2022-2023學(xué)年安徽省安慶市九一六學(xué)校高一（下）第四次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()

圓柱；六棱錐；正方體；球體；四面體．

A.和B.C.和D.和

2.用半徑為的半圓形鐵皮圍成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的高為()

A.B.C.D.

3.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為()

A.B.C.D.

4.如圖，在中，為線段上的一點(diǎn)，，且，()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，：：：：，則()

A.B.C.D.

6.如果直線平面，直線平面，且，則與()

A.共面B.平行

C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線

7.如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()

A.

B.

C.

D.

8.遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎如圖一出土于遼寧省喀左縣小波汰溝此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體忽略鼎壁厚度，如圖二所示已知球的半徑為，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知向量，，則()

A.與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為

B.當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角

C.當(dāng)時(shí)，、可作為平面內(nèi)的一組基底

D.當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為

10.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，對(duì)于有如下命題，其中正確的是()

A.若，則是銳角三角形

B.若，，則的外接圓的面積等于

C.若是銳角三角形，則

D.若，則是等腰直角三角形

11.下列說法中正確的是()

A.若一個(gè)球的直徑為，則此球的表面積為

B.若一個(gè)圓錐的底面積為，母線長為，則此圓錐的體積為

C.若兩個(gè)球的半徑之比為：，則這兩個(gè)球的體積之比為：

D.棱臺(tái)的上下兩個(gè)地面面積分別為，，高為，則體積為

12.在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A.線段長度的最小值為B.三棱錐的體積為定值

C.平面截正方體所得截面為梯形D.直線與所成角的大小可能為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.不共面的四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是______．

14.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的面積是______．

15.如圖，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為．

16.四面體中，，，則此四面體外接球的表面積為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知復(fù)數(shù)，試求實(shí)數(shù)為什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別為：

實(shí)數(shù)；

純虛數(shù)．

18.本小題分

已知，．

與夾角的余弦值；

若與垂直，求的值．

19.本小題分

棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)．

求異面直線和所成角的正切值．

求三棱錐的體積．

20.本小題分

三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)，分別是棱，上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．

當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，有平面，并加以證明．

求四棱錐的表面積．

21.本小題分

如圖，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，

求證：，，，四點(diǎn)共面；

平面平面．

22.本小題分

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知．

求角；

若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：圓柱是旋轉(zhuǎn)體；

六棱錐是多面體；

正方體是多面體；

球體是旋轉(zhuǎn)體；

四面體是多面體．

故選D．

利用旋轉(zhuǎn)體的概念直接進(jìn)行判斷．

本題考查旋轉(zhuǎn)體的定義，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．

2.【答案】

【解析】解：設(shè)圓錐筒的底面半徑為，則，即，

由已知可得圓錐筒的母線長為，則圓錐的高為．

故選：．

由已知列式求得圓錐筒的底面半徑，再由勾股定理求高．

本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，考查勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：由得，

故復(fù)數(shù)的虛部為．

故選：．

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則得到，求出虛部．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：在中，為線段上的一點(diǎn)，，且，

則：，

整理得：，

由于：，

所以：，．

故選：．

直接利用向量的共線的充要條件和向量的減法求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量共線的充要條件，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型．

5.【答案】

【解析】解：設(shè)，，，

利用余弦定理：，

故選：．

直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，直線平面，直線平面，且，

則與不會(huì)相交，即平行或異面，

故選：．

根據(jù)題意，由平面和平面平行的性質(zhì)，分析可得答案．

本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，涉及直線間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：由斜二測畫法的規(guī)則可知，

原圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，長度不變，

原圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度為原來一半，

由于軸上的線段長度為，故在原圖形中，其長度為，且在原圖形的軸上，

原圖形如圖所示，

所以原圖形的周長為．

故選：．

由斜二測畫法的規(guī)則，分析原圖形與直觀圖中之間的關(guān)系，求解即可．

本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法及應(yīng)用，其中熟記斜二測畫法的規(guī)則是解答的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：上半部分圓柱的體積為，

下半部分半球的體積為，

此鼎的容積約為．

故選：．

分別計(jì)算圓柱的體積與半球的體積，可求此鼎的容積．

本題考查空間幾何體的體積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，與方向相同的單位向量為，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，

所以，與的夾角為銳角，故B正確；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，則，則與不平行，、可作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；

對(duì)于，設(shè)與的夾角為，則在方向的投影向量為，

當(dāng)時(shí)，，，，，

所以，故D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)與方向相同的單位向量為可判斷選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷選項(xiàng)；判斷出、不共線，可判斷選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷選項(xiàng)．

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：對(duì)于：由余弦定理得，即為銳角，

不能判斷為銳角，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于：設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得，

