三角恒等變換技巧

三角恒等變換技巧三角恒等變換不但在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明三角恒等式中經(jīng)常用到，而且．由于通過三角換元可將某些代數(shù)問題化歸為三角問題；立體幾何中的諸多位置關(guān)系以其交角來刻畫，最后又以三角問題反映出來；由于參數(shù)方程的建立，又可將解析幾何中的曲線問題歸結(jié)為三角問題．因此，三角恒等變換在整個高中數(shù)學(xué)中涉及面廣．是常見的解題“工具”．而且由于三角公式眾多．方法靈活多變，若能熟練地掌握三角恒等變換，不但能增強對三角公式的記憶，加深對諸多公式內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力都大有裨益?一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函數(shù)中的正切、余切、正割、余割都化為正弦和余弦，以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑．其實質(zhì)是”‘歸一”思想．【例1】證明：sin2€tan€+cos2€cot€+2sin€cos€，tan€+cot€TOC\o"1-5"\h\zsin€ cos€證明：左邊，sm2€? +cos2€? +2sin€cos€cos€ sin€sin€+2sin€cos€+cos€(sin€+cos€)2 1sin€co€s sin€co€s sin€co€ssin€cos€ sin2€+cos2€ 1邊^(qū)， +cos€sin€ sin€cos€ sin€cos€???左邊?右邊.原等式得證.點評“切割化弦”是將正切、余切、正割、余割函數(shù)均用正弦、余弦函數(shù)表示，這是一種常用的、有效的解題方法.當(dāng)涉及多種名稱的函數(shù)時，常用此法減少函數(shù)的種類.【例2】 已知?同時滿足asec2?-bcos?，2a和bcos2?-asec?，2b，且a,b均不為零，試求“a,b”b的關(guān)系.解：asec2?-bcos?，2a ①解：bcos2?-asec?，2b ②顯然cos?工0,由①xcos2?②xcos?得：2acos2?+2bcos?，0,即acos?+b，0b a3b2又a豐0,?.cos?，-代入①得一+一，2a<(a2—b2)2,0a b2a?a2，b2點評本例是化弦在解有關(guān)問題時的具體運用,其中正割與余弦、余割與正弦之間的倒數(shù)關(guān)系是化弦的通徑. _【例3】 化簡sin500(1+<3tan100)解：1 爲.3解：1 爲.3-100 2(—cosl00+——sin100)3sml00 2 2原式=sm500(l+ )，sm500 cos100cos100sin800cos100，sin500?2sin(30°+100)，2sin400cos10°sin800cos100cos100 cos100點評這里除用到化切為弦外,其他化異角函數(shù)為同角函數(shù)等也是常用技巧.二、 角的拆變在三角恒等變換中經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化角的關(guān)系,在解題過程中必須認真觀察和分析結(jié)論中是哪個角,條件中有沒有這些角,哪些角發(fā)生了變化等等.因此角的拆變技巧,倍角與半角的相對性等都十分重要,應(yīng)用也相當(dāng)廣泛且非常靈活.常見的拆變方法有：€可變?yōu)?/p>

