機器人概論第六講

第3章機器人運動學3.1剛體的位姿描述3.2機器人運動學與靜力學3.3機器人動力學3.2.1Denavit-Hartenberg描述法與連桿坐標系建立3.2機器人運動學與靜力學3.2機器人運動學與靜力學機器人運動功能符號：移動關節(jié)（P）:沒有軸，只有方向。轉動關節(jié)（R）：有轉動軸。

機座或基礎連桿：手部或末端執(zhí)行器：3.2機器人運動學與靜力學機器人運動功能符號

機器人學中主要包括：笛卡爾空間的固定（或全局、任務）坐標系和隨桿件一起運動的運動（或局部、相對）坐標系。

在機器人學中為什么采用Denavit-Hartenberg描述方法？1、物理意義明確。2、對應的變換矩陣簡單。3、方法簡單，使用面廣，便于交流。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立1、建立坐標系系統(tǒng)目標：用坐標系描述機器人中各連桿的位姿。建立坐標系的原則：1）反應幾何和運動特征關系，便于表示桿件幾何參數及運動參數。2）使用方便，符合習慣，如右手法則。

3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立桿件的編號：從基礎連桿（機座）開始，依次編號為0、1、2、3、…、n號桿件，其中，n為末端執(zhí)行器。

關節(jié)編號：第i桿件繞其作轉動的關節(jié)記為i號關節(jié)，它是連接第i連桿與第i-1連桿的運動副。坐標系編號：編號為i的坐標系Fi(即Oi-xiyizi)被固連在第i-1號桿件上，其中i=1、2、…、n+1。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立例：3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立1）桿件坐標系{i}，i=1，2，…，n

Zi軸：與第i關節(jié)軸線重合。z軸的正方向沒有明確規(guī)定；移動關節(jié)只定義了方向，其Zi軸可以位于平行于移動方向的任意位置。

Xi軸：定義為沿Zi-1軸與Zi軸的公垂線，且從前者指向后者；如果兩軸相交，則規(guī)定其單位矢量為ii=ki-1xki；如果兩軸平行，規(guī)定其通過第i-1坐標系的原點。

另外，由于沒有0號軸線，1號坐標系的x軸位置和方向可以任意確定。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立

Yi軸：按照右手法則坐標系Fi的原點位于Zi軸與Xi軸的交點處。2）桿件坐標系{n+1}：固結在第n號連桿的遠端，其坐標軸方向根據工作需要確定。總之，n自由度的機器臂有n+1個連桿，在其上可建立n+1個坐標系，它的方位由連桿結構確定，用固連在i-1桿件上坐標系Fi，可描述桿件i相對與桿件i-1的運動。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立例：三自由度機械臂。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立PUMA–6Rdecoupled3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立2、機器人構形的描述機器人機構是由一系列桿件組成的，確定機器人構型涉及的參數有兩類：連桿（Link）的幾何參數及兩相鄰連桿間的運動參數。1）、連桿的幾何描述連桿的主要幾何特征是其兩端的軸線間的位置關系，可以用兩個參數來確定：（1）連桿的長度ai。（2）連桿兩端軸線之間的鈕角

i。在機器人運動中，桿件的幾何參數通常為定值。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立（1）連桿的長度ai：連桿兩端軸線之間的公垂線長度，是非負值。（2）連桿鈕角αi（-180<αi<180）：兩端軸線之間在公垂線方向的夾角，并規(guī)定：以xi為軸，按右手規(guī)則，由Zi軸轉到Zi+1軸。（1）關節(jié)平移量bizi軸與xi+1軸的交點的zi坐標，即相鄰桿件的長度在關節(jié)軸線zi上的距離。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立2）連桿間的運動參數：描述兩連桿之間的運動關系。（2）關節(jié)轉量θixi軸和xi+1軸之間的夾角定義為關節(jié)轉動量θi

，即xi繞關節(jié)zi按右手法則轉動到xi+1的角度。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立例：三維立體說明

當兩連桿發(fā)生相對運動時，關節(jié)的運動參數將發(fā)生變化，如果關節(jié)是平移關節(jié)，則平移量bi會變化；如果是回轉關節(jié)；則關節(jié)回轉量θi會變化。我們將這些運動時會發(fā)生變化的量稱為關節(jié)變量。對于每一個關節(jié)，都有一個關節(jié)變量和三個參數。n個關節(jié)的操作臂有n個關節(jié)變量，他們構成n維矢量θ。用上述連桿幾何參數和運動參數來描述機器人機構運動關系的方法稱為Denzvit-Hartenberg方法，簡稱D-H法。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立例：PUMA機器人后三個轉動關節(jié)的軸交與一點C，通常將這種結構成為球形手腕，點C稱為它的中心。3.2.1D-H描述法與連桿坐標系建立

前四個連桿構成的子運動鏈稱作手臂；這樣的手腕和手臂能夠解耦分析，手腕用于確定末端執(zhí)行器的方向，手臂用于確定C點的位置；這種操作臂屬于可解耦類型。3.2.2機器人運動學方程3.2.2機器人運動學方程

