機器人概論第六講

第3章機器人運動學(xué)3.1剛體的位姿描述3.2機器人運動學(xué)與靜力學(xué)3.3機器人動力學(xué)3.2.1Denavit-Hartenberg描述法與連桿坐標(biāo)系建立3.2機器人運動學(xué)與靜力學(xué)3.2機器人運動學(xué)與靜力學(xué)機器人運動功能符號：移動關(guān)節(jié)（P）:沒有軸，只有方向。轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)（R）：有轉(zhuǎn)動軸。

機座或基礎(chǔ)連桿：手部或末端執(zhí)行器：3.2機器人運動學(xué)與靜力學(xué)機器人運動功能符號

機器人學(xué)中主要包括：笛卡爾空間的固定（或全局、任務(wù)）坐標(biāo)系和隨桿件一起運動的運動（或局部、相對）坐標(biāo)系。

在機器人學(xué)中為什么采用Denavit-Hartenberg描述方法？1、物理意義明確。2、對應(yīng)的變換矩陣簡單。3、方法簡單，使用面廣，便于交流。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立1、建立坐標(biāo)系系統(tǒng)目標(biāo)：用坐標(biāo)系描述機器人中各連桿的位姿。建立坐標(biāo)系的原則：1）反應(yīng)幾何和運動特征關(guān)系，便于表示桿件幾何參數(shù)及運動參數(shù)。2）使用方便，符合習(xí)慣，如右手法則。

3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立桿件的編號：從基礎(chǔ)連桿（機座）開始，依次編號為0、1、2、3、…、n號桿件，其中，n為末端執(zhí)行器。

關(guān)節(jié)編號：第i桿件繞其作轉(zhuǎn)動的關(guān)節(jié)記為i號關(guān)節(jié)，它是連接第i連桿與第i-1連桿的運動副。坐標(biāo)系編號：編號為i的坐標(biāo)系Fi(即Oi-xiyizi)被固連在第i-1號桿件上，其中i=1、2、…、n+1。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立例：3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立1）桿件坐標(biāo)系{i}，i=1，2，…，n

Zi軸：與第i關(guān)節(jié)軸線重合。z軸的正方向沒有明確規(guī)定；移動關(guān)節(jié)只定義了方向，其Zi軸可以位于平行于移動方向的任意位置。

Xi軸：定義為沿Zi-1軸與Zi軸的公垂線，且從前者指向后者；如果兩軸相交，則規(guī)定其單位矢量為ii=ki-1xki；如果兩軸平行，規(guī)定其通過第i-1坐標(biāo)系的原點。

另外，由于沒有0號軸線，1號坐標(biāo)系的x軸位置和方向可以任意確定。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立

Yi軸：按照右手法則坐標(biāo)系Fi的原點位于Zi軸與Xi軸的交點處。2）桿件坐標(biāo)系{n+1}：固結(jié)在第n號連桿的遠端，其坐標(biāo)軸方向根據(jù)工作需要確定。總之，n自由度的機器臂有n+1個連桿，在其上可建立n+1個坐標(biāo)系，它的方位由連桿結(jié)構(gòu)確定，用固連在i-1桿件上坐標(biāo)系Fi，可描述桿件i相對與桿件i-1的運動。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立例：三自由度機械臂。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立PUMA–6Rdecoupled3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立2、機器人構(gòu)形的描述機器人機構(gòu)是由一系列桿件組成的，確定機器人構(gòu)型涉及的參數(shù)有兩類：連桿（Link）的幾何參數(shù)及兩相鄰連桿間的運動參數(shù)。1）、連桿的幾何描述連桿的主要幾何特征是其兩端的軸線間的位置關(guān)系，可以用兩個參數(shù)來確定：（1）連桿的長度ai。（2）連桿兩端軸線之間的鈕角

i。在機器人運動中，桿件的幾何參數(shù)通常為定值。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立（1）連桿的長度ai：連桿兩端軸線之間的公垂線長度，是非負值。（2）連桿鈕角αi（-180<αi<180）：兩端軸線之間在公垂線方向的夾角，并規(guī)定：以xi為軸，按右手規(guī)則，由Zi軸轉(zhuǎn)到Zi+1軸。（1）關(guān)節(jié)平移量bizi軸與xi+1軸的交點的zi坐標(biāo)，即相鄰桿件的長度在關(guān)節(jié)軸線zi上的距離。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立2）連桿間的運動參數(shù)：描述兩連桿之間的運動關(guān)系。（2）關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)量θixi軸和xi+1軸之間的夾角定義為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動量θi

，即xi繞關(guān)節(jié)zi按右手法則轉(zhuǎn)動到xi+1的角度。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立例：三維立體說明

當(dāng)兩連桿發(fā)生相對運動時，關(guān)節(jié)的運動參數(shù)將發(fā)生變化，如果關(guān)節(jié)是平移關(guān)節(jié)，則平移量bi會變化；如果是回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)；則關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)量θi會變化。我們將這些運動時會發(fā)生變化的量稱為關(guān)節(jié)變量。對于每一個關(guān)節(jié)，都有一個關(guān)節(jié)變量和三個參數(shù)。n個關(guān)節(jié)的操作臂有n個關(guān)節(jié)變量，他們構(gòu)成n維矢量θ。用上述連桿幾何參數(shù)和運動參數(shù)來描述機器人機構(gòu)運動關(guān)系的方法稱為Denzvit-Hartenberg方法，簡稱D-H法。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立例：PUMA機器人后三個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的軸交與一點C，通常將這種結(jié)構(gòu)成為球形手腕，點C稱為它的中心。3.2.1D-H描述法與連桿坐標(biāo)系建立