a（a+卩）—卩；2a可變?yōu)椋╝+卩）+（a—卩）；2a,€可變?yōu)椋╝—卩）+a;a可視為—的厶倍角；（45?！繿）可視為（90。+2a）的半角等等.13sin3a【例4】13sin3a【例4】(2005年全國卷)設(shè)a為第四象限角，若一sinasin2acosa+cos2asina tan2a+tanasin2acosa-cos2asina tan2a-tana1又?.?a為第四象限角???tana…——sin3a解： …sina1tan2a…一92tana…—，貝9tan2a… _3-tan2a_131+tan2a 5tan2a… …-—1一tan2a4點評這里將3a寫成2a+a，將a寫成2a-a是解題的切人點.根據(jù)三角表達式的結(jié)構(gòu)特征，尋求它與三角公式間的相互關(guān)系是解題的關(guān)鍵.?！纠?】已知銳角a、€滿足sin卩CSCa=2cos（a+卩），a+ —，求tan€的最大值及€的值。解：Tsin€csca…2cos(a+€)/.sin€…2cos(a+€)sina又sin€…sin[(a+€)，a]…sin(a+€)cosa一cos(a+€)sina2cos(a+€)sina…sin(a+€)cosa一cos(a+€)sina——又7a，€G(0,2)，a+€*2，?:cos(a+€)cosa*0等式兩邊同除以cos(a+€)cosa得：2tana…tan(a+€)一tana，即tan(a+€)…3tana2tana J3<…一tan(x+€2tana J3<…一1—tan(x+€)tana1—3tan2a 2、31—tan(x+€)tana1—3tan2a 2、3tana 3兀 ?'3 兀tan€在（0，T上是增函數(shù)，故tan€的最大值是一，此時卩…三2 3 6點評已知條件中有a,€和a+€,而待求式中只有€,因此可將卩拆變成已知條件中出現(xiàn)的角即€=（a+€），a.這種常用的拆變技巧要注意掌握.—— 3— — 3 3— 5【例6】已知0<€<丁， <a< ,cos（，a）…，sin（+B）…，試求44 4 4 5 4 13sin(a+€)解：*?*^――+B)—(亍，a)…+(a+€)4 2兀 3兀 兀?:sin(a+€)…一cos[+(a+€)]…一cos[( +€)—( —a)]4 4…，[cos(匹+€)cos(—，a)+sin(匹+€)sin(—一a)]4 4 4 4— 3— — —4 4 2 4cos(—，a)…-<sin(—，a)…，44 5 、4 5

€ 3€ 3€ 3€ 5 3€ 120，卩, ? ,——+卩<兀，由sm( +卩)… ?cos(+卩)…一-4 4 4 h'4 13 4 133 5 4 56..sin(a+卩)一一(一)?一 ■(一)——513 5 65點評研究已知角與待求式之間角的關(guān)系，以確定角的拆變的操作方式是解題的出發(fā)點，此即“變角”技巧的由來.【例7】求sin(0+75o)+cos(0+45o)一丫3cos(0+15o)的值解：設(shè)0+15°—a，貝ysin(0+75°)+cos(0+45°)一cos(0+15°)=sin(a+60°)+cos(a+30°)一3cosa=°點評這里選擇一個適當(dāng)?shù)慕菫椤盎玖俊?，將其余的角變成某特殊角與這個“基本量”的和差關(guān)系，這也是角的拆變技巧之一三、“1”的代換在三角函數(shù)中，"1”可以變換為sin2x+cos2x,sec2x一tan2x,csc2x一cot2x，€tanx-cotx,secx-cos,cscx-sinx,tan—等等，根據(jù)解題的需要，適時地將“1"作某種變形，常能獲得較理想的解題方法．14【例8】求y… + 的最小值sin2a cos2a1 4 sin2a+cos2a4(sin2a+cos2a)cos2a解：ycos2asin2acos2a sin2a1+cot2a+4tan2a+4—5+cot2a+4tan2a>5+2*4tan2acot2a—9/1當(dāng)且僅當(dāng)cot2a—4tan2a即tan2a——時取等號。2故所求最小值為9.sin4x+cos4x+sin2xcos2x2一sin2x【例9】(2°°4年全國卷)求函數(shù)f(x)— 2一sin2x一、 (sin2x+cos2x)2一sin2xcos2x 1-sin2xcos2x2一2sinxcosx1 1 12一2sinxcosx1 1 1—一(1+sinxcosx)—sin2x+—2 4 22(1一sinxcosx)31所以函數(shù)f(x)的最小正周期是€，最大值是4，最小值是41一sin6一cos6x【例10】化簡1一sin4一cos4x(sin2x+cos2)3一sin6x一cos6x 3sin4xcos2+3sin2xcos4x解：原式= …(sin2x+cos2)2—sin2x—cos2x 2sin2xcos2x點評“1=sin2x+cos2x”的正用、逆用在三角變換中應(yīng)用十分廣泛，要靈活掌握．除€此以外，還經(jīng)常用到：1=tanx-cotx,1—csc2a—cot2a,1—tan—.靈活運用這些等式,可使許多三角函數(shù)問題得到簡化．

