黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個字母隨機排成一排組成一個信息碼，則所得信息碼恰好滿足A，B，C三個字母連在一起，且B在A與C之間的概率為（）A． B． C． D．2．已知則復(fù)數(shù)A． B． C． D．3．等差數(shù)列的前項和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．514．已知函數(shù)，則此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)A． B．C． D．5．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設(shè)是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年8．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于19．將6位女生和2位男生平分為兩組，參加不同的兩個興趣小組，則2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為（）A．70 B．40 C．30 D．2010．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.－D.－11．橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．12．某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程x2-2x+p=0的兩個虛根為α、β，且α-β=4，則實數(shù)14．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為__________．15．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是________；16．已知，，當(dāng)取得最小值時，__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個階段進行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎勵，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求C的普通方程和l的傾斜角；（2）設(shè)點，l和C交于A，B兩點，求.19．（12分）為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在名男性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人．在名女性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān)，（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取輛，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？附：（其中為樣本容量）20．（12分）設(shè)是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，求的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的圖象是否是中心對稱圖形？若是，求出對稱中心；若不是，請說明理由；（2）設(shè)，試討論的零點個數(shù)情況.22．（10分）現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機抽取了七位醫(yī)護人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)（患者考核：10分制），用相關(guān)的特征量表示；醫(yī)護專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)（試卷考試：100分制），用相關(guān)的特征量表示，數(shù)據(jù)如下表：（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程（計算結(jié)果精確到0.01）；（Ⅱ）利用（I）中的線性回歸方程，分析醫(yī)護專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響，并估計某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)為95分時，他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)（精確到0.1）；（Ⅲ）現(xiàn)要從醫(yī)護專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)95分以下的醫(yī)護人員中選派2人參加組建的“九寨溝災(zāi)后醫(yī)護小分隊”培訓(xùn)，求這兩人中至少有一人考核分?jǐn)?shù)在90分以下的概率.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

將A，B，C三個字捆在一起，利用捆綁法得到答案.【詳解】由捆綁法可得所求概率為.故答案為C【點睛】本題考查了概率的計算，利用捆綁法可以簡化運算.2、A【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即.詳解：因為，所以，，故選A.點睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于中檔題．解答復(fù)數(shù)運算問題時一定要注意和以及運算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.3、B【解析】解：由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式有：，解得：，數(shù)列的前13項和：.本題選擇B選項.4、D【解析】分析：根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)法則得到結(jié)果即可.詳解：函數(shù)，故答案為：D.點睛：這個題目考查了具體函數(shù)的求導(dǎo)計算，注意計算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題目.5、D【解析】分析：利用反證法證明，假設(shè)一定是原命題的完全否定，從而可得結(jié)果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設(shè)是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．6、D【解析】由題設(shè)中提供的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是一個底面是邊長分別為３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱錐，如圖，將其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以頂角的余弦為，則，底面三角形的外接圓的半徑，則三棱錐的外接球的半徑，其表面積，應(yīng)選答案D。7、C【解析】

按照題中規(guī)則依次從2019年列舉到2026年，可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：C?！军c睛】本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于中等題。8、B【解析】

用反證法證明，假設(shè)同時大于，推出矛盾得出結(jié)果【詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時大于，所以至少有一個不大于，故選【點睛】本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時還運用了基本不等式，本題較為綜合9、C【解析】

先確定與2位男生同組的女生，再進行分組排列，即得結(jié)果【詳解】2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為，選C.【點睛】本題考查分組排列問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析：，虛部為?？键c：復(fù)數(shù)的運算。11、C【解析】

從橢圓方程確定焦點所在坐標(biāo)軸，然后根據(jù)求的值.【詳解】由橢圓方程得：，所以，又橢圓的焦點在上，所以焦點坐標(biāo)是.【點睛】求橢圓的焦點坐標(biāo)時，要先確定橢圓是軸型還是軸型，防止坐標(biāo)寫錯.12、C【解析】

根據(jù)已知可得，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

根據(jù)題意得出Δ<0，然后求出方程x2-2x+p=0的兩個虛根，再利用復(fù)數(shù)的求模公式結(jié)合等式α-β=4可求出實數(shù)【詳解】由題意可知，Δ=4-4p<0，得p>1.解方程x2-2x+p=0，即x-12=1-p，解得所以，α-β=2p-1故答案為5.【點睛】本題考查實系數(shù)方程虛根的求解，同時也考查了復(fù)數(shù)模長公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解析】

對求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)的值確定函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，，，令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，即，時，，函數(shù)的最大值為．故答案為．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值和三角函數(shù)求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．15、【解析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形?！驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)的圖象和直線，如圖，當(dāng)直線過點時，，當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：【點睛】本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題時用數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象（半個橢圓）及直線當(dāng)平移直線時觀察它與函數(shù)圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認(rèn)為是整個橢圓，那就會得出錯誤結(jié)論．16、【解析】

根據(jù)均值不等式知，，即，再由即可求解，注意等號成立的條件.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲó?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲó?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?故答案為.【點睛】本題主要考查了均值不等式，不等式等號成立的條件，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解析】

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分?jǐn)?shù)在的頻率為：，從而分?jǐn)?shù)在的，假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得．故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關(guān)概念，即可求解，屬于?？碱}型.18、(1)..(2).【解析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到普通方程，再計算傾斜角.（2）判斷點在直線l上，建立直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達定理得到答案.【詳解】（1）消去參數(shù)α得，即C的普通方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡得，所以直線l的傾斜角為.（2）由（1），知點在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)），代入并化簡，得，，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以，，所以.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，傾斜角，利用直線的參數(shù)方程可以簡化運算.19、(1)列聯(lián)表見解析；有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān)。(2)4輛【解析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補充列聯(lián)表，計算出的觀測值，并利用臨界值表計算出犯錯誤的概率，可對題中結(jié)論的正誤進行判斷；（2）記這輛車中駕駛員為男性且車速超過的車輛為，由題意得出，利用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式計算出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算隨機變量的觀測值，，有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān)；（2）記這輛車中駕駛員為男性且車速超過的車輛為，根據(jù)樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取輛，駕駛員為男性且車速超過的車輛的頻率為，利用頻率估計它的概率為.由已知可知服從二項分布，即.所以駕駛員為男性且超過的車輛數(shù)的均值（輛）.在隨機抽取的輛車中平均有輛車中駕駛員為男性且車速超過.【點睛】本題考查列聯(lián)表，以及獨立性檢驗思想，同時也考查了二項分布數(shù)學(xué)期望的計算，解題時要弄清楚二項分布的特點，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出，由此能求出的通項公式．（2）由，，求出的表達式，然后轉(zhuǎn)化求解的最小值．【詳解】解：（1）是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．，，解得，．（2）由，，得：，或時，取最小值．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式、前項和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：；（2）當(dāng)或時，有個零點；當(dāng)時，有個零點【解析】

（1）設(shè)，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，從而可得的對稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)的討論，即的解的個數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個數(shù)，從而得到零點個數(shù)，綜合得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)定義域為：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：（2）令，可知為其中一個解，即為一個零點只需討論的解的個數(shù)即可①當(dāng)時，無解有且僅有