目標：建立笛卡爾空間{m}與關節(jié)空間{q}之間的數學關系。機器人運動學的一般模型為：

M=f(qi)，i=1，…，nM——機器人末端執(zhí)行器的位姿。qi——機器人各個關節(jié)變量。若給定qi，要求確定相應的M，稱為正運動學問題，簡記為DKP。如果已知末端執(zhí)行器的位姿M，求解對應的關節(jié)變量，稱為逆運動學（InverseKinematics）問題，簡記為IKP。3.2.2機器人運動學方程為什么求正運動學問題的解？檢驗、校準機器人；計算工作空間等。為什麼研究逆運動學問題解？路徑規(guī)劃、機器人控制等，但求解困難。機器人正運動學問題的特點：求解容易，具有唯一性。機器人逆運動學問題的特點：1、一般求解方程組是由一些非線性的、超越、難解的方程組成。2、必須關心解的存在性、多解性、可解性和求解方法。3.2.2機器人運動學方程運動學逆解的求解方法

不像線性方程，不存在通用算法。逆解的形式：1)閉式解(Close-formsolution):用解析函數式表示解。求解速度快。僅僅在一些特別簡單的或特殊的情況下，存在解析的閉式解。2）數值解：遞推求解，不易求出所有解。逆解的求解方法：

1、代數法。2、幾何法。3、數值法。3.2.2機器人運動學方程問：i坐標系的位姿如何在i-1坐標系中表示。1）關節(jié)運動變量的統(tǒng)一表示

設平移關節(jié)變量為bi，回轉關節(jié)變量為θi，則廣義關節(jié)變量表示為：其中：3.2.2機器人運動學方程2）相鄰桿件位姿矩陣分析{i}→{i+1}的變換過程Ri,i+1。3.2.2機器人運動學方程設已知各連桿的幾何參數和相對運動參數，則：a、Trans（0，0，bi）b、Rot（z，θi）；c、Trans（ai，0，0）d、Rot（x，αi）注意：用的都是i下標參數，即用i坐標系統(tǒng)一表示參數。3.2.2機器人運動學方程單步齊次變換矩陣3.2.2機器人運動學方程坐標系Fi+1相對于Fi的齊次變換矩陣為：3.2.2機器人運動學方程注意：由于平移是沿轉動軸方向進行的，因此，作為特例，前兩步之間可以交換順序，后兩步之間也可以交換順序，即：3.2.2機器人運動學方程想一想：此矩陣中各列的幾何意義是什么？3.2.2機器人運動學方程求出了相鄰桿件之間的位姿矩陣：后，就可得到手部相對基座的位姿矩陣：此式被稱作機器人的正運動學方程。3.2.2機器人運動學方程例1：已知三自由度平面關節(jié)機器人如圖所示，設機器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。建立機器人的運動學方程。

l1l3l23.2.2機器人運動學方程解：（1）建立坐標系a、桿件坐標系{1}{2}{3}。c、末端執(zhí)行器坐標系{4}。3.2.2機器人運動學方程解：（2）確定參數各軸線相互平行，各桿件處于同一平面內。ibiθiaiαiqi10θ1l10θ120θ2l20θ230θ3l30θ3θ1θ2θ33.2.2機器人運動學方程解：（3）相鄰桿件位姿矩陣θ1θ2θ33.2.2機器人運動學方程θ1θ2θ33.2.2機器人運動學方程θ1θ2θ33.2.2機器人運動學方程（4）建立方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題If,thereisaSingularity,whichistobediscussednext3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題DiscussiononsolutionsIfΔ1=0,whereΔ1,μ1=sinα1,Theλ1anda1isrelationtothestructureofrobot.Thexc2+yc2isthepositionofit.Case1:

namely:e1//e21=03.2.3可解耦機器人的逆運動學問題Case2:

Namely:e1intersectswithe23.2.3可解耦機器人的逆運動學問題Case3:

Foursolutionsforsamegivenwristcentre3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題Solution:FromfigureComputethecoefficients

3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題Thequadricequationin3

solvetheequation

3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題Compute1Compute2Theremainingrootsarecomputedlikewise:

3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題姿勢求解問題

前4個坐標系的位置和姿勢已經確定，末端執(zhí)行器的姿勢和手腕的結構參數是已知量.4,5

和

6

將是我們要求的。

由于末端執(zhí)行器的姿勢已知，第六個關節(jié)的軸線姿勢是確定的。令e6在坐標系F4中的描述為：3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題e5在坐標系F4中的描述是R4矩陣的第三列，即：

矢量e5與e6的夾角為α5，則：代入得：同樣、令，利用三角恒等式得：2roots–ifradical>01root–ifradical=0Noroot–ifradical<0Solutionfor

43.2.3可解耦機器人的逆運動學問題

回憶：可寫成：整理的：由于Ri的第三行不包含θi，上述矩陣乘積的第三列與θ6無關。由第三列的前兩個元素，可以獲得兩個關于的方程：3.2.3可解耦機器人的逆運動學問題