北郵通信原理ppt課件A-3隨機(jī)過程

第三章

隨機(jī)過程隨機(jī)變量隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程及其特點(diǎn)高斯過程與高斯白噪聲隨機(jī)過程通過系統(tǒng)窄帶高斯過程與窄帶高斯白噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲第三章隨機(jī)過程隨機(jī)變量13.1

隨機(jī)變量一、概念二、統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)變量X，概率密度函數(shù)f(x)三、數(shù)字特征——數(shù)學(xué)期望——方差——協(xié)方差3.1隨機(jī)變量一、概念2隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義物理意義表示隨機(jī)變量的均值性質(zhì)C是常數(shù)，則E(C)=C。C是常數(shù)，則E(C·X)=C·E(X)。X 、

Y 是

任

意

兩

個(gè)

隨

機(jī)

變

量

，

則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。X

、

Y

是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，

則E(X·Y)=E(X)·E(Y)。E(

X

)

xf

(x)dx隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義物理意義E(X)3隨機(jī)變量X的方差表示隨機(jī)變量與均值的偏離程度表示，其平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)方方差一般也用差22f

(x)dx

E(

X

2

)

E(

X

)2物理意義[x

E(

X

)]x

E(

X

)

定義D(

X

)

E

2XX隨機(jī)變量X的方差表示隨機(jī)變量與均值的偏離程度表示，其平方根稱4隨機(jī)變量X的協(xié)方差獨(dú)立不相關(guān)正交f(x,y)=f(x)f(y)COV(X,Y)=0E(XY)=0定義COV

(

X

,Y

)

Ex

E(

X

)y

E(Y

)

E(

X

Y

)

E(

X

)

E(Y

)E(XY)稱相關(guān)函數(shù)物理意義描述兩維隨機(jī)變量(X,Y)的相互關(guān)系幾個(gè)概念隨機(jī)變量X的協(xié)方差獨(dú)立f(x,y)=f(x)f(y)CO53.2

隨機(jī)過程一、概念二、統(tǒng)計(jì)特性3.2隨機(jī)過程一、概念6一、概念樣本函數(shù)：隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)過程：樣本函數(shù)的集合任意時(shí)刻的取值為隨機(jī)變量隨機(jī)過程沒有確定的時(shí)間函數(shù)，只能從統(tǒng)計(jì)角度，用概率分布和數(shù)字特征來描述。x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn

(t)tk一、概念樣本函數(shù)：隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)過程沒有確定的時(shí)間函7二、統(tǒng)計(jì)特性概率分布數(shù)學(xué)期望（均值）方差協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)二、統(tǒng)計(jì)特性概率分布81.

概率分布隨機(jī)過程ξ(t)在任一時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量ξ(t1)的取值小于等于某一數(shù)值x1的概率為ξ(t)的一維概率分布函數(shù)：F1(x1,t1)

P{

(t1)

x1}ξ (t)的一維概率密度函數(shù)：11 1 1xF

(x

,

t

)f1

(x1

,

t1

)

1.概率分布隨機(jī)過程ξ(t)在任一時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變9概率分布(續(xù))nnxx

x1 2 nn 1 2 n 1 2t )

F

(x

,

x

x

;t

,t

fn

(x1,

x2

xn

;t1,t2

tn

)

ξ

(t)的n維概率分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)分別是：Fn

(x1

,

x2

xn

;t1

,t2

tn

)

P{

(t1

)

x1

,

(t2

)

x2

(tn

)

xn

}概率分布(續(xù))nnxxx1 2 nn 1 2 n102.數(shù)學(xué)期望

（均值）E[

(t)]

xf1

(x,t)dx

a(t)物理意義：表示隨機(jī)過程在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心（平均值）(t)t01

(t)2

(t)n

(t)a(t

)2.數(shù)學(xué)期望（均值）E[(t)]xf1113.

