第04講空間向量及其運(yùn)算（七大題型）（原卷版）

第04講空間向量及其運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算題型二：共線向量定理的應(yīng)用題型三：共面向量及應(yīng)用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見(jiàn)的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識(shí)點(diǎn)三：共線問(wèn)題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線。注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問(wèn)題共面向量(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識(shí)點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過(guò)的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要將它們區(qū)別開(kāi)來(lái)，不可混淆．知識(shí)點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)七：夾角問(wèn)題1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦。知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過(guò)選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)八：空間向量的長(zhǎng)度1、定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長(zhǎng)度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來(lái)求解?！镜淅}】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2023·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同例3．（2023·山西·高二校聯(lián)考期中）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個(gè)空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量例4．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且滿足，N為BC的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．例5．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．例6．（2023·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．題型二：共線向量定理的應(yīng)用例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．例8．（2023·吉林松原·高二吉林油田高級(jí)中學(xué)校考期中）若，E為空間中不在直線CD上的任意一點(diǎn)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)例9．（2023·新疆阿勒泰·高二校聯(lián)考期末）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．例10．（2023·河南焦作·高二溫縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若空間向量不共線，且，則(

)A．6 B．12 C．18 D．24例11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）滿足下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是()A． B．C． D．例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)，且不共線時(shí)，與的關(guān)系是（

）A．共面 B．不共面 C．共線 D．無(wú)法確定題型三：共面向量及應(yīng)用例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面例14．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的一項(xiàng)是（

）A．點(diǎn)是唯一的，且一定與共面B．點(diǎn)不唯一，但一定與共面C．點(diǎn)是唯一的，但不一定與共面D．點(diǎn)不唯一，也不一定與共面例15．（2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．例16．（2023·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2例17．（2023·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則：的最小值為（

）A． B． C．1 D．2例18．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．題型四：空間向量的數(shù)量積例19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：________.例20．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在三棱錐中，已知，，，則___________例21．（2023·江蘇常州·高二江蘇省溧陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則=_______.例22．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．例23．（2023·湖南衡陽(yáng)·高二校考期末）如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則______.例24．（2023·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正四面體的長(zhǎng)為1，，則______．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角例25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．例26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量與夾角的余弦值為，且，，令，．(1)求，為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求，夾角的余弦值．例27．（2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校?？计谀┢叫辛骟w，(1)若，，，，，，求長(zhǎng)；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．例28．（2023·重慶江津·高二重慶市江津中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為，且兩兩夾角為.求：（1）的長(zhǎng)；（2）與夾角的余弦值.題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度例29．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二新民市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，，，，，，求的長(zhǎng)．例30．（2023·湖北咸寧·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長(zhǎng)．例31．（2023·江蘇淮安·高二洪澤湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，．求：(1)；(2)的長(zhǎng)；(3)的長(zhǎng)．例32．（2023·河北唐山·高二灤南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對(duì)角線折起，使與成角，求的長(zhǎng).例33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，，，，，求的長(zhǎng)．題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例34．（2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)證明：．例35．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐的各棱長(zhǎng)都為．(1)用向量法證明；(2)求的值．例36．（2023·福建三明·高二福建省尤溪第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在正三棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為.（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，試用向量法證明：；（2）設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長(zhǎng).【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（

）

A． B． C． D．2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．3．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诳臻g，已知，為單位向量，且，若，，，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．45．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）在平行六面體中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．6．（2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為（

）A． B．C． D．7．（2023·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為的正四面體中，則等于（

）A． B． C． D．8．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使B．若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面C．若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使D．若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面11．（2023·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)一中校考期末）如圖，在三棱柱中，分別是上的點(diǎn)，且.設(shè)，若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在