談?wù)勏蛄恐械暮诵膯栴}

精品文檔-下載后可編輯談?wù)勏蛄恐械暮诵膯栴}平面向量是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，也是高考考查的對(duì)象。由于向量本身的內(nèi)容就十分豐富，平面向量問題就出現(xiàn)了很多難點(diǎn)，其核心問題有：(1)向量的基底運(yùn)算；(2)三角形和四邊形中向量的運(yùn)算；(3)有關(guān)數(shù)量積的基本運(yùn)算；(4)有關(guān)數(shù)量積的定值和最值問題；(5)用三角函數(shù)研究與向量有關(guān)的問題。同學(xué)們?cè)趯?duì)這些核心問題的備考中，在注重基礎(chǔ)的同時(shí)，更要注意平面向量的工具性作用，注意知識(shí)的融會(huì)貫通，在應(yīng)用中把平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)和方法融入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，只有這樣才能真正學(xué)好。

核心熱點(diǎn)深究一向量線性運(yùn)算中的參數(shù)的范圍

向量線性運(yùn)算中參數(shù)取值范圍問題，關(guān)鍵是將所給向量的等式或圖形條件，轉(zhuǎn)化為參數(shù)的等式或不等式條件，從而根據(jù)所得條件，求出參數(shù)的取值范圍。

【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2＋y2＝1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得OC＝λOA＋μOB，則λ2＋(μ－3)2的取值范圍是．

解析記〈OA，OB〉＝θ，則由OC

＝λOA＋μOB得λ2＋2λμcosθ＋μ2＝1，從而由正實(shí)數(shù)λ，μ及|cos

θ|

作出如下圖所示的可行域，則λ2＋(μ－3)2表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的平方，

從而當(dāng)點(diǎn)(0,3)到直線λ－μ＋1＝0的距離d為最小值．又d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范圍為(2，＋∞)．

點(diǎn)撥本題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，得到λ，μ的關(guān)系的幾何條件，然后用幾何方法求解λ2＋(μ－3)2的取值范圍。本題的細(xì)節(jié)在于點(diǎn)C在劣弧AB上，A，B,C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，所以有λ＋μ>1。

【變式】如圖，設(shè)點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，且AP＝mAB＋nAC，m，n∈R，則m2＋(n－2)2的取值范圍為．

解析因?yàn)辄c(diǎn)P是三角形BC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，所以0

故所求取值范圍為(1,5)．

規(guī)律技巧提煉

平面向量的線性運(yùn)算除了常規(guī)加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積外，還有幾個(gè)關(guān)鍵要素：

1.基底向量的建立；

2.未知向量與基底向量的關(guān)系；

3.向量條件的幾何意義；

4.參數(shù)取值范圍的幾何解法。

核心熱點(diǎn)深究二平面向量的數(shù)量積最值問題

與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量數(shù)量積問題中最常見的問題是求動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造的向量的數(shù)量積的最值問題，此類問題一般需要建立與數(shù)量積有關(guān)的函數(shù)，通過函數(shù)求最值。

【例2】如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則OBOC的最大值是.

解析設(shè)∠OAD＝θ，則OA＝DAcosθ＝cosθ，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，

即B(cosθ＋sinθ，cos

θ)，

同理可求得C(sinθ，sinθ＋cosθ)，

所以O(shè)BOC＝(cosθ＋sinθ，cosθ)(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2

θ，所以(OBOC)max＝2.

點(diǎn)撥本題中A，D兩點(diǎn)在移動(dòng)，并且將這兩點(diǎn)的動(dòng)態(tài)特征用三角函數(shù)表示，并由此三角函數(shù)求出

B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用三角函數(shù)求解其最值。

【變式】已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么PAPB的最小值為．

解析如圖所示，設(shè)∠APB=2θ,

則∠APO=∠BPO=θ,

所以PAPB=PA2cos2θ=1tan2θcos2θ

=1-sin2θsin2θ（1-2sin2θ）

=1sin2θ+2sin2θ-3≥22-3.

當(dāng)且僅當(dāng)1sin2θ=2sin2θ,即sin2θ=22時(shí)取等號(hào).

