數(shù)字信號處理-時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析-課件2

2.2序列的傅利葉變換2.2.1序列的傅里葉變換的定義眾所周知，連續(xù)時間信號f(t)的傅里葉變換定義為：而F(jΩ)的傅里葉反變換定義為

2023/7/312.2序列的傅利葉變換2.2.1序列的傅里葉變換的定義1離散時間信號x(n)的傅里葉變換定義為：DTFT

只有當(dāng)序列x(n)絕對可和，即x(n)的傅里葉變換才存在且連續(xù)。X(ejω)的傅里葉反變換定義為2023/7/31離散時間信號x(n)的傅里葉變換定義為：DTFT只有當(dāng)序列2在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數(shù)字域頻率。X(ejω)一般為復(fù)數(shù)，可用它的實部（Real）和虛部（Imaginary）表示為：或用幅度和相位表示為：

2023/7/31在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為3設(shè)x(n)=anu(n)，0<a<1,求x(n)的FT。2023/7/31設(shè)x(n)=anu(n)，0<a<1,求x(n)的FT。24離散時間信號的傅里葉變換具有以下兩個特點：(1)X(ejω)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)。(2)當(dāng)x(n)為實序列時，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π區(qū)間內(nèi)是偶對稱函數(shù)，相位arg[X(ejω)]是奇對稱函數(shù)。2023/7/31離散時間信號的傅里葉變換具有以下兩個特點：(1)X(ejω)52.2.2序列傅利葉變換的性質(zhì)2023/7/312.2.2序列傅利葉變換的性質(zhì)2023/7/2962023/7/312023/7/2972023/7/312023/7/298當(dāng)ω=0時，它是常數(shù)序列；隨著ω的增加，信號的震蕩速率增加，直到ω=π時，達(dá)到離散時間序列的最高振蕩速率。當(dāng)ω繼續(xù)增加，其振蕩速率反而下降，直到ω=2π時，它又回到常數(shù)序列。當(dāng)ω等于2π的整數(shù)倍時，虛指數(shù)序列為常數(shù)序列，在這些頻率附近是變化較慢的低頻序列，而在ω等于π的奇數(shù)倍時，都是離散時間虛指數(shù)序列的最高振蕩頻率，附近是高頻序列。2023/7/31當(dāng)ω=0時，它是常數(shù)序列；隨著ω的增加，信號的震蕩速率增加，91.傅利葉變換的周期性角頻率ω每改變2π及其整數(shù)倍時都呈現(xiàn)同一個虛指數(shù)序列。因此在研究虛指數(shù)序列時，只要在ω的某個2π區(qū)間內(nèi)考察即可。一般選這個區(qū)間為-π<ω<π,或0<ω<2π，并稱為離散時間頻率ω的主值區(qū)間。

數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率，所以數(shù)字域頻率并不是像模擬域頻率越來越大。

數(shù)字域頻率和模擬域頻率的關(guān)系?2023/7/311.傅利葉變換的周期性角頻率ω每改變2π及其整數(shù)倍時都呈現(xiàn)10當(dāng)ω=0，±2π，±4π…點上表示x(n)的直流分量，離開這些點越遠(yuǎn)，其頻率越高；當(dāng)ω=(2M+1)π時，代表最高頻率信號。M為整數(shù)序列傅里葉變換是以2π為周期的函數(shù)。2023/7/31當(dāng)ω=0，±2π，±4π…點上表示x(n)的直流分量，離開112.序列的傅里葉變換的線性

3．時移與頻移

時間移位=頻率相位偏移2023/7/312.序列的傅里葉變換的線性3．時移與頻移時間移位=124．時域卷積

設(shè)則

該定理說明：在求線性時不變系統(tǒng)的輸出信號時，可以在時域用卷積來計算，也可以在頻域先求輸出的FT，再作逆變換。2023/7/314．時域卷積設(shè)則該定理說明：在求線性時不變系135．頻域卷積定理設(shè)則該定理適于時域截斷信號后求頻譜。2023/7/315．頻域卷積定理設(shè)則該定理適于時域截斷信號后求頻譜。2023146.帕斯維爾(Parseval)定理證明：說明：信號時域的總能量等于頻域的總能量。2023/7/316.帕斯維爾(Parseval)定理證明：說明：信號時域的157．序列的傅里葉變換的對稱性共軛對稱序列：共軛反對稱序列：對于實序列來說，xe(n)為偶對稱序列，xo(n)為奇對稱序列。時域序列的對稱性xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xjy2023/7/317．序列的傅里葉變換的對稱性共軛對稱序列：共軛反對稱序列：對16共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。同理，共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。以上反之也成立。xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)-jxoi(-n)解：x(n)=cosωn+jsinωn

其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù),是共軛對稱序列。試分析x(n)=ejωn的對稱性2023/7/31共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。同理，共軛反對稱17對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即：可得：2023/7/31對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即：可得：18頻域函數(shù)的對稱性

任意頻域函數(shù)X(ejω)可表示成共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)Xe(ejω)=X*e(e－jω)Xo(ejω)=－X*o(e－jω)

Xe(ejω),

Xo(ejω)和原頻域函數(shù)X(ejω)的關(guān)系2023/7/31頻域函數(shù)的對稱性任意頻域函數(shù)X(ejω)可表示成共19

傅利葉變換的對稱性(a)將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行FT，得到：2023/7/31傅利葉變換的對稱性(a)將序列x(n)分成實部xr(n)20結(jié)論：

序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的FT

具有共軛對稱性，虛部乘j一起對應(yīng)的FT具有

共軛反對稱性。X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)2023/7/31結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的FT

21(b)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分

xo(n)，即：x(n)=xe(n)+xo(n)將上面兩式分別進(jìn)行FT，得到2023/7/31(b)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分

22結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)的傅利葉變換對應(yīng)

著X(ejω)的實部XR(ejω)，而序列的共軛反對

稱部分xo(n)的傅利葉變換對應(yīng)著X(ejω)的虛

部XI(ejω)乘以j

。

2023/7/31結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)的傅利葉變換對應(yīng)

238．序列的折疊9．序列乘以n10．序列的復(fù)共軛2023/7/318．序列的折疊9．序列乘以n10．序列的復(fù)共軛202324表2.2.1

序列傅里葉變換的性質(zhì)2023/7/31表2.2.1序列傅里葉變換的性