復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件

第二章復(fù)函數(shù)

§1.解析函數(shù)1.極限與連續(xù)性

單值函數(shù)：

對(duì)于G中的每個(gè)z，有唯一的w與其對(duì)應(yīng)。

多值函數(shù)：

至少存在一個(gè)z0屬于G，與z0對(duì)應(yīng)的w有

兩個(gè)或兩個(gè)以上。第二章復(fù)函數(shù)§1.解析函數(shù)1.極限與連續(xù)性單值函1復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件2復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件3復(fù)變函數(shù)極限的定義復(fù)變函數(shù)極限的定義4

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，5設(shè)

則

當(dāng)且僅當(dāng)

證明

如果則

使得當(dāng)時(shí)，命題設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)證明如果則使得當(dāng)時(shí)，命題6所以反之，若則當(dāng)時(shí)，所以,當(dāng)時(shí)所以反之，若則當(dāng)時(shí)，所以,當(dāng)時(shí)7

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函8例例9

argz0argz010復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件11

2.

導(dǎo)數(shù)·解析函數(shù)定義2.導(dǎo)數(shù)·解析函數(shù)定義12定義在區(qū)域內(nèi)解析在一點(diǎn)解析定義在區(qū)域內(nèi)解析在一點(diǎn)解析13在閉區(qū)域上解析

如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，則它在這個(gè)點(diǎn)連續(xù).證明設(shè)f(z)在點(diǎn)a可導(dǎo)，則在閉區(qū)域上解析如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，則它在這14注解1“可微”有時(shí)也可以稱為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；注解3函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；注解4閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注解1“可微”有時(shí)也可以稱為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱15四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則16復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則17注：利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。反函數(shù)求導(dǎo)法則

注：利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)18證明

因?yàn)?/p>

所以Cauchy-Riemann

方程問題

證明因?yàn)樗訡auchy-Riemann方程問題19設(shè)可微，則首先設(shè)h為實(shí)數(shù)，得令得再令t為實(shí)數(shù)，得設(shè)可微，則首先設(shè)h為實(shí)數(shù)，得令得再令t為實(shí)數(shù)，得20令得由得

Cauchy-Riemann方程令得由得Cauchy-Riemann方程21復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件22例在處滿足上述定理中的條件，但f(z)在不可微.證明例在處滿足上述定理中的條件，但f(z)在不可微.證明23

C-R條件

證明

設(shè)

在點(diǎn)

處有導(dǎo)數(shù)

其中a和b為實(shí)數(shù)，

當(dāng)

時(shí)，C-R條件證明設(shè)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)其中a和b為實(shí)數(shù)24復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件25

其中

滿足條件其中滿足條件26復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件27

注：注：28復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件29復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件30復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件31復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件32復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件33復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件34

§2.初等函數(shù)

實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)§2.初等函數(shù)實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)35指數(shù)函數(shù)的定義域的擴(kuò)充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，有指數(shù)函數(shù)的定義域的擴(kuò)充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼條件，36所以，因此，定義稱作復(fù)指數(shù)函數(shù)，記作所以，因此，定義稱作復(fù)指數(shù)函數(shù)，記作37復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：38

注：

Euler公式注：Euler公式39

問題：?jiǎn)栴}：40

指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)指數(shù)函數(shù)的幾何性態(tài)41復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件42

三角函數(shù)由于Euler公式，對(duì)任何實(shí)數(shù)y，我們有：所以有定義三角函數(shù)由于Euler公式，對(duì)任何實(shí)數(shù)y，我們有：所以有43

三角函數(shù)的性質(zhì)（2）cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù)

證明三角函數(shù)的性質(zhì)（2）cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù)證44（3）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數(shù):

證明（3）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數(shù):45證明證明46證明證明47復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件48復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件49復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件50復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件51定義上述四個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)解析，且定義雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切定義上述四個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)解析，且定義雙曲正弦雙曲余弦52初等多值函數(shù)1.幅角函數(shù)單值分支.連續(xù)單值分支.初等多值函數(shù)1.幅角函數(shù)單值分支.連續(xù)單值分支.53上沿下沿上沿下沿54思考題：思考題：55定義設(shè)是一個(gè)多值函數(shù)，是的任意一個(gè)鄰域,是內(nèi)任一繞一周的簡(jiǎn)單閉曲線.在上取一點(diǎn),我們從與對(duì)應(yīng)的多個(gè)值中取出一個(gè)與其對(duì)應(yīng)，設(shè)為,讓點(diǎn)從出發(fā)，沿繞一周，回到,對(duì)應(yīng)的值從連續(xù)變化為如果則稱為的一個(gè)支點(diǎn).定義設(shè)是一個(gè)多值函數(shù)，是的任意一個(gè)鄰域,是內(nèi)任一繞一周的簡(jiǎn)單56復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件57復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件58對(duì)數(shù)函數(shù)定義注意：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2π的周期函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)定義注意：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)59注意：對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)注：注意：對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)注：60問題：?jiǎn)栴}：61對(duì)數(shù)函數(shù)的主值相應(yīng)于Argz的主值，我們定義Lnz的主值為：連續(xù)單值分支.對(duì)數(shù)函數(shù)的主值相應(yīng)于Argz的主值，我們定義Lnz的主值為：62對(duì)數(shù)函數(shù)的主值支.對(duì)數(shù)函數(shù)的主值支.63支割線.支割線.64證明證明65注：注：66復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件67復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件68復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件69復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件70復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件71復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件72復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件73復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件74復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件75對(duì)數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)76冪函數(shù)冪函數(shù)77定義定義78復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件79復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件80其中應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支.其中應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支.81冪函數(shù)的映射性質(zhì)冪函數(shù)的映射性質(zhì)82復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件83復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件84復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件85復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件86復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件87復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件88復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件89復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件90復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件91復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件92復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件93復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件94復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件95復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件96反三角函數(shù)反三角函數(shù)97復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件98復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件99復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件100復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件101復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件102復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件103復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件104復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件105復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件106復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件107復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課件108復(fù)變函數(shù)(第四版余家榮)課