上述結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立?！?b2-4ac【判別式與根的關(guān)系】利用一元二次方程根的判別式（）可以判斷方程的根的情況。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與判別式有如下關(guān)系：①當(dāng)△﹥0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△﹤0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。方程的解之判別式上述結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立?！?b2-4ac【判10方程的解之韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，兩根x1，

x2有如下關(guān)系：【韋達(dá)定理】x1+x2=ba-x1x2=ca【推導(dǎo)過(guò)程？】

待學(xué)完利用求根公式解一元二次方程后，可提示學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)（后附求根公式推導(dǎo)過(guò)程）！方程的解之韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠011C方程解法基本方法●特殊方法●C方程解法基本方法●特殊方法●12方程解法之基本方法?開平方法【之一開平方法】（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程。（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±p。（3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=±p，進(jìn)而得出方程的根。①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)。②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。③方法是根據(jù)平方根的意義開平方。注意方程解法之基本方法?開平方法【之一開平方法】（1）形13方程解法之基本方法?開平方法【例題】1、解方程x2-24=1解：移項(xiàng)得：x2=25

x=±25x=±5∴x1=5x2=-52、解方程

(3x+1)2=16解：∵（3x+1)2=16

∴3x+1=±16

∴x=（-1±4）÷3∴原方程的解為x1=-5/3,x2=1

方程解法之基本方法?開平方法【例題】1、解方程x214方程解法之基本方法?因式分解法【之二因式分解法】因式分解法是通過(guò)將方程右邊化為0后，將左邊因式分解，變成兩個(gè)一元一次方程相乘的形式，從而求得方程的解的方法。（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.基本步驟方程解法之基本方法?因式分解法【之二因式分解法】因式15方程解法之基本方法?因式分解法1.解方程x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：

（x+1)2=0∴x=-1【例題】2.解方程x(x+1)-2(x+1)=0解：利用提公因式法解得：

（x+1)(x-2)=0

即x-2=0或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x2-4=0解：利用平方差公式因式分解得：

（x-2)(x+2)=0即x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2=2方程解法之基本方法?因式分解法1.解方程x2+2x16方程解法之基本方法?因式分解法十字相乘法是因式分解法解一元二次方程中一個(gè)重要的部分。一元二次方程左邊為二次三項(xiàng)式，形如x2+(p+q)x+pq=0，可化為(x+p)(x+q)=0，從而得出：x1=-p;x2=-q。十字相乘法1、解方程x2-8x+15=0解：利用十字相乘法，-8=-3-5，15=3×5∴原式可化為(x-3)(x-5)=0∴x1=3；x2=5【例題】方程解法之基本方法?因式分解法十字相乘法是因式分解法解17方程解法之基本方法?配方法【之三配方法】將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接開平方法求解的方法。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式。配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)實(shí)根；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則方程有一對(duì)共軛虛根?；静襟E方程解法之基本方法?配方法【之三配方法】將一元二次方18方程解法之基本方法?配方法配方法的口訣二次系數(shù)化為一，分開常數(shù)未知數(shù)；一次系數(shù)一半方，兩邊加上最相當(dāng)。1、解方程x2+2x－3=0解：把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)得：x2+2x=3等式兩邊同時(shí)加1（構(gòu)成完全平方式）得：x2+2x+1=4配方得：（x+1)2=4∴x1=-3,x2=1【例題】方程解法之基本方法?配方法配方法的口訣二次系數(shù)化為一，19方程解法之基本方法?公式法【之四公式法】公式法是通過(guò)將方程化成一般形式后，根據(jù)判別式的三種情況，求得方程的解的方法。①把方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），確定a、b、c的值（注意符號(hào)）；②求出判別式（）的值，判斷根的情況；③當(dāng)△﹥0，方程有兩個(gè)不相等的根：

當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根：當(dāng)△﹤0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。基本步驟△=b2-4ac-b+b2-4ac2ax1=-b-b2-4ac2ax2=-b2ax=方程解法之基本方法?公式法【之四公式法】公式法是通過(guò)20方程解法之基本方法?公式法【例題】1、解方程2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=∴原方程的解為x1=

x2=2×2-(-8)±2424-624+62、解方程4x2-3x+1=0解：由原式可知：a=4，b=-3，c=1∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．方程解法之基本方法?公式法【例題】1、解方程2x221方程解法之特殊方法?賦值法【之五賦值法】賦值法是利用韋達(dá)定理中兩根關(guān)系來(lái)解部分一元二次方程的方法。①現(xiàn)將方程ax2+bx+c=0（a≠0）同時(shí)除以a，得到x2+x+=0②設(shè)x1=-+m，x2=--m(m≥0)③根據(jù)韋達(dá)定理可得：x1·x2=將第二步中的設(shè)定代入，求得m④再求得x1,x2。基本步驟bacab2ab2aca方程解法之特殊方法?賦值法【之五賦值法】賦值法是利用22方程解法之特殊方法?賦值法【例題】1、解方程2x2-140x+1650=0解：第一步將方程兩邊同時(shí)除以a=2

方程化為：x2-70x+825=0，此時(shí)可知：-=35

設(shè)x1=35+m，x2=35-m(m≥0)