核心熱點(diǎn)深究三用三角函數(shù)研究向量中的參數(shù)取值范圍問題

在用坐標(biāo)研究向量問題時(shí)，涉及參數(shù)取值范圍時(shí)，建立參數(shù)與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系較為困難或建立后沒有辦法研究時(shí)，可以用對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值表示向量的坐標(biāo)，再建立參數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，也是研究問題的一個(gè)途徑。

【例3】如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC＝λDE＋μAP，則λ＋μ的最小值為．

解析以A為原點(diǎn),以AB所在的軸為x軸,建立坐標(biāo)系,

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則E12,0,C(1,1),D(0,1),A(0,0).

設(shè)P(cosθ,sinθ),AC=(1,1),

再由向量AC=λDE+μAP

=λ12,-1+μ(cosθ,sinθ)

=λ2+μcosθ,-λ+θsinθ,

λ2+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,

λ=2sinθ-2cosθ2cosθ+sinθ,

μ=32cosθ+sinθ,

λ+μ=3+2sinθ-2cosθ2cosθ+sinθ.

由題意得0≤θ≤λ2,0≤cosθ≤1,0≤sinθ≤1,

當(dāng)cosθ取最大值時(shí),λ+μ取最小值為3+0-22+0=12.

點(diǎn)撥本題比較困難的是想到將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為三角函數(shù)，從而引入三角函數(shù)來表示參數(shù)λ，μ之間的關(guān)系，本題的第二個(gè)難點(diǎn)就是對(duì)所得函數(shù)的進(jìn)一步研究比較困難。

【變式】平面內(nèi)兩個(gè)非零向量α，β，滿足|β|＝1，且α與β－α夾角為135°，則|α|的取值范圍．

解析如圖所示，在OAB中，設(shè)∠OBA＝θ，

所以O(shè)Bsin45°＝OAsinθ，即|α|＝OA＝2sinθ，

又θ∈0，34π，故|α|∈(0，2］．

規(guī)律技巧提煉

1.向量的數(shù)量積問題主要涉及向量的模、夾角、坐標(biāo)這三個(gè)基本方面，有關(guān)向量數(shù)量積的運(yùn)算都是這三個(gè)方面的運(yùn)算；

2.研究向量一般有兩個(gè)途徑，一是建立直角坐標(biāo)用坐標(biāo)研究向量間的問題，二是用基底向量來研究；

3.與向量數(shù)量積有關(guān)的最值或參數(shù)的取值范圍，可以建立與點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)或三角函數(shù)來研究，也可以考慮其幾何意義，從幾何角度來研究；

4.向量方法解答幾何問題．在具體問題中，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等幾何元素之間的關(guān)系，最后將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何問題。

牛刀小試

1.如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且OP＝xOA＋yOB，則x的取值范圍是；當(dāng)x＝－12時(shí)，y的取值范圍是．

2.已知O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)任意k∈R，恒有|OA-OB-kB|≥|AC|,則ABC的形狀一定是．

3.ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH＝m(OA＋OB＋OC)，則實(shí)數(shù)m＝.

4.設(shè)a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，定義一種向量運(yùn)算：ab=(a1b1,a2b2)，已知m=12,2a

，n=π4,0，點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)g(x)=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=mOP+n（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若函數(shù)h(x)=2asin2x+32fx－π4+b，且h(x)的定義域?yàn)棣?,π，值域?yàn)椋?,5］，求a,b的值.

【參考答案】

1.(－∞，0)12,32

由題意得：OP＝aOM＋bOB＝aλAB＋bOB＝aλ(OB－OA)＋bOB＝－aλOA＋(aλ＋b)OB(a,b∈R+,0

又由OP＝xOA＋yOB，則有0

2.直角三角形,利用向量的幾何意義轉(zhuǎn)化.

3.如圖所示，連接BO，并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，連接CH，CD，AD，則∠BCD＝∠BAD＝90°，CDBC，ADAB.又H為ABC的垂心，

AHBC，CHAB.

CD∥AH，AD∥HC.

四邊形AHCD為平行四邊形．

AH＝DC＝OC－OD.

O為BD的中點(diǎn)，OB＝－OD.OH＝OA＋AH＝OA＋OC－OD＝OA＋OB＋OC.

m＝1.故填1.

4.（1）設(shè)Q(x,y)，P(x0,sinx0)，則由OQ=mOP+n得(x,y)=12x0+π4,2asinx0．

即x=12x0+π4,y=2asinx0，消去x0，得

y=2asin2x－π2，

即f(x)=2asin2x－π2=－2acos2x．

(2)h(x