直線(xiàn)的參數(shù)方程

課時(shí)作業(yè)8一、選擇題1．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－1,2)，且傾斜角為eq\f(π,6)，則直線(xiàn)l的一個(gè)參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝－1＋\f(\r(3),2)t)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(3),2)t，,y＝－1＋\f(1,2)t))[解析]由直線(xiàn)參數(shù)方程的三角形式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosθ，,y＝y(tǒng)0＋tsinθ))(t為參數(shù))可以直接得出．[答案]B2．下列可以作為直線(xiàn)2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是(其中t為參數(shù))()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝3＋t)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝5－2t))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－t，,y＝3－2t)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(2\r(5),5)t，,y＝5＋\f(\r(5),5)t))[解析]直線(xiàn)2x－y＋1＝0過(guò)點(diǎn)(1,3)，(2,5)，但直線(xiàn)斜率為2，故只有C是正確的．[答案]C3．曲線(xiàn)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t2＋2，,y＝t2－1))(0≤t≤5)，則曲線(xiàn)是()A．線(xiàn)段 B．雙曲線(xiàn)的一支C．圓弧 D．射線(xiàn)[解析]消去參數(shù)得x－3y－5＝0(－1≤y≤24)是一條線(xiàn)段．故選A.[答案]A4．直線(xiàn)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(t,2),y＝2－\f(\r(3),2)t))，M0(－1,2)和M(x，y)是該直線(xiàn)上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，則t的幾何意義是()A．M0M B．MMC.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(M0M)) D．以上都不是[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(1,2)－t,y＝2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))－t))，∴－t的幾何意義為eq\o(M0M,\s\up6(→))的數(shù)量，∴t幾何意義為eq\o(MM0,\s\up6(→))的數(shù)量．[答案]B5．已知P1P2是直線(xiàn)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝－2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))上的兩點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)P到點(diǎn)(1，－2)的距離是()A.eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2)),2) B.eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1＋t2)),2)C.eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1－t2)),2) D.eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2)),2)[解析]由參數(shù)t的幾何意義及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．[答案]B6．方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t,y＝－2＋\f(1,2)t))(t是參數(shù))與方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\r(3)t,y＝－2＋t))(t是參數(shù))表示的曲線(xiàn)是()A．兩條相交直線(xiàn) B．兩條平行直線(xiàn)C．同一條直線(xiàn) D．不是直線(xiàn)[解析]兩直線(xiàn)都過(guò)(5，－2)點(diǎn)，且斜率都是eq\f(\r(3),3).故選C.[答案]C7．直線(xiàn)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝2－3t))(t為參數(shù))截拋物線(xiàn)y2＝3x所得的弦長(zhǎng)為()A.eq\f(4,3)eq\r(2)B．2C.eq\f(4,3)eq\r(26)D．2eq\r(3)[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t,y＝2－3t))?y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(7,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,2)x＋\f(7,2)，①,y2＝3x.②))①代入②，得9x2－54x＋49＝0.弦長(zhǎng)＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(\f(13,4)x1－x22)＝eq\f(1,2)eq\r(13[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(1,2)eq\r(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36－\f(4×49,9))))＝eq\f(4,3)eq\r(26).[答案]C8．直線(xiàn)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3，－3) B．(－eq\r(3)，3)C．(eq\r(3)，－3) D．(3，－eq\r(3))[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)t))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，eq\f(t1＋t2,2)＝4.中點(diǎn)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)×4,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)×4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\r(3).))[答案]D二、填空題9．設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝3＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，那么它的斜截式方程是__________．[解析]x＝2＋eq\f(1,2)t?eq\f(1,2)t＝x－2，∴y＝3＋eq\r(3)·(x－2)＝eq\r(3)x＋3－2eq\r(3)即為所求．[答案]y＝eq\r(3)x＋3－2eq\r(3)10．已知直線(xiàn)l的斜率為k＝－1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(2，－1)，則直線(xiàn)l的參數(shù)方程為_(kāi)_________．[解析]∵直線(xiàn)的斜率k＝－1，∴傾斜角α＝eq\f(3π,4).因此cosα＝－eq\f(\r(2),2)，sinα＝eq\f(\r(2),2).∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(\r(2),2)t，,y＝－1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(\r(2),2)t，,y＝－1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))11．直線(xiàn)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝2＋t))(t是參數(shù))被圓x2＋y2＝9截得的弦長(zhǎng)等于__________．[解析]直線(xiàn)方程為x－2y＋3＝0，圓心(0,0)到直線(xiàn)的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3)),\r(1＋4))＝eq\f(3,5)eq\r(5)，∴弦長(zhǎng)＝2eq\r(r2－d2)＝eq\f(12,5)eq\r(5).[答案]eq\f(12,5)eq\r(5)12．一條直線(xiàn)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝－5＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，另一條直線(xiàn)的方程是x－y－2eq\r(3)＝0，則兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)與P(1，－5)點(diǎn)距離是__________．[解析]將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝－5＋\f(\r(3),2)t))代入x－y－2eq\r(3)＝0得1＋eq\f(1,2)t＋5－eq\f(\r(3),2)t－2eq\r(3)＝0即eq\f(1－\r(3),2)t＝－6＋2eq\r(3).解得t＝4eq\r(3)，根據(jù)t的幾何意義知到(1，－5)的距離為4eq\r(3).[答案]4eq\r(3)三、解答題13．化直線(xiàn)l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t為參數(shù))為普通方程，并求傾斜角．[解析]把原方程組變形為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝t，,y－1＝\r(3)t，))將①代入②消去參數(shù)t，得y－1＝eq\r(3)(x＋3)(點(diǎn)斜式)．∴直線(xiàn)l的普通方程為eq\r(3)x－y＋3eq\r(3)＋1＝0.∴k＝eq\r(3)，即tanα＝eq\r(3)，∴傾斜角α＝eq\f(π,3).14．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))的值最小時(shí)的直線(xiàn)l的方程．[解析]設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為α，則它的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))．由A、B分別是x軸、y軸上的點(diǎn)知yA＝0，xB＝0，∴0＝2＋tsinα，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t))＝eq\f(2,sinα)；0＝3＋tcosα，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t))＝－eq\f(3,cosα).故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))＝eq\f(2,sinα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,cosα)))＝－eq\f(12,sin2α).∵90°＜α＜180°，∴當(dāng)2α＝270°，即α＝135°時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))有最小值．∴直線(xiàn)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，化成普通方程為x＋y－5＝0.15．求直線(xiàn)l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(6,\r(13))t，,y＝3＋\f(4,\r(13))t))(t為參數(shù))與直線(xiàn)l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)到定點(diǎn)(4,3)的距離．[解析]l1的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，則利用換參數(shù)的方法把l1的參數(shù)方程改寫(xiě)成eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(3,\r(13))·2t＝4＋\f(3,\r(13))t′，,y＝3＋\f(2,\r(13))·2t＝3＋\f(2,\r(13))t′.))(t′為參數(shù))把l1的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入x＋y－2＝0中，得4＋eq\f(3,\r(13))t′＋3＋eq\f(2,\r(13))t′－2＝0.解得t′＝－eq\r(13)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t′))＝eq\r(13).由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t′))的幾何意義為交點(diǎn)到點(diǎn)(4,3)的距離，∴所求的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t′))＝eq\r(13).16．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為eq\f(π,3)的弦AB，求弦AB的長(zhǎng)．[解析]拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又傾斜角為eq\f(π,3)，coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以弦AB所在直線(xiàn)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．代入拋物線(xiàn)方程y2＝4x得到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r