課題學習-《最短路徑問題》教學課件

第十三章軸對稱13.4課題學習最短路徑問題兩點之間線段最短一.情境引入將軍飲馬問題：

兩點之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。(一)兩點在一條直線兩側(cè)問題1.如圖：將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？AB二.自主探究合作交流ABMNP解：連接AB，交MN于點P，點P即為所求。可抽象為：一線兩點型（兩點在異側(cè)）在直線MN上確定點P，使得AP+PB最小。根據(jù):兩點之間線段最短。

變式:如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？

AB河(二)兩點在一條直線同側(cè)知識點在直線MN上確定點P，使得AP+PB最小?？沙橄鬄椋阂痪€兩點型（兩點在同側(cè)）動畫演示ABPB'MN解：作點B的對稱點B′,連接AB′交MN于點P,點P即為所求。運用“軸對稱”解決最短路徑問題。ABPB'MNQ如何證明這是最短路徑呢？由軸對稱的性質(zhì)知，

BＰ=B′Ｐ，BＱ=B′Ｑ．∴AＰ+BＰ=AＰ+B′Ｐ=AB′，且AＱ+BＱ=AＱ+B′Ｑ在△AB′Ｑ中，AB′＜AＱ+B′Ｑ，∴AＰ+BＰ＜AＱ+B′Ｑ即AＰ+BＰ最短．證明：在MN上另取點Q(不與點P重合），連接AQ、BQ、B′Q“一線兩點型”的具體方法：①當兩點在直線異側(cè)時，連接兩點，與直線的交點即為所求作的點；②當兩點在直線同側(cè)時，作其中某一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點，即為所求作的點．

感悟：

問題2:（造橋選址問題）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

AMNB三.合作探究解決問題我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b,交直線a于點M，這樣，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為下面的問題：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最??？abAMNBabAMNB由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小。這樣問題可轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小。怎樣通過圖形的變化，把這個問題轉(zhuǎn)化為前面求距離和最短的情況？abAMNBA'作法：1.將點A沿與河岸垂直的方向平移一個河寬到點A'，

2.連接A'B交河對岸于點N，則點N為建橋的位置，過點N作MN⊥a，則MN為所建的橋。運用“平移”解決最短路徑問題在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,即AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+BN所以在點N的位置建橋MN，AB兩地的路徑AMNB最短。abAMNBA'M'N'證明：由作圖可知AA'∥MN,AA'=MN,則AM=A'N，所以A.B兩地的距離：AM+MN+NB=A'N+MN+NB=A'B+MN,若橋的位置建在N'處，過N'作N'M'⊥a,垂足為M',連接AM'.BN'.A'N',則AB兩地的距離為：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,

解決最短路徑問題的基本策略：借助軸對稱或平移的知識，化折為直。感悟：最短路徑問題的常見模型：四歸納小結(jié)本節(jié)課我們學習了哪些知識？同學們有什么收獲？模型1:一線兩點型模型2:橋梁選址型模型3:兩線一點型模型4:兩線兩點型五課外作業(yè)我思考,我進步“兩線一點型”