湖南省懷化市洪江黔陽第五中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析

湖南省懷化市洪江黔陽第五中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知則等于（A）7 （B）

（C）

（D）參考答案：B略2.已知a，b∈R，若a﹣bi=（1+i）i3（其中為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)=1，b=﹣1B．a(chǎn)=﹣1，b=1C．a(chǎn)=1，b=1D．a(chǎn)=﹣1，b=﹣1參考答案：A考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)相等的充要條件．ks5u專題：計算題．ks5u分析：先對（1+i）i3進行化簡，再由復數(shù)相等求出a和b的值．解答：解：由題意得，a﹣bi=（1+i）i3=﹣i（1+i）=﹣i﹣i2=1﹣i，則a=1，b=﹣1，故選A．點評：本題考查了復數(shù)的乘法運算，以及復數(shù)相等的充要條件應用，屬于基礎題．3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A．B．C．D．參考答案：B略4.設函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若bsinA=3csinB，a=3，，則b=（）A．14 B．6 C． D．參考答案：D【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化簡解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故選：D．6.若為△的內(nèi)角，且，則等于（

）A． B． C． D．參考答案：A試題分析：若為△的內(nèi)角，且，得，又，，∴，則，故選A.考點：1、兩角和與差的三角公式；2、二倍角公式.【方法點睛】本題主要考查二倍角以及兩角和與差的三角公式，屬于中檔題.給角求值問題往往給出的角是非特殊角，求值時要注意：(1)觀察角，分析角與角之間的差異以及角與角之間的和、差、倍的關(guān)系，巧用誘導公式或拆分技巧；(2)觀察函數(shù)名，盡可能使三角函數(shù)統(tǒng)一名稱；(3)觀察結(jié)構(gòu)，以便合理利用公式，整體化簡求值.7.數(shù)的概念起源于大約300萬年前的原始社會，如圖1所示，當時的人類用在繩子上打結(jié)的方法來記數(shù)，并以繩結(jié)的大小來表示野獸的大小，即“結(jié)繩計數(shù)”.圖2所示的是某個部落一段時間內(nèi)所擒獲獵物的數(shù)量，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，右邊繩子上的結(jié)每滿7個即在左邊的繩子上打一個結(jié)，請根據(jù)圖2計算該部落在該段時間內(nèi)所擒獲的獵物總數(shù)為（

）A．336

B．510

C．1326

D．3603參考答案：B由題意知，圖2中的“結(jié)繩計數(shù)”法是七進制計數(shù)法，所以圖2計算該部落在該段時間內(nèi)所擒獲的獵物總數(shù)為.故選B.

8.已知集合,,則(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略9.下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱；②若logm3＜logn3＜0，則0＜m＜n＜1；③若函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x）?f（x+4）=1，則8是函數(shù)f（x）的一個周期；④命題“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；⑤命題“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷①；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合不等式判斷②；由已知求出函數(shù)的周期判斷③；由三角形中的邊角關(guān)系、正弦定理及充分必要條件判定方法判斷④；寫出命題的否定判斷⑤．【解答】解：①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；②若logm3＜logn3＜0，則＜0，∴l(xiāng)gn＜lgm＜0，則0＜n＜m＜1，故②錯誤；③若函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x）?f（x+4）=1，則f（x+4）=，∴f[（x+4）+4]==，則8是函數(shù)f（x）的一個周期，故③正確；④在△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sinB，∴命題“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件，故④正確；⑤命題“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故⑤錯誤．∴真命題的個數(shù)是3個．故選：C．10.若過點P（a，a）與曲線f（x）=xlnx相切的直線有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）參考答案：B【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設切點為（m，mlnm），求出導數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式可得=，設g（m）=，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：設切點為（m，mlnm），f（x）=xlnx的導數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得切線的斜率為1+lnm，由切線經(jīng)過點P（a，a），可得1+lnm=，化簡可得=，（*），由題意可得方程（*）有兩解，設g（m）=，可得g′（m）=，當m＞e時，g′（m）＜0，g（m）遞增；當0＜m＜e時，g′（m）＞0，g（m）遞減．可得g（m）在m=e處取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)且，當，且時，有，若對所有、恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________．參考答案：