1+tana r— 1—sin2a【例11】已知 =5+2\：6，求 的值1-tana cos2a1+tana tan45o+tanaz._ 、 __解: = =tan(45o+a)=5+2^61一tana 1一tan45otanacos2a sin(9Oo+2a) “*,? = =tan(45o+a)=5+2*61—sin2a 1+cos(9Oo+2a)1一sin2a1==5—2、：6cos2a 5+2、6點評這里是1=tana的運用.若直接從已知式中求出tana，再用萬能公式，雖然思路很直觀，但卻導(dǎo)致較復(fù)雜的運算．四、變通公式對于每一個三角公式，教材中僅給出其基本形式，但我們?nèi)羰煜て渌兺ㄐ问匠？梢蚤_sin2a sin2a拓解題思路.例如，由sin2a=2smacosa可變通為cosa= 與sina=—2sina 2cosatana…tan?tana…tan?由tan(x…卩)=，可變通為tana…tan?=tan(a±?)(1€tanatan?)1€tanatan?【例12】(200?北京春?)在厶AC AC,tan€tan+3tantan的值2 2 2 2的值中，已知三內(nèi)角成等差數(shù)列，求A€C解：???三內(nèi)角A解：???三內(nèi)角A、成等差數(shù)列,兀,=2由兩角和的正切公式：A -=3ntanA -=3ntan+tan+2 2C打tan仝tan二二2222

: AC1一tantan22點評本例是正切公式變形的運用，在歷年高考題中，曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形運用，讀者要仔細體會．【例13】已知A+B二—，求(1+tanA)(1+tanB)的值解：(1+tanA)(1+t B)=tanA+tanB+(1+tanAtanB)=tan(A+B)(1一tAtB)+(1+tAt B)冗=tan()(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB)=24點評若三角函數(shù)式中同時出現(xiàn)tanA±tanB、tanAtanB，?？捎胻ana±tan?=tan(a±?)(1€tanatan?)【例14】證明：cota，8cot8a=tana+2tan2a+4tan4a2tana證明由tan2a= ncota-tana=2cot2a一tan2aTOC\o"1-5"\h\z同理：cot 2a，tan2a =2cot 4a ②cot 4a -tan4a =2cot 8a ③①x② 4③整理得：cota，8cot8a=tana+2tan2a+4tan4a兀 2兀 3兀 4兀 5兀 1【例15】證明：coscoscoscoscos=一11 11 11 11 25

2€sin證明左邊=2€sin證明左邊=2sin—112€sin112sin—114€sin112sin一114€sin112sin-116€sin112? 3兀2sm—115€sin112sin一118€sin112sin一113€sin112sin一1110—sin112?5—2sin一11—sin 1111==右邊5— 252sin11點評應(yīng)用倍角公式的變形公式來處理三角函數(shù)式的積的問題常常是一種很巧妙的解題方法．五、升幕與降次分析題目的結(jié)構(gòu)，掌握結(jié)構(gòu)的特點，通過升幕、降次等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，這也是三角變換的重要技巧．利用余弦的倍角公式可知a1+cosacos，也是三角變換的重要技巧．利用余弦的倍角公式可知22和降次（從左到右）a1—cosa和降次（從左到右）sin22， 2 ，這樣可以用倍、半角公式來升幕（從右到左）【例16】.1已知csc(a—B)，3sin(a+B)，求sin22a+sin2B+cos4a41 1 1—cos2B 1+cos2aTOC\o"1-5"\h\z解：一sin22a+sin2B+cos4a=—sin22a+ +( )24 4 21 11，sin2a+cos2a)++(co2a+cos2B)4 22，1一sino(+B)sino(—B)1由eg-卩）,3“噸+卩）得sinQ+B）窗-|3）,312???原式J-3,3點評遇平方可用“降次”公式，這是常用的解題策略．本題中首先化異角為同角，消除角的差異，然后化簡求值．關(guān)于積化和差、和差化積公式，教材中是以習(xí)題形式給出的，望引起重視．€【例17】 (2002年全國卷)已知sin22a+sin2acosa—cos2a，1(ag(0,)),求2sina和tana的值解：由sin22a?sin2acosa一cos2a，1得4sin2acos2a+2sinacos2a—(1+cos2a)，04sin2acos2a?2sinacos2a—2cos2a，02cos2a(2sin2a+sina—1)，0即2cos2a(2sina—1)(sina+1)二0—???aG(0邁)?cosah0, sinah—1?2sina—1，0即卩sina，1na，—ntana，仝2 6 3點評觀察題設(shè)條件和待求的函數(shù)值，會發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件中為倍角，而待求函數(shù)為單角，所以使用半角公式升幕，并通過因式分解使問題得以迅速解決．