前四個連桿構(gòu)成的子運動鏈稱作手臂；這樣的手腕和手臂能夠解耦分析，手腕用于確定末端執(zhí)行器的方向，手臂用于確定C點的位置；這種操作臂屬于可解耦類型。3.2.2機器人運動學(xué)方程3.2.2機器人運動學(xué)方程

目標(biāo)：建立笛卡爾空間{m}與關(guān)節(jié)空間{q}之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。機器人運動學(xué)的一般模型為：

M=f(qi)，i=1，…，nM——機器人末端執(zhí)行器的位姿。qi——機器人各個關(guān)節(jié)變量。若給定qi，要求確定相應(yīng)的M，稱為正運動學(xué)問題，簡記為DKP。如果已知末端執(zhí)行器的位姿M，求解對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量，稱為逆運動學(xué)（InverseKinematics）問題，簡記為IKP。3.2.2機器人運動學(xué)方程為什么求正運動學(xué)問題的解？檢驗、校準機器人；計算工作空間等。為什麼研究逆運動學(xué)問題解？路徑規(guī)劃、機器人控制等，但求解困難。機器人正運動學(xué)問題的特點：求解容易，具有唯一性。機器人逆運動學(xué)問題的特點：1、一般求解方程組是由一些非線性的、超越、難解的方程組成。2、必須關(guān)心解的存在性、多解性、可解性和求解方法。3.2.2機器人運動學(xué)方程運動學(xué)逆解的求解方法

不像線性方程，不存在通用算法。逆解的形式：1)閉式解(Close-formsolution):用解析函數(shù)式表示解。求解速度快。僅僅在一些特別簡單的或特殊的情況下，存在解析的閉式解。2）數(shù)值解：遞推求解，不易求出所有解。逆解的求解方法：

1、代數(shù)法。2、幾何法。3、數(shù)值法。3.2.2機器人運動學(xué)方程問：i坐標(biāo)系的位姿如何在i-1坐標(biāo)系中表示。1）關(guān)節(jié)運動變量的統(tǒng)一表示

設(shè)平移關(guān)節(jié)變量為bi，回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)變量為θi，則廣義關(guān)節(jié)變量表示為：其中：3.2.2機器人運動學(xué)方程2）相鄰桿件位姿矩陣分析{i}→{i+1}的變換過程Ri,i+1。3.2.2機器人運動學(xué)方程設(shè)已知各連桿的幾何參數(shù)和相對運動參數(shù)，則：a、Trans（0，0，bi）b、Rot（z，θi）；c、Trans（ai，0，0）d、Rot（x，αi）注意：用的都是i下標(biāo)參數(shù)，即用i坐標(biāo)系統(tǒng)一表示參數(shù)。3.2.2機器人運動學(xué)方程單步齊次變換矩陣3.2.2機器人運動學(xué)方程坐標(biāo)系Fi+1相對于Fi的齊次變換矩陣為：3.2.2機器人運動學(xué)方程注意：由于平移是沿轉(zhuǎn)動軸方向進行的，因此，作為特例，前兩步之間可以交換順序，后兩步之間也可以交換順序，即：3.2.2機器人運動學(xué)方程想一想：此矩陣中各列的幾何意義是什么？3.2.2機器人運動學(xué)方程求出了相鄰桿件之間的位姿矩陣：后，就可得到手部相對基座的位姿矩陣：此式被稱作機器人的正運動學(xué)方程。3.2.2機器人運動學(xué)方程例1：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機器人如圖所示，設(shè)機器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。建立機器人的運動學(xué)方程。

l1l3l23.2.2機器人運動學(xué)方程解：（1）建立坐標(biāo)系a、桿件坐標(biāo)系{1}{2}{3}。c、末端執(zhí)行器坐標(biāo)系{4}。3.2.2機器人運動學(xué)方程解：（2）確定參數(shù)各軸線相互平行，各桿件處于同一平面內(nèi)。ibiθiaiαiqi10θ1l10θ120θ2l20θ230θ3l30θ3θ1θ2θ33.2.2機器人運動學(xué)方程解：（3）相鄰桿件位姿矩陣θ1θ2θ33.2.2機器人運動學(xué)方程θ1θ2θ33.2.2機器人運動學(xué)方程θ1θ2θ33.2.2機器人運動學(xué)方程（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題If,thereisaSingularity,whichistobediscussednext3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題DiscussiononsolutionsIfΔ1=0,whereΔ1,μ1=sinα1,Theλ1anda1isrelationtothestructureofrobot.Thexc2+yc2isthepositionofit.Case1:

namely:e1//e21=03.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題Case2:

Namely:e1intersectswithe23.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題Case3:

Foursolutionsforsamegivenwristcentre3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題Solution:FromfigureComputethecoefficients

3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題Thequadricequationin3

solvetheequation

3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題Compute1Compute2Theremainingrootsarecomputedlikewise:

3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題姿勢求解問題

前4個坐標(biāo)系的位置和姿勢已經(jīng)確定，末端執(zhí)行器的姿勢和手腕的結(jié)構(gòu)參數(shù)是已知量.4,5

和

6

將是我們要求的。

由于末端執(zhí)行器的姿勢已知，第六個關(guān)節(jié)的軸線姿勢是確定的。令e6在坐標(biāo)系F4中的描述為：3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題e5在坐標(biāo)系F4中的描述是R4矩陣的第三列，即：

矢量e5與e6的夾角為α5，則：代入得：同樣、令，利用三角恒等式得：2roots–ifradical>01root–ifradical=0Noroot–ifradical<0Solutionfor

43.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題

回憶：可寫成：整理的：由于Ri的第三行不包含θi，上述矩陣乘積的第三列與θ6無關(guān)。由第三列的前兩個元素，可以獲得兩個關(guān)于的方程：3.2.3可解耦機器人的逆運動學(xué)問題