12.已知實數(shù)滿足條件，設目標函數(shù)z=x+y，則z的最小值為

。參考答案：113.已知x，y，z∈R，且x2+y2+z2=1，則x+2y+3z的最大值是．參考答案：考點：一般形式的柯西不等式；柯西不等式在函數(shù)極值中的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：分析題目已知x2+y2+z2=1，求x+2y+3z的最大值．考慮到應用柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先構(gòu)造出柯西不等式求出（x+2y+3z）2的最大值，開平方根即可得到答案．解答：解：因為已知x2+y2+z2=1根據(jù)柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）構(gòu)造得：即（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）≤1×14=14故x+2y+3z≤．當且僅當x==時取等號．則x+2y+3z的最大值是．故答案為：．點評：此題主要考查柯西不等式的應用問題，對于此類題目有很多解法，但大多數(shù)比較繁瑣，而用柯西不等式求解非常簡練，需要同學們注意掌握．14.如圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點（算第1層），第2層每邊有兩個點，第3層每邊有三個點，依次類推．如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它一共有___________層

參考答案：815.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則

參考答案：16.設x，y滿足約束條件，則的最小值為______.參考答案：8【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形求得最優(yōu)解，再計算目標函數(shù)的最小值．【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由圖形知，當目標函數(shù)z＝2x+3y過點A時，z取得最小值；由，求得A（1，2）；∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．故答案為：8．【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的應用問題，解題時常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域，②求出可行域各個角點的坐標，③將坐標逐一代入目標函數(shù)，④驗證求出最優(yōu)解．17.若關(guān)于的不等式的解集非空，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD.（Ⅰ）求證:BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）當二面角C-BF-D的平面角的余弦值為,求這個六面體ABCDEF的體積.參考答案：（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴,∴,∵.∴,∴,∴.（4分）∵平面平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴.分別以為軸,軸,軸建立平面直角坐標系,設,則,,,,,則,,易知平面的一個法向量為,∵平面的法向量為,∴即令,則,,∴平面的法向量為,∵二面角的平面角的余弦值為,∴,解得,即.（10分）所以六面體的體積為：.（12分）19.已知直線x﹣y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A，B兩點，且AC⊥BC，求實數(shù)a的值．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】根據(jù)圓的標準方程，求出圓心和半徑，根據(jù)點到直線的距離公式即可得到結(jié)論．【解答】解：圓的標準方程為（x+1）2+（y﹣2）2=9，圓心C（﹣1，2），半徑r=3，∵AC⊥BC，∴圓心C到直線AB的距離d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6．【點評】本題主要考查點到直線的距離公式的應用，利用條件求出圓心和半徑，結(jié)合距離公式是解決本題的關(guān)鍵．20.（本小題滿分14分）數(shù)列{}的前n項和為，．（I）設，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數(shù)的值。參考答案：(1)因為，所以

①當時，，則，

………………（2分）②當時，，…（4分）所以，即，所以，而，

……（6分）所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．………（7分）（2）由(1)得．所以

①，②，

……………（9分）②-①得：，

……………（12分）.

………………（14分）21.某單位準備購買三臺設備，型號分別為A、B、C已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設備各60臺，調(diào)査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678

型號A30300頻數(shù)型號B203010

型號C04515將調(diào)查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中A、B、C三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？參考答案：（1）（2）應該購買21件易耗品【分析】（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設該單位一個月中A、B、C三臺設備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中A、B、C三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設備的同時購買了21件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設備時應該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.22.（本小題滿分12分）已知向量，函數(shù)（），且.（1）求函數(shù)的表達式；（2）設，；求的值參考答案：解析：（1）依題意得

(2分)又得,即，∴

(