方差D(

(t)]

E{

(t)

E[

(t)]}2

2

(t)物理意義：表示隨機(jī)過程在某時(shí)刻的取值（隨機(jī)變量）對(duì)該時(shí)刻的期望的偏離程度(t)t0σ(t

)1

(t)2

(t)n

(t)3.方差D((t)]E{(t)E[124.協(xié)方差函數(shù)B(t1

,t2

)

E{[

(t1

)

a(t1

)][

(t2

)

a(t2

)]}物理意義：表示隨機(jī)過程在兩個(gè)時(shí)刻間的線性依從關(guān)系4.協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)E{[(t1)135.相關(guān)函數(shù)tO

R(t1

,t2

)

E[

(t1

)

(t2

)]

x1

x2

f2

(x1

,

x2

;t1

,t2

)dx1dx2物理意義：表示隨機(jī)過程在兩個(gè)時(shí)刻的取值的關(guān)聯(lián)程度，ξ(t)變化越平緩，兩個(gè)時(shí)刻取值的相關(guān)性越大，R值越大tOs(t)s(t)5.相關(guān)函數(shù)tO R(t1,t2)E[(t143.3

平穩(wěn)隨機(jī)過程及其特點(diǎn)定義若隨機(jī)過程的n維概率分布函數(shù)Fn()和n維概率密度函數(shù)fn

()與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則為平穩(wěn)隨機(jī)過程（嚴(yán)平穩(wěn)）特點(diǎn)統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)（廣義平穩(wěn)的定義）a

(t)a;R(t1,t2)R(τ)3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程及其特點(diǎn)定義15特點(diǎn)(續(xù))各態(tài)歷經(jīng)性：設(shè)x

(t)是ξ(t)的任一實(shí)現(xiàn)，ξ(t)的統(tǒng)計(jì)平均=

x

(t)的算術(shù)平均T

2T

Ta

a

lim

1

T

2

x(t)dtT

2T

TR(

)

R(

)

lim

1

T

2

x(t)x(t

)dt意義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，

只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，

從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡(jiǎn)化。特點(diǎn)(續(xù))各態(tài)歷經(jīng)性：設(shè)x (t)是ξ(t)的任一實(shí)現(xiàn)，16例題(例3-1)(2)

求(t)的時(shí)間平均值(3)比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為

(t)

Acos(ct

)其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻?1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：A2R(

)

cos

c

2a(t)

0;例題(例3-1)(2)求(t)的時(shí)間平均值設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位17特點(diǎn)(續(xù))|

R(τ)|≤R(0) R(0)為上界

以相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過程的物理特性R(t1

,t2

)

E[

(t1

)

(t2

)]

x1

x2

f2

(x1

,

x2

;t1

,t2

)dx1dx2ξ(t)的平均功率：S=E[ξ2(t)]=

R(0)ξ(t)的直流功率：a2=E2[ξ(t)]=

R(∞)ξ(t)的交流功率：σ2=R(0)-

R(∞)相關(guān)函數(shù)其他性質(zhì)R(τ)=R(-τ)特點(diǎn)(續(xù))|R(τ)|≤R(0) R(0)為上界 以相18特點(diǎn)(續(xù))ξ(t)的功率譜：

j

以相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過程的頻域特性R(

)e

dP()

即：P()

R(

)ξ(t)的平均功率：P(f

)dfS

1P()d

2即：平均功率=功率譜曲線下的面積OPo()fH

f-fHn02K02維納-辛欽關(guān)系特點(diǎn)(續(xù))ξ(t)的功率譜：j以相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過19例題求隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=Acos(wct+θ)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度,在(0,

2π)內(nèi)均勻分布。解：證明(t)是廣義平穩(wěn)過程求自相關(guān)函數(shù)功率譜密度平均功率A2R(

)

cos

c

2A2P

()

2 [

(

c

)

(

c

)]2A2S

R(0)

12P

()d

例題求隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=Acos(wct+θ)的自相關(guān)203.4

高斯隨機(jī)過程與高斯白噪聲脈沖噪聲窄帶噪聲起伏噪聲熱噪聲散彈噪聲宇宙噪聲起伏噪聲為高斯隨機(jī)過程信道中的噪聲3.4高斯隨機(jī)過程與高斯白噪聲脈沖噪聲窄帶噪聲起伏噪聲熱噪21一、

