單層板的正軸剛度

單層板的正軸剛度第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1單層板的正軸剛度在單層板面內(nèi)外力作用下σ1,σ2~~~正應力分量τ12~~~剪應力分量(1和2表示材料的兩個彈性主方向1為縱向,2為橫向.1和2軸為正軸,1-2坐標系為正軸坐標系)第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

應力,應變的符號

正應力的符號:

拉為正,壓為負.

正應變的符號:

伸長為正,縮短為負.剪應力的符號:

正面正向或負面負向為正,其它為負.剪應變符號:

與坐標方向一致的直角減小為正,反之為負.應力應變的符號的關(guān)系:

正的應力對應正的應變,負的應力對應負的應變.

圖中所標注的應力均是正應力,應變也將是正的.正面是指截面外法線方向和坐標軸方向一致的面.正向是指應力方向與坐標方向一致的量.第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月應力-應變關(guān)系

單層板是正交各向異性材料,在其主方向上某一點處的正應變ε1,ε2只與該點處的正應力σ1σ2有關(guān),與剪應力τ12無關(guān).而該點處的剪應變γ12也僅與剪應力τ12有關(guān)而與正應力無關(guān).(1)縱向單軸實驗

復合材料的纖維方向稱為縱向.在線彈性情況試驗的應力-應變曲線如圖所示.ε1=σ1/E1ε2=-ν1ε1=-ν1σ1/E1E1——縱向彈性模量（反應單層板的縱向剛度）ν1-縱向泊松比ν1≡ν21=-ε2/ε1ε1=由σ1引起的縱向應變ε2=由σ2引起的橫向應變注：由于縱向伸長引起橫向縮短，故置以負號第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）橫向單軸試驗

垂直于纖維方向稱為橫向。應力-應變曲線如圖所示。

ε2=σ2/E2ε1=-ν2ε2=-ν2σ2/E2ε1-由引起的縱向應變ε2-由引起的橫向應變E2-橫向彈性模量GPa（反應了單層板橫向的剛性特性）ν2-橫向泊松比，即ν2≡ν12=ε1/ε2σ2一定時，E2越大，ε2越小注：由于橫向伸長引起縱向縮短，故置以負號第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）面內(nèi)剪切實驗圖2-4(a)表示單層板在材料的兩個主方向上處于純剪應力狀態(tài)。在純剪應力狀態(tài)下的應力-應變曲線如圖所示。由τ12引起的剪應變?yōu)棣?2τ12/G12G12-面內(nèi)剪切彈性模量，GPa（反應了單層板在其面內(nèi)的抗剪剛度特性）

τ12一定，G12越大，γ12越小第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

在彈性范圍內(nèi)，單層板主方向的復雜應力狀態(tài)，可以化為單層板彈性主方向單向應力狀態(tài)相疊加，其相應的應變狀態(tài)也可以疊加。

上式是單層板在正軸向的應變-應力關(guān)系，也稱為廣義虎克定律。第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月單層板正軸向的應變-應力關(guān)系式可以寫成如下的矩陣形式：第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月式中聯(lián)系應變-應力關(guān)系的各個系數(shù)可以簡單地表示成：這些量稱為柔量分量（或柔度分量），則上式可以寫成第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

ε1S11S12S13σ1S11S120σ1

ε2

=

S21S22S23σ2=S21S220σ2

γ12S31S32S33τ1200S33τ12

縮寫為ε1=Sσ1柔量分量與工程彈性常數(shù)的關(guān)系也可以寫成如下形式

E1=1/S11,E2=1/S22,G12=1/S33υ2=-S12/S22，υ1=-S21/S11第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月由廣義虎克定律可以解出σ1、σ2和τ12，可得到以應變?yōu)橐阎浚瑧槲粗康膽?應變關(guān)系式

σ1

=ME1ε1+M

E1

ε2υ2

σ2=M

E2υ1ε1+ME2ε2

τ12=G12

γ12式中，M=1/(1-υ1υ2)第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，應變項的各系數(shù)也可簡單地表示成：

Q11=ME1,Q22=ME2,Q33=G12Q12=ME1υ2,Q21=ME2υ1Q13=Q31=Q23=Q32=0

這些量稱為模量分量（或剛度分量）。同理也可寫出以模量分量表示的應力-應變關(guān)系式：課本（2-12）第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月模量分量構(gòu)成的矩陣與柔量分量構(gòu)成的矩陣互為逆矩陣。

單層板的正軸剛度為單層材料主方向的剛度，它有3種形式：工程彈性常數(shù)—由簡單試驗測定或用細觀力學方法預測柔量分量—應變-應力關(guān)系式的系數(shù)，用于從應力計算應變模量分量—應力-應變關(guān)系式的系數(shù)，用于從應變計算應力這3種形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

由上述討論可知，用3組材料常數(shù)來描述單層板的正軸剛度都有5個量，但這5個量不是獨立的，它們之間存在一個關(guān)系式，即模量或柔量都存在對稱性Qij=Qji(I,j=1,2,3)Sij=Sji(I,j=1,2,3)

可見，模量矩陣和柔量矩陣是對稱矩陣。模量分量和柔量分量均稱為彈性系數(shù)。因為S12=S21

所以

-υ2/E2=-

υ1/E1

即υ2/E2=

υ1/E1

第14頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，單層的彈性模量、具有重復下標的柔量分量及模量分量均為正值，即

E1,E2,G12>0

S11,S22,S33>0

Q11,Q22,Q33>0另外，由模量分量可知，Q11=ME1,而Q11和ME1都是正值，所以M>0,即

1-υ1υ2>0可得

第15頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

以上3個彩色式稱為正交各向異性材料在平面應力狀態(tài)下的工程彈性常數(shù)的限制條件。

這些限制條件可以用來檢驗材料的試驗數(shù)據(jù)或正交各向異性材料的模型是否正確。

各向同性材料的泊松比υ的取值范圍為-1<υ<0.5

正交各向異性材料的泊松比取決于材料的兩個彈性模量之比

如果材料的兩個彈性主方向上剛度相同，即

Q11=Q22,S11=S22,E1=E2

那么這種正交異性單層稱為正交對稱單層。第16頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例題解析例2-1