概率論第5章-參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)課件

第5章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來(lái)推斷總體分布的數(shù)字特征稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)推斷，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心。當(dāng)已經(jīng)知道一個(gè)總體的分布函數(shù)形式,但是其中一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)尚未知,利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體的參數(shù)作出估計(jì)，稱(chēng)為參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)通常分成兩類(lèi)：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：用樣本的某個(gè)函數(shù)值作為總體中未知參數(shù)的估計(jì)值；區(qū)間估計(jì)：把總體的未知參數(shù)確定在某個(gè)區(qū)間內(nèi)。設(shè)樣本的一組值為:1.651.671.681.781.69假如我們要估計(jì)某學(xué)院男生的平均身高.現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，根據(jù)選取出的這5個(gè)數(shù)，估計(jì)m

為1.68，這是點(diǎn)估計(jì).估計(jì)m在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，這是區(qū)間估計(jì).5.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

q

是一元或多元待估參數(shù),設(shè)總體x的分布函數(shù)的形式F(x;q

)為已知,X1,X2,…,Xn

是x的一個(gè)樣本,點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題就是要利用樣本構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量x1,x2,…,xn

為相應(yīng)的一個(gè)樣本值.1.求估計(jì)量的常用方法(1)矩估計(jì)法用樣本k階原點(diǎn)矩ak作為總體的k階矩v

k的估計(jì)量若總體x

的分布中包含k個(gè)未知參數(shù)q1,q2,…,qk,聯(lián)列前k個(gè)矩估計(jì)的方程這個(gè)估計(jì)量稱(chēng)為矩估計(jì)量，其觀察值稱(chēng)為矩估計(jì)值.解聯(lián)立方程解例1

設(shè)總體x的均值m和方差s2均為未知,

,,,21是一個(gè)樣本,又設(shè)nXXX…求m和s2的矩估計(jì)量.例2設(shè)總體x在[0,q

]上服從均勻分布,的估計(jì)量.求q得q的估計(jì)量2?qX=其中q解：1個(gè)未知參數(shù),根據(jù)矩估計(jì)法,列出1個(gè)方程(q>0)未知,(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自總體x

的樣本,求a,b的估計(jì)量.),,,(21是來(lái)自總體x的樣本,XXXn…例(習(xí)題2)設(shè)總體x在[a,b]上服從均勻分布,其中a,b未知,解得到a,b的矩估計(jì)量分別為例(習(xí)題5)設(shè)總體的概率密度為解(2)

極大似然法通過(guò)兩個(gè)例子了解其基本思想例1兩人同時(shí)向同一目標(biāo)各射一發(fā)子彈,只有一發(fā)中的,例2某事件發(fā)生的概率可能為0.01或0.4,在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,極大似然估計(jì)法的基本思想就是“在一次試驗(yàn)中概率最大的事件最可能發(fā)生”“似然”用通俗的話(huà)說(shuō)就是“可能性”。一般都認(rèn)為是成績(jī)較好的打中的可能性大?？梢哉J(rèn)為其概率是0.4而不是0.01似然函數(shù)極大似然估計(jì)值極大似然估計(jì)量由極大似然估計(jì)法的基本思想,上式應(yīng)該取最大值即在一次抽取中得到的概率或概率密度，求極大似然估計(jì)量的方法與步驟第一步:構(gòu)造似然函數(shù)第二步:求出對(duì)數(shù)似然函數(shù)得極大似然估計(jì)量由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)的求法，解總體x~P(l),例(習(xí)題9)求泊松分布中參數(shù)l的極大似然估計(jì)量例(習(xí)題5)設(shè)總體的概率密度為例設(shè)總體x

的

概率密度為解2.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(1)無(wú)偏性(2)有效性(3)相合性(一致性)常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值.(1)無(wú)偏性.真值則稱(chēng)q為q的無(wú)偏估計(jì).?定義:我們希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng)，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值.這就導(dǎo)出了無(wú)偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).例5數(shù)學(xué)期望m和方差s2的無(wú)偏估計(jì)量設(shè)總體x的均值為m,方差為s2(不管服從什么分布,只要均值和方差存在),