3【例18】證明:sin3A,sin3(1200,A),sin3(240o,A)二一—sin3A411證明 左邊=—(3sinA-sin3A),[3sin(120。,A)-sin(360。,3A)]441+_[3sin(2400,A)-sin(720,3A)]433=—[sinA,sin(1200,A)+sin(240。+A)]—sin3A44、玉 1 込 1 3=—[sinA+(cosA一―sinA)一(cosA+—sinA)]一 sin3A2 22 2 43=——sin3A=右邊411點評根據(jù)三倍角公式，有sin3二(3sina-sin3a),cos3二^(3cosa—cos3a)也常用來降次.有些數(shù)學(xué)競賽題中經(jīng)常用到此技巧方法.六、引入輔助角當(dāng)a,b均不為零時.利用asinx+bcosx=v-a2+b2sin(x,?)(其中?為輔助角且滿足abcos?= ,sm?= )來作變換也是常用方法.a2+b2 a2+b2【例19】(2005年遼寧卷)如圖10一1，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱，鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0.(I)將十字形的面積表示為…的函數(shù)；(…為何值時，十字形的而積最大？最大面積是多少？解(I)設(shè)S為十字形的面積，依題意有S =2xy-x2=2sin…cos…一cos2…(—<0<—)4 2(II)化簡S的表達式11.'51S =2sin…皿…—COs2…=sin2…—產(chǎn)2…—2七sm(2…€?)—22「5 兀其中?=arccos—，當(dāng)sin(2…一?)=1即2…一?時，S最大52c兀1 2J— 電,—一1所以，當(dāng)°= +懇arccos時，S最大，最大值為一-—4252點評 在求三角函數(shù)的極值時經(jīng)常通過引人輔助角后利用三角函數(shù)的有界性求解.?！纠?0】(200，年全國卷)若0<a<B<,sina,cos a,sinP,cosb則()(D(D)ab>2(A)a<b(B)a>b(C)ab<1TOC\o"1-5"\h\z兀 兀解：a=v'2sin(a+—),b=、2sin(P+—)4 4兀 兀 兀 兀 兀0<a<p<n<a, <p, <—4 4 4 4 2又y二sinx在(0,—)上是增函數(shù)，.：a=J2sin(a,—)<b=y2sin(P,—)厶 I I故選A點評 比較大小，一般可作差比較，但運算量較大.這里由于a、b均為msinx,ncosx

