關(guān)聯(lián)速度的分解

關(guān)聯(lián)速度的分解在高中運(yùn)動的合成與分解教學(xué)中，學(xué)生常常難以理解如何分解速度，特別是合速度和分速度的區(qū)別。一個簡單的方法是：物體實(shí)際運(yùn)動的方向就是合速度的方向，然后分析合速度所產(chǎn)生的實(shí)際效果，以確定兩個分速度的方向。一、繩、桿連接的物體繩、桿等連接的物體在運(yùn)動過程中，兩端物體的速度通常不同，但兩端物體的速度是有聯(lián)系的，稱為“關(guān)聯(lián)”速度。關(guān)聯(lián)速度的關(guān)系是：物體沿桿（或繩）方向的速度分量大小相等。因此，求解這類問題時，首先要明確繩連物體的速度為合速度，然后將兩物體的速度分別分解成沿繩方向和與繩垂直方向的分速度，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。例如，如圖1-1所示，在一光滑水平面上放置一個物體，人通過細(xì)繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運(yùn)動，人以大小不變的速度v運(yùn)動。當(dāng)繩子與水平方向成θ角時，物體前進(jìn)的瞬時速度是多少？解析：繩子牽引物體的運(yùn)動中，物體實(shí)際上在水平面上運(yùn)動，這個運(yùn)動就是合運(yùn)動，所以物體在水平面上運(yùn)動的速度v是合速度。將v按如圖1-2所示進(jìn)行分解，其中：v=v物cosθ，使繩子收縮，v⊥=v物sinθ使繩子繞定滑輪上的A點(diǎn)轉(zhuǎn)動，所以v物=v．cosθ。二、桿連接的物體另一個例子是桿連接的物體。例如，如圖2-1所示，一根長為L的桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球A，靠在一個質(zhì)量為M，高為h的物塊上，物塊以速度v向右運(yùn)動。求當(dāng)桿與水平方向夾角為θ時，小球A的線速度vA？解析：選取物與棒接觸點(diǎn)B為連結(jié)點(diǎn)，B點(diǎn)的實(shí)際速度（合速度）也就是物塊速度v；B點(diǎn)又在棒上，參與沿棒向A點(diǎn)滑動的速度v1和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的線速度v2，因此，將這個合速度沿棒及垂直于棒的兩個方向分解。由速度矢量分解圖得v2=vsinθ，設(shè)此時OB長度為a，則a=h/sinθ，令棒繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動角速度為ω，則ω=v2/a=vsin2θ/h，故A的線速度vA=ωL=vLsin2θ/h。三、平面鏡反射的光線另一個例子是平面鏡反射的光線。如圖3-1所示，S為一點(diǎn)光源，M為一平面鏡，光屏與平面鏡平行放置，SO是垂直照射在M上的光線，已知SO=L，若M以角速度ω繞O點(diǎn)逆時針勻速轉(zhuǎn)動，則轉(zhuǎn)過30°角時，光點(diǎn)S′在屏上移動的瞬時速度v為多少？由于光線在平面鏡上的反射是一種合速度，因此，我們可以將SO的方向作為合速度的方向。然后，將合速度分解成沿鏡面和垂直鏡面的兩個分速度。當(dāng)鏡子轉(zhuǎn)過30°時，根據(jù)幾何關(guān)系可以求出反射光線的方向和角度，從而求出S′在屏上移動的瞬時速度v。由幾何光學(xué)知識可知，當(dāng)平面鏡繞點(diǎn)O逆時針轉(zhuǎn)過30°時，反射光線與入射光線的夾角為60°，此時反射光線的長度為L/cos60°。選取光點(diǎn)S′為連結(jié)點(diǎn)，該點(diǎn)實(shí)際速度（合速度）就是在光屏上移動速度v，同時也參與繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動線速度v。因此，可以將這個合速度沿反射光線及垂直于反射光線的兩個方向分解，如速度矢量分解圖3—2所示，其中v1=vsin60°，v2=vcos60°。由圓周運(yùn)動知識可得，反射光線繞點(diǎn)O的角速度為2ω，因此有vcos60°=2ωL/cos60°，解得v=8ωL。在解決相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先需要明確兩接觸物體的速度，并分析彈力的方向。然后，將兩物體的速度分別沿彈力方向和垂直于彈力方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出相互接觸物體的速度關(guān)系。例如，考慮一個半徑為R的半圓柱沿水平方向向右以速度v勻速運(yùn)動。在半圓柱上放置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動，如圖4所示。當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時，豎直桿的運(yùn)動速度可以表示為v1=vtanθ，其中v1為豎直方向上的速度