X1,X2,…,Xn是來(lái)自x的一個(gè)樣本,由于因此是m的無(wú)偏估計(jì)量對(duì)于樣本方差如果設(shè)則ES2=s2,即S2是s2的無(wú)偏估計(jì)量(稱(chēng)為修正樣本方差)(2)有效性.都是參數(shù)q的無(wú)偏估計(jì)量，.綠色是采用估計(jì)量q1

，紅色是采用估計(jì)量q2??q1

較q2有效??定義:例6驗(yàn)證樣本的加權(quán)平均值:證也是數(shù)學(xué)期望m的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量,但它不如有效.因此是m的無(wú)偏估計(jì)量由施瓦茨(Schwarz)不等式,練習(xí)(習(xí)題13)試證下列統(tǒng)計(jì)量均為總體期望的無(wú)偏估計(jì)量，并說(shuō)明其中哪一個(gè)最有效：(3)相合性(一致性)除無(wú)偏性和有效性外,評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量是否優(yōu)良的第三條稱(chēng)為一致性.定義:例7由獨(dú)立同分布大數(shù)定律矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.矩估計(jì)具有相合性，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單修正也可以做到無(wú)偏性，但對(duì)于高于2階的矩則不能保證有效性，因而矩估計(jì)法不一定是“最佳”的，這是其缺點(diǎn)。作業(yè)P111習(xí)題54(求矩估計(jì)量),5,6,13

例(習(xí)題6)設(shè)總體x~E(l),概率密度為解5.2參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是從樣本出發(fā)，對(duì)總體的分布作出推斷。例某廠生產(chǎn)合金鋼，其抗拉強(qiáng)度X(單位：kg/mm2)可以認(rèn)為服從正態(tài)分布N(m,s2)。這相當(dāng)于先提出了一個(gè)假設(shè)

H0：m=48，然后要求從樣本觀測(cè)值出發(fā)，檢驗(yàn)它是否成立。作推斷的方法，主要有兩種，一種是上一節(jié)講的參數(shù)估計(jì)，另一種是假設(shè)檢驗(yàn)。據(jù)廠方說(shuō)，抗拉強(qiáng)度的平均值m=48。現(xiàn)抽查5件樣品，測(cè)得抗拉強(qiáng)度為46.845.048.345.144.7問(wèn)廠方的說(shuō)法是否可信？例為了研究飲酒對(duì)工作能力的影響，任選19名工人分成兩組，一組工人工作前飲一杯酒，一組工人工作前不飲酒，讓他們每人做一件同樣的工作，測(cè)得他們的完工時(shí)間(單位：分鐘)如下：飲酒者30465134484539615867未飲酒者282255453935423820問(wèn)飲酒對(duì)工作能力是否有顯著的影響？?jī)山M工人完成工作的時(shí)間，可以分別看作是兩個(gè)服從正態(tài)分布的總體X~N(m1,s12)和Y~N(m2,s22)，如果飲酒對(duì)工作能力沒(méi)有影響，兩個(gè)總體的均值應(yīng)該相等。這相當(dāng)于先提出了一個(gè)假設(shè)

H0：m1

=m2，然后要求從樣本觀測(cè)值出發(fā)，檢驗(yàn)它是否成立。前2例有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是先提出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是接受還是拒絕。我們稱(chēng)這樣的問(wèn)題為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。備擇假設(shè)：原假設(shè)不成立時(shí)要接的假設(shè)，記為H1。

判斷假設(shè)的依據(jù)：實(shí)際推斷原理——“小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的”原假設(shè)或零假設(shè):提出要求檢驗(yàn)的假設(shè),記為H0例如例如H0:m1=m2假設(shè)檢驗(yàn)的方法就是依照上面原理提出待檢驗(yàn)的假設(shè)；確定在假設(shè)成立條件下的一個(gè)小概率事件；由一次試驗(yàn)（抽樣）的結(jié)果看此小概率事件是否發(fā)生了，若發(fā)生了,則拒絕假設(shè),否則接受假設(shè)