高斯隨機(jī)變量隨機(jī)變量ξ ，若概率密度函數(shù)為則稱ξ 服從高斯分布（正態(tài)分布）1(x

a)22

2exp[2f(x)

]

，2 22 222f

(z)dzξ 的分布函數(shù)：x

1

1

erfc(

x

a

)

1

1

erf

(

x

a

)F

(x)

f

(x)

1

2

Oax一、高斯隨機(jī)變量隨機(jī)變量ξ ，若概率密度函數(shù)為則稱ξ 服從22高斯隨機(jī)變量(續(xù))面積2.

性質(zhì)fx

對(duì)稱為

x=afx在

,a

單調(diào)升，在a,

單調(diào)下降

2fxdx

1dx

fxdx

2 f

xaa

不變，不同的a值，表現(xiàn)為圖形平移a不變，不同的

值，表現(xiàn)為隨

減小，圖形變高變窄，隨

增大，變低變寬

歸一化a=0,

11-x2e

22πfx

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布f

(x)

1

2

Oax高斯隨機(jī)變量(續(xù))面積2.性質(zhì) 2f23Q函數(shù)：1z

2P(

x)

Q(

x

a

)exp(

)dz

2Q(x)

2

x誤差函數(shù)：x02e

z

dzerf(x)

2 2e dz

2Q(

2x)互補(bǔ)誤差函數(shù)：erfc(x)

1

erf

(x)

z

2

x幾個(gè)定義定義概率積分函數(shù)：x22exp(

z

)dz

1 2

(x)

Q函數(shù)：1z2P( x)Q(xa)e24二、高斯白噪聲—時(shí)域特性隨機(jī)過程ξ(t)，在任一時(shí)刻的取值（隨機(jī)變量）都符合高斯分布，則稱ξ(t)服從高斯分布。其n維概率密度函數(shù)為：高斯過程只依賴數(shù)字特征，即均值和協(xié)方差函數(shù)高斯過程若是寬平穩(wěn)的，也是嚴(yán)平穩(wěn)的高斯過程不同時(shí)刻的取值若互不相關(guān)，則彼此獨(dú)立高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后仍是高斯過程各種起伏噪聲，在任一時(shí)刻，噪聲的振幅都符合均值a=0的高斯分布，故稱為高斯噪聲。nj kjkj1k

1B1/

21 2 nxj

a

j x

aB ( )(

k

k

)

2

B

1

exp

1

n

(2

)n

/

2

...fn

(x1

,

x2

,...,

xn；t1

,t2

,...,

tn

)二、高斯白噪聲—時(shí)域特性隨機(jī)過程ξ(t)，在任一時(shí)刻的取值（25三、

高斯白噪聲—頻域特性頻域特性——近似白噪聲白噪聲：功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都均勻分布通信系統(tǒng)中的熱噪聲，在相當(dāng)寬的頻域內(nèi)具有平坦的功率譜，故近似認(rèn)為是白噪聲。n0/2fn00雙邊功率譜密度函數(shù)為：Pn(f)=n0/2(W/Hz)Pn（f）單邊功率譜密度函數(shù)為：Pn(f)=n0(W/Hz)Pn（f）三、高斯白噪聲—頻域特性頻域特性——近似白噪聲通信系統(tǒng)中的26高斯白噪聲—頻域特性

(續(xù))白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：2僅在τ=0時(shí)，R(τ)≠0，說明白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻上的取值都是不相關(guān)的。R(

)

n0

(

)

，P

()f0n02n02R0（a）功率譜密度（b）自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲—頻域特性(續(xù))白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：2R(273.5

隨機(jī)過程通過系統(tǒng)一、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)二、隨機(jī)過程通過乘法器（調(diào)制器）3.5隨機(jī)過程通過系統(tǒng)一、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)28一、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)o

(t)

i

(t)

h(t)隨機(jī)過程ξi(t)通過線性系統(tǒng)h(t)，其輸出也是隨機(jī)過程輸入信號(hào)輸出信號(hào)系統(tǒng)ξo

(t)Po(ω)h(t)H(ω)ξi(t)Pi(ω)一、隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)o(t)i(t)29隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(續(xù))性質(zhì)：若ξi(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則1.均值：E[ξo(t)]=E[ξi(t)]

