同濟版大一高數第九章第七節(jié)方向導數與梯度課件

高等數學第十二講1高等數學第十二講1第九章第七節(jié)一、方向導數

二、梯度方向導數與梯度2第九章第七節(jié)一、方向導數二、梯度方向導數與梯度2一、方向導數定義:若函數則稱為函數在點P處沿方向l

的方向導數.在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:記作在一些實際問題中，需要研究函數在某一點沿任意方向的變化率，因此產生了方向導數。3一、方向導數定義:若函數則稱為函數在點P處沿方向l定理:則函數在該點沿任意方向

l

的方向導數存在,證明:由函數且有在點P可微,得故4定理:則函數在該點沿任意方向l的方向導數存在,證明:對于二元函數向角為,)的方向導數為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向5對于二元函數向角為,)的方向導數為特別:?當對于二元函數的方向導數存在，而＝不存在而偏導數不一定存在。例如：在點(0,0)處沿x軸的正向到點(1,0)處。6對于二元函數的方向導數存在，而＝不存在而偏導數不一定存在。例例1.求函數

在點P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.解:向量l的方向余弦為7例1.求函數在點P(1,1,1)沿向量3)的方指向B(3,－2,2)方向的方向導數是

.在點A(1,0,1)處沿點A例2.函數提示:則8指向B(3,－2,2)方向的方向導數是例3.

求函數在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向導數.解:將已知曲線用參數方程表示為它在點P的切向量為9例3.求函數在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方解由方向導數的計算公式知例4

求函數10解由方向導數的計算公式知例4求函數10故11故11例5.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數.在點P處沿求函數12例5.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向二、梯度方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向導數取最大值：一個函數在點沿著不同的方向的方向導數上不同的，13二、梯度方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的1.定義即同樣可定義二元函數稱為函數f(P)在點P處的梯度記作(gradient),在點處的梯度說明:函數的方向導數為梯度在該方向上的投影.向量141.定義即同樣可定義二元函數稱為函數f(P)在點P函數在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數f的等值線.則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數有等值面(等量面)當各偏導數不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數增大的方向.2.梯度的幾何意義15函數在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數f等高線的畫法播放16等高線的畫法播放16例如,17例如,173.梯度的基本運算公式183.梯度的基本運算公式18例1.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z具有輪換對稱性19例1.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z具有例2：求函數在點M（1，0，－1）處的最大方向導數。解：在點M（1，0，－1）處的最大方向導數為：同理;20例2：求函數在點M（1，0，－1）處的最大方向導數。解：在解由梯度計算公式得故例3求函數21解由梯度計算公式得故例3求函數21(1)求函數在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向導數;(2)求函數在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.例4

已知函數22(1)求函數在點M(1,1,1)處沿曲線在該曲線1.(1)在點解答提示:函數沿l的方向導數M(1,1,1)處切線的方向向量在點M(1,1,1)處23曲線1.(1)在點解答提示:函數沿l的方向導數M(12424內容小結1.方向導數?三元函數在點沿方向l(方向角的方向導數為?二元函數在點的方向導數為沿方向l(方向角為25內容小結1.方向導數?三元函數在點沿方向l(方向角2.梯度?三元函數在點處的梯度為?二元函數在點處的梯度為3.關系方向導數存在偏導數存在??可微梯度在方向l上的投影.262.梯度?三元函數在點處的梯度為?二