即，故其外接圓的面積為，故B正確；

對(duì)于：若為銳角三角形，則，且，

，故C正確；

對(duì)于：，

由正弦定理得，

即，

或，即或，

則為等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)余弦定理即可判斷；根據(jù)正弦定理，即可判斷；由題意可得，即可判斷；根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式計(jì)算化簡，即可判斷．

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，，A正確；

對(duì)于，圓錐的底面積為，則底面半徑為，

所以此圓錐的高為，體積為，B正確；

對(duì)于，設(shè)兩個(gè)球的半徑為，，則，

所以：：，C錯(cuò)誤；

對(duì)于，，D正確．

故選：．

根據(jù)空間幾何體的表面積和體積公式得出結(jié)論．

本題考查簡單幾何體的表面積和體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：在正方體中，平面，

又平面，，，

，，故A錯(cuò)誤；

平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，

又三角形的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故B正確；

，分別為棱，的中點(diǎn)，，又易證，

，但，四邊形為梯形，故平面截正方體所得截面為梯形，故C正確；

由題意可得與重合時(shí)直線與所成角最小，

又可得，故．

，是直線與所成的角，故直線與所成角的大小不可能為，故D錯(cuò)誤．

故選：．

利用正方體中的性質(zhì)，易得，可求的最小值判斷；利用平面，可得三棱錐的體積為定值判斷；，但，可判斷；，可得是直線與所成的角，由可判斷．

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查異面直線所成的角，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：不共面的四點(diǎn)是指任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，

這樣從四點(diǎn)任取三個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，

一共可以確定個(gè)平面，

故答案為：

不共面的四點(diǎn)是指任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，這樣從四點(diǎn)任取三個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，本題變化成一個(gè)組合問題，即從個(gè)元素中取個(gè)的方法數(shù)．

本題考查過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，考查不共面的四點(diǎn)的位置關(guān)系，本題是一個(gè)不需要運(yùn)算的基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：由三角形面積公式得，．

故答案為：．

根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．

本題考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

在中，為的中點(diǎn)，所以為中位線，所以，

所以或其補(bǔ)角為與所成的角，

在中，，，，

所以，

所以與所成角的余弦值為．

故答案為：．

取的中點(diǎn)，連接，，即可得到，從而得到為與所成的角，再利用余弦定理計(jì)算可得．

本題考查異面直線所成角，同時(shí)也涉及了余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對(duì)角線，

如下圖：

則長方體的外接球即為四面體的外接球，

又長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，

設(shè)長方體的長寬高分別為，，，則有，，，

，

所以外接球的表面積為，

故答案為．

將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對(duì)角線，則長方體的外接球即為四面體的外接球，利用數(shù)據(jù)計(jì)算長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，可得球的表面積．

本題主要考查幾何體的外接球的表面積，屬于中檔題．

17.【答案】解：若為實(shí)數(shù)，

則，得：．

若為純虛數(shù)，

則且，解得：．

【解析】根據(jù)為實(shí)數(shù)可得出其虛部為零，可求得實(shí)數(shù)的值；

根據(jù)為純虛數(shù)可得出其實(shí)部為零，虛部不為零，由此可求得實(shí)數(shù)的值．

本題主要考查實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：，，

，

與夾角的余弦值為．

，，

，，

又向量與垂直，

則，

解得．

【解析】利用向量夾角余弦公式能求出與夾角的余弦值．

利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，，再由向量與垂直，能求出的值．

本題考查向量的運(yùn)算，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦值、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：正方體中，，異面直線和所成角為，

為的中點(diǎn)，；

．

【解析】由線線平行說明異面直線和所成角為，則可求正切值；

利用等體積轉(zhuǎn)化．

本題主要考查異面直線所成的角，棱錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：為中點(diǎn)；

證明如下：取的中點(diǎn)，連接，；

，分別為，的中點(diǎn)，

，

，且，

，且；

四邊形為矩形，

故B；

又平面，平面，

平面；

四棱錐的表面積為

．

【解析】為中點(diǎn)；取的中點(diǎn)，連接，；證明，即可證明平面；

分別計(jì)算四棱錐各個(gè)面的面積，求和即可．

本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了幾何體表面積的計(jì)算問題，是綜合題．

21.【答案】證明：、分別為，中點(diǎn)，，

三棱柱中，，

、、、四點(diǎn)共面；

、分別為、中點(diǎn)，

又、分別為三棱柱側(cè)面平行四邊形對(duì)邊、中點(diǎn)，

四邊形為平行四邊形，

又

平面平面．

【解析】本題考查平面的基本性質(zhì)，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

利用三角形中