H

(0)與 t

無關(guān)2.自相關(guān)函數(shù)：Ro(t1,t1+τ)=Ro(τ)

與t1無關(guān)3.功率譜密度函數(shù)：2R

(

do

iP

()

)e

P()H

()

o

j

4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，經(jīng)過線性系統(tǒng)后的ξo(t)也是高斯型的。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(續(xù))性質(zhì)：2R( do iP30例題求雙邊功率譜密度為n0/2(W/Hz)的白噪聲通過理想低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲功率。OfH

f-fHH(f)K例題求雙邊功率譜密度為n0/2(W/Hz)的白噪聲通OfH 31二、隨機(jī)過程通過乘法器(調(diào)制器)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)經(jīng)過調(diào)制器，輸出隨機(jī)過程Y(t)，Y(t)的功率譜為SY(ω)，自相關(guān)函數(shù)為RY(t,t+τ)Y

(t)Sy(w)X

(t)SX(w)Cos

wct二、隨機(jī)過程通過乘法器(調(diào)制器)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)經(jīng)過調(diào)制32隨機(jī)過程通過乘法器(續(xù))22cc cXc c cR(

)t

)][cos

cos(2

E[

X

(t)

X

(t

)][cos

cos(2

t

)]R

(t,t

)

E[Y

(t)Y

(t

)]

E[

X

(t)

X

(t

)

cos

t

cos

(t

)]Y c cRY(t,

t+τ)與t有關(guān)，所以Y(t)不平穩(wěn)，取其時(shí)間平均2.cos

xcYYR

(

)

R

(t,t

)

R

(

)

與t無關(guān)，4.c X cY

X

SY()

RY(

)S ()

1

[S (

)

S (

)]隨機(jī)過程通過乘法器(續(xù))22cc cXc c cR()333.6

窄帶隨機(jī)過程與窄帶噪聲-fcOS(f

)fffcf(a)tOs(t)緩慢變化的包絡(luò)

[a(t)]頻率近似為

fc(b)3.6窄帶隨機(jī)過程與窄帶噪聲-fcOS(f)fff34一、窄帶隨機(jī)過程定義

c 表示法1：

(t)

a(t)cos[

t

(t)]aξ(t)

對(duì)應(yīng)信號(hào)的包絡(luò)，υξ(t)對(duì)應(yīng)信號(hào)的相位，ωc=2πfc

窄帶信號(hào)的中心頻率（載頻）表示法2：

(t)

c

(t)cosct

s

(t)sin

ctc(t)

a

(t)

cos

(t)—同相分量s(t)

a

(t)sin

(t) —正交分量一、窄帶隨機(jī)過程定義 c 表示法1：(t)a35同相分量與正交分量

(t)

(t)cos

t

(t)sin

tc c s c同相分量/正交分量與窄帶信號(hào)的關(guān)系ξc(t)ξ(t)cosωctLPFH(w)=2-ξs(t)LPFH(w)=2sinωct同相分量與正交分量(t)(t)cost36二、窄帶高斯白噪聲窄帶高斯白噪聲可由高斯白噪聲經(jīng)過窄帶濾波器得到。1.

性質(zhì):窄帶高斯白噪聲的ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)都是均值a=0的平穩(wěn)高斯過程；ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)的平均功率（方差）相同，為σ

2同時(shí)刻ξc(t)、ξs(t)互相獨(dú)立，不相關(guān)二、窄帶高斯白噪聲窄帶高斯白噪聲可由高斯白噪聲經(jīng)過窄帶濾波器37窄帶高斯白噪聲(續(xù))2.

時(shí)域特性——瑞利分布ξ(t)包絡(luò)aξ(t)的一維分布符合瑞利分布，)2

2

2x2xexp(f(x)

相位υξ(t)

的一維分布符合均勻分布，f()

12aξ(t)和υξ(t)

互相獨(dú)立窄帶高斯白噪聲(續(xù))2.時(shí)域特性——瑞利分布ξ(t)包絡(luò)a38-fcOS(f

)fffcfn0/2窄帶高斯白噪聲(續(xù))3.