.實(shí)際推斷原理——“小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的”例1

某自動(dòng)包裝機(jī)在正常工作時(shí)，每包重量服從N(105,1.52).104,106,109,104,105,108,108,102,109今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)檢測(cè)9包結(jié)果如下:由長(zhǎng)期實(shí)踐可知,標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定,如果標(biāo)準(zhǔn)差保持常數(shù)1.5,問(wèn)機(jī)器工作是否正常?問(wèn)題:根據(jù)樣本值判斷m=105還是m1105.H0:m=m0

=105,(H1:m≠

m0)先提出待檢驗(yàn)的假設(shè)定一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”，給定a，0<a<1,通常a取得很小,一般取a=0.05,a=0.01,

就可以認(rèn)為如果H0為真,根據(jù)實(shí)際推斷原理,幾乎是不會(huì)發(fā)生的.由一次試驗(yàn)得到滿(mǎn)足不等式如果這小概率事件發(fā)生了,就有理由拒絕原假設(shè)H0,否則沒(méi)理由拒絕H0,就只好接受它.因此給定a,一般取a=0.05,a=0.01,假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟:第一步提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0(例如q=q0);第二步選擇在假設(shè)成立條件下合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,并給其服從的抽樣分布;第三步給定一個(gè)稱(chēng)之為“顯著性水平”的小概率a,根據(jù)a和所選取的統(tǒng)計(jì)量,查概率分布臨界值表,根據(jù)臨界值確定一個(gè)區(qū)域，使統(tǒng)計(jì)量落在這個(gè)區(qū)域的概率為a,這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為“拒絕域”;第四步將樣本觀察值代入所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中,計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值,若該值落入拒絕域,則拒絕原假設(shè)H0,否則接受原假設(shè)H0.當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量設(shè)總體x~N(m,s

2),X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體x的樣本,s2為已知,顯著性水平為a假設(shè)檢驗(yàn)H0:m=m0,1.s2為已知,關(guān)于m的假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)根據(jù)本章定理4.1知,(1)假設(shè)檢驗(yàn),u-檢驗(yàn)法給定顯著性水平a,查正態(tài)分布表，求得滿(mǎn)足的ua/2,拒絕域：確定拒絕域:接受域拒絕域拒絕域?qū)⒔o定的樣本值x1,x2,…,xn代入統(tǒng)計(jì)量計(jì)算u的值，則我們有理由懷疑原來(lái)的假設(shè)H0的正確性而拒絕H0,反之則沒(méi)有理由懷疑假設(shè)H0的正確性而只好接受H0.如果

u的值落入拒絕域,即拒絕域：例1

某自動(dòng)包裝機(jī)在正常工作時(shí)，每包重量服從N(105,1.52).解:104,106,109,104,105,108,108,102,109今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)檢測(cè)9包結(jié)果如下:如果均方差保持常數(shù)1.5,試在a=0.05與a=0.01兩種情況下討論該問(wèn)機(jī)器工作是否正常?(1)H0:m=m0=105(3)給定a

=0.05,查表得給定a

=0.01,查表得(4)計(jì)算在顯著性水平a=0.05時(shí),|u|>ua

/2=1.96,在顯著性水平a=0.01時(shí),|u|<ua

/2=2.58,拒絕H0,認(rèn)為這批產(chǎn)品不正常;接受H0,認(rèn)為這批產(chǎn)品正常。練習(xí)(習(xí)題14)設(shè)在原工藝條件下產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(5,0.12),今采用新工藝,測(cè)得容量為n=100的樣本,其樣本平均值若認(rèn)為新工藝未改變分布的方差,試以顯著性水平a=5%檢驗(yàn)新工藝條件下質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望值仍等于5.(1)H0:m=m0