根據(jù)韋達(dá)定理可知：x1·x2=825

則有：(35+m)(35-m)=825

解得：m=20∴方程的解為：x1=55，x2=15。b2a方程解法之特殊方法?賦值法【例題】1、解方程2x223D拓展訓(xùn)練推導(dǎo)求根公式●幾何意義●韋達(dá)定理●D拓展訓(xùn)練推導(dǎo)求根公式●幾何意義●韋達(dá)定理●24拓展訓(xùn)練之求根公式推導(dǎo)第一步：約分第二步：配方第三步：通分第四步：開平方一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式推導(dǎo)過(guò)程如下：拓展訓(xùn)練之求根公式推導(dǎo)第一步：約分第二步：配方第三步：通分25拓展訓(xùn)練之幾何意義一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的幾何意義一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的幾何意義是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（為一條拋物線）與x軸交點(diǎn)的x坐標(biāo)。說(shuō)明：本表只例舉a﹥0時(shí)，拋物線開口向上的情況，當(dāng)a﹤0時(shí)，拋物線開口向下，但根與判別式關(guān)系不變。拓展訓(xùn)練之幾何意義一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠26E解應(yīng)用題一般步驟●精選例題●E解應(yīng)用題一般步驟●精選例題●27解應(yīng)用題之一般步驟1、審：讀懂題目、審清題意，明確已知與未知條件及其數(shù)量關(guān)系;2、設(shè)：設(shè)未知數(shù)，包括直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)兩種，主要根據(jù)題目特點(diǎn)來(lái)選擇合適的設(shè)未知數(shù)方式;3、列：根據(jù)題目給出的條件，利用等量關(guān)系，列出方程;4、解：求出所列方程的正確解;5、驗(yàn)：對(duì)求出的方程解進(jìn)行檢驗(yàn)，一看是否能使方程成立，二看是否符合題意和生活實(shí)際，如不符合則應(yīng)舍去;6、答：一般遵循“問(wèn)什么答什么，怎么問(wèn)怎么答”。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟，可歸納為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”：解應(yīng)用題之一般步驟1、審：讀懂題目、審清題意，明確已知與未28解應(yīng)用題之精選例題1、有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人可傳染人數(shù)共傳染人數(shù)第0輪1(傳染源)1第1輪xx+1第2輪x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=121化簡(jiǎn)為x2+2x-120=0解方程，得x1=10，x2=-12檢驗(yàn)可知x2=-12不符合題意，所以原方程的解是x=10

答:每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人?！緜鞑?wèn)題】解應(yīng)用題之精選例題1、有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有129解應(yīng)用題之精選例題2、某電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為600萬(wàn)元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2002年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到2160萬(wàn)元，且計(jì)劃從2000年到2002年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為多少萬(wàn)元?解:設(shè)每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為x.列方程，600÷40%×(1+x)2=2160解方程得：

x1=0.2x2=-2.2，(不符合題意，舍去)∴每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為0.2則2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為:600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800

答:2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為1800萬(wàn)元?！酒骄蕟?wèn)題】解應(yīng)用題之精選例題2、某電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中30解應(yīng)用題之精選例題3、王明同學(xué)將100元第一次按一年定期儲(chǔ)蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的50元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的一半，這樣到期后可得本金利息共63元，求第一次存款時(shí)的年利率.解:設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x，根據(jù)題意，得[100(1+x)-50](1+x)=63.整理，得50x2+125x-13=0.解得x1=0.1，x2=-2.6.∵x2=-2.6不合題意，∴x=10%.

答:第一次存款時(shí)的年利率為10%?！俱y行問(wèn)題】解應(yīng)用題之精選例題3、王明同學(xué)將100元第一次按一年定期儲(chǔ)31解應(yīng)用題之精選例題4、在寬20米，長(zhǎng)32米的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路(兩條縱向，一條橫向，并且橫向與縱向互相垂直)，把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田的面積是570平方米，問(wèn)道路應(yīng)該多寬?解：設(shè)路寬為x米，則兩條縱路面積為2?x?20=40x(米2)，一條橫路所占的面積為32x(米2).縱路與橫路所占的面積都包括兩個(gè)小正方形ABCD、EFGH的面積，所以三條路所占耕地面積應(yīng)當(dāng)是(40x+32x-2x2)米2，根據(jù)題意可列出方程32×20-(40x+32x-2x2)=570.整理，得x2-36x+35=0.解方程，得x1=1，x2=35.x2=35不合題意舍去，所以x=1.

答:道路寬為1米.【面積問(wèn)題】ABCDEFGH解應(yīng)用題之精選例題4、在寬20米，長(zhǎng)32米的矩形耕地上，修32解應(yīng)用題之精選例題5、一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字之和為5;把十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字互換后再乘以原數(shù)得736，求原來(lái)兩位數(shù).解:設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為(5-x)，原來(lái)的兩位數(shù)就是:10(5-x)+x，新的兩位數(shù)就是:10x+(5-x).可列出方程:[10(5-x)+x][10x+(5-x)]=736.整理，得：x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.當(dāng)x=2時(shí)，5-x=5-2=3;當(dāng)x=3時(shí)，5-x=5-3=2.