頻域特性——窄帶白噪聲同相分量/正交分量——帶限白噪聲-fcOfcfSc(f

),Ss(f

)fn0-fcOS(f)fffcfn0/2窄帶高斯白噪聲(續(xù)39窄帶高斯白噪聲(續(xù))4.等效帶寬窄帶噪聲功率譜密度為：02H

()

2nnP()

Pn(ω) 在±ω0處有最大值Pn(±ω0)定義：等效帶寬

Bn=

ωn/2πnnnnn2P

(0),

B2P

(0)P

()d

Pn

()df

窄帶高斯白噪聲(續(xù))4.等效帶寬02H()2nnP(40窄帶噪聲—等效帶寬

(續(xù))物理意義：使用等效帶寬的概念，可以認(rèn)為窄帶噪聲功率譜Pn(ω)在帶寬Bn內(nèi)是平坦的，等于Pn(ω0)面積相等Pn(fc

)OPn(f

)Bnffc窄帶噪聲—等效帶寬(續(xù))物理意義：使用等效帶寬的概念，可以41窄帶白噪聲

(續(xù))窄帶白噪聲(續(xù))42三、帶限白噪聲（低通白噪聲）帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)OPo(f)Ro(

)fH f O-fHn020K

21-

2fH12fH0 0

HK

2n

f低通白噪聲可由高斯白噪聲經(jīng)過低通濾波器得到。三、帶限白噪聲（低通白噪聲）帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)O433.7

正弦波加窄帶高斯噪聲1.時(shí)域特性合成信號(hào)cr(t)

Acos(

t

)

n(t)c c s cn(t)

n

(t)cos

t

n

(t)sin

t包絡(luò)z(t)

[

Acos

nc

(t)] [

Asin

n (t)]2 2s符合廣義瑞利分布（萊斯Rice分布）]I0(

2

)zz

2

A2

Az2

2f(z)

2

exp[其中,I0(x)為0階修正貝塞爾函數(shù)3.7正弦波加窄帶高斯噪聲1.時(shí)域特性合成信號(hào)cr(t)44正弦波加窄帶噪聲(續(xù))2.頻域特性—窄帶白噪聲加線譜-fcOS(f

)fffcfn0/2正弦波加窄帶噪聲(續(xù))2.頻域特性—窄帶白噪聲加線譜-fcO45總結(jié)——確知信號(hào)的分析時(shí)域 頻域T2T

P(w)

lim

|

FT

(w)

|時(shí)間函數(shù)f(t)

頻譜密度函數(shù)F(w)頻譜函數(shù)相關(guān)函數(shù)R(τ)

功率譜密度函數(shù)P(w)能量譜密度R(w)=F(w)H(w)PR(w)=PF(w)|H(w)|22limTT

21TT

f

(t)

f

(t

)dtR(

)

平均功率信號(hào)通過線性系統(tǒng)r(t)=f(t)*h(t)信號(hào)調(diào)制r(t)=f(t)coswctR(w)=[F(w+wc)+F(w-wc)]

/2總結(jié)——確知信號(hào)的分析時(shí)域 頻域T2TP(w)l46總結(jié)——隨機(jī)信號(hào)的分析時(shí)域 頻域概率密度相關(guān)函數(shù)R(τ)

功率譜密度函數(shù)P(w)信號(hào)通過線性系統(tǒng)ξo(t)=ξi

(t)*h(t)信號(hào)調(diào)制Po(w)=Pi(w)|H(w)|2期望、方差平均功率ξo(t)=ξi

(t)coswctPo(w)=[Pi(w+wc)+Pi(w-wc)]

/4總結(jié)——隨機(jī)信號(hào)的分析時(shí)域 頻域信號(hào)通過線性系統(tǒng)Po(w)=47解： 1、時(shí)域變化例：輸入均值為零、功率譜密度為n0

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2

的高