=5(3)給定a

=0.05,查表得(4)計(jì)算拒絕原假設(shè)結(jié)論:新工藝條件下質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望值不等于5.解即:新老工藝質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望有顯著性差異(顯著性水平a=5%).2.區(qū)間估計(jì)對(duì)總體的未知參數(shù)根據(jù)給定的顯著性水平a進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)(H0:q=q0)如果被拒絕,往往就要估計(jì)這個(gè)參數(shù)q可能取值的范圍，這種估計(jì)就叫做區(qū)間估計(jì)。如同假設(shè)檢驗(yàn)中的第三步:根據(jù)a和所選取的統(tǒng)計(jì)量,查概率分布臨界值表,根據(jù)臨界值確定一個(gè)區(qū)域,這個(gè)區(qū)間以指定的概率1-a包含了所求參數(shù)的真值,則稱(chēng)此區(qū)間是此參數(shù)

的置信水平為

1–a

的置信區(qū)間.給定a(小概率),有即得m的置信度為1-a的置信區(qū)間:若s2為已知,關(guān)于m的區(qū)間估計(jì)上面例1中,假設(shè)檢驗(yàn)H0:m=105,在顯著性水平a=0.05時(shí),u>u1/2=1.96,拒絕H0,現(xiàn)在求m的置信度為1-a=0.95的置信區(qū)間.m的置信度為0.95

的置信區(qū)間為:今抽9件測(cè)量其長(zhǎng)度,得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):例設(shè)某工件的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(m,16),試求參數(shù)m的置信水平為95%的置信區(qū)間.

m的置信水平為1-a的置信區(qū)間為得知由n=9,=147.333x

m的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(144.720,149.946).142,138,150,165,156,148,132,135,160.u0.05/2

=1.96,s

=4,a

=0.05,

解采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

/

0nSXtm-=設(shè)總體x~N(m,s

2),其中m,s2為未知,X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體x的樣本,顯著性水平為a要求檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m02.

s

2為未知,關(guān)于m的假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)(1)假設(shè)檢驗(yàn),t-檢驗(yàn)法根據(jù)本章定理4.3知,),1(~/

,00--ntnSXHm為真時(shí)當(dāng)

,/

00Hnsxt過(guò)分大時(shí)就拒絕當(dāng)觀察值m-==a/0mtyü?íì3-ta/2(n-1)

nSXPP{|t|3

ta/2(n-1)

}=給定顯著性水平a,查t分布分位數(shù)表得ua/2(n-1)

,使確定拒絕域接受域拒絕域拒絕域上述利用t

統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱(chēng)為t檢驗(yàn)法.例4在正常工作下,設(shè)產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布,其數(shù)學(xué)期望值等于14.2,從某批產(chǎn)品中抽取7件,稱(chēng)得重量分另為:以顯著性水平a=5%,檢驗(yàn)這批產(chǎn)品質(zhì)量是否合適(指這批產(chǎn)品均重為m=14.2)14.5,14.1,14,13.2,13.8,14.5,13.5解:(1)H0:m=14.2(3)給定a

=0.05,查表得(4)計(jì)算例從某年的新生兒中隨機(jī)抽取20個(gè)，測(cè)得其平均體重為3160克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克。據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)資料，新生兒體重服從正態(tài)分布，平均體重為3140克。問(wèn)該年與過(guò)去的新生兒體重有無(wú)顯著差異？(a=0.01)解:(1)H0:m=m

0=3140(3)給定a

=0.01,查表得(4)計(jì)算該年與過(guò)去的新生兒體重?zé)o顯著差異(a=0.01)(2)區(qū)間估計(jì)對(duì)給定的置信水平1-a,確定分位數(shù)ta/2(n-1)從中解得于是得m

的置信度為1–a的置信區(qū)間為例4在正常工作下,設(shè)產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布,其數(shù)學(xué)期望值等于14.2,從某批產(chǎn)品中抽取7件,稱(chēng)得重量分別為:求產(chǎn)品重量數(shù)學(xué)期望的置信度為1-a=95%的置信區(qū)間14.5,14.1,14,13.2,13.8,14.5,13.5解:m的置信度為1-a的置信區(qū)間為:例

假定出生嬰兒體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取5名嬰兒，測(cè)其體重為3100，2520，3000，3160，3560，試以95％的置信系數(shù)估計(jì)嬰兒平均體重的區(qū)間。故嬰兒平均體重的95%置信區(qū)間為：作業(yè)P112習(xí)題514、15、19附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表附表3-1

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-