型，所以可引入輔助角，這是處理此類問題的常用技巧．七、平方消元有時將某些式子平方后再相減(加)可消去一些項，使所求問題變得更簡單明了.【例21】(2005年南昌市模擬題)設(shè)5卩為銳角，且a=(sine,—cost)，.■2b=(一cos€,sin€),a+b=( , ),求a…b和cos(a+€)的值。622解：(1)由a=(sina，一cosa),b=(，cos€,sin€),a+b=(,)得:626sina一cos€= ?62cosa一sin€=一-2①2②2得2-2sin(e+€)=2.??sin(a+卩)=3L=-sin(a+€)=-—2)?/sina一cos€sin=-sin(a+€)=-—2)?/sina一cos€sina>cos€=sin(2-€)又Ta、卩為銳角,a>—-€ —<又Ta、卩為銳角,22cos(a+€)=—1-=，-9 —點評本題中將①與②分別平方后再相減消去平方項從而求得sin(a+卩)的值．這是解決此類問題的常用方法，但很多情況下用平方消元并不一定很直觀，大多數(shù)是以隱蔽的形式出現(xiàn)的，應(yīng)注意發(fā)掘和利用．【例22】已知sin9,sina,cos0成等差數(shù)列，sin9,sin卩,cos0成等比數(shù)列，證明：2cos2a=cos2€證明：Tsin9,sina,cos9成等差數(shù)列，2sina=sin9+cos9，將上式平方得：4sin2a=1+2sin9cos9 ①又sin9,sin€,cos9成等比數(shù)列，.：sin2€=sin9cos9 ②②代入①得4sin2a，2sin2€=12(1-cos2a)-(1-cos2€)=1故2cos2a=cos2€點評這里是利用平方消去交叉項達到消元目的．八、裂項添項跟代數(shù)恒等變換一樣．在三泊變換‘}，有時適當(dāng)?shù)貞?yīng)用”‘加一項再減去這一項”.“乘一項再除以同一項”的方法常能使某些問題巧妙簡捷地得以解決．【例2—】求sin1Oosin—Oosin5Oosin7Oo的值。sin200解：原式=cos80o……cos40o…cos20o= cos2Oocos4Oocos8Oo2sin200

sin8Oosin8Oocos8Oo= 1sin16Oo16sin200€ sin400cos4Oocos8Oo=4sin200 8sin200€1_16的方法致使其發(fā)生“連鎖反應(yīng)”，迅速求點評本題巧妙地運用“乘一項再除以同一項”解．的方法致使其發(fā)生“連鎖反應(yīng)”，迅速求sin2x【例24】證明:-TOC\o"1-5"\h\z(smx+cosx一1)(smx一cosx+1) smx證明左邊= 1)(sinx+cosx一1)(sinx證明左邊= 1)(sinx+cosx一1)(sinx一cosx+1)_(sinx+cosx+1)(sinx+cosx一1)_(sinx+cosx+1)sinx(sinx+cosx一1)(sinx一cosx+1)(sinx一cosx+1)sinx(1一cos2x)+(cosx+1)sinx (1+cosx)(1一cosx+sinx) 1+cosx= = € €右邊(sinx一cosx+1)sinx (sinx一cosx+1)sinx sinx點評 本例中采用“加一項再減去這一項”、“乘一項再除以同一項”的方法，其技巧性較強，其目的都是為了便干分解因式進行約分化簡．2兀 4兀 6兀 8兀 10?！纠?5】求cos+cos+cos+cos+cos的值11 11 11 1111宀.兀/ 2兀 4兀 6兀 8兀 1血、2sin(cos+cos+cos+cos+cos)解：原式= —11 11―11 11丄2sin兀111 *. 3兀 .兀、/. 5兀 .3兀、/.7兀.5兀、/. 9兀 .7兀、€ [(sin—sin)+(sin—sin)+(sin—sin)+(sin—sin)兀 11 11 11 11 11 11 11 112sin-11/. 11兀.9k+(sinip-sinn)]1 k 1€ (sin兀一sin)=—。?兀 1122sin11c?兀點評這里根據(jù)題目的特點，各項乘以2sin亓后，再用積化和差公式巧妙地進行裂項相消，這些技巧均頗具代表性．九、設(shè)元轉(zhuǎn)化換元法作為一種數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用廣泛，我們第三章已作了專題練習(xí)，這里僅就幾種帶典型性的三角恒等變換中的換元予以剖析【例26】如圖所示，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90m

的扇形小山，其余部分都是