高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.4數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)（含解析）北師大版選修22

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)六數(shù)學(xué)歸納法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成 ()A.假設(shè)n=2k+1(k∈N+)時(shí)正確，再推n=2k+3時(shí)正確B.假設(shè)n=2k-1(k∈N+)時(shí)正確，再推n=2k+1時(shí)正確C.假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)正確，再推n=k+1時(shí)正確D.假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)正確，再推n=k+2時(shí)正確【解析】選B.因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以證明時(shí)，歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)當(dāng)n=2k-1(k∈N+)時(shí)正確，再推出當(dāng)n=2k+1時(shí)正確.2.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí)，總能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命題總成立的是 ()A.若f(1)<2成立，則f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k+1成立【解析】選D.當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí)，總能推出f(k+1)≥k+2成立，說(shuō)明如果當(dāng)k=n時(shí)，f(n)≥n+1成立，那么當(dāng)k=n+1時(shí)，f(n+1)≥n+2也成立，所以如果當(dāng)k=4時(shí)，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)≥k+1也成立.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為() B.1+2C.1+2+22 D.1+2+22+23【解析】選D.當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+2+22+23.4.對(duì)于不等式QUOTE≤n+1(n∈N*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n=1時(shí)，QUOTE≤1+1，不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即QUOTE<k+1，則n=k+1時(shí)，QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=(k+1)+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，上述證法 ()A.過(guò)程全都正確B.n=1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解析】選D.n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過(guò)不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選D.二、填空題(每小題5分，共15分)5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為___________________________________________________________.

【解析】當(dāng)n=1時(shí)，左邊≥右邊，不等式成立，因?yàn)閚∈N*，所以第一步的驗(yàn)證為n=1的情形.答案：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4，右邊=4，左邊≥右邊，不等式成立6.已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N+)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>QUOTE時(shí)，f(2k+1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)為_________.

【解析】f(2k+1)-f(2k)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.答案：QUOTE+QUOTE+…+QUOTE7.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=_________；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)=_________(用含n的代數(shù)式表示).

【解析】如圖，4條直線有5個(gè)交點(diǎn)，則f(4)=5.由f(3)=2，f(4)=f(3)+3，…，f(n-1)=f(n-2)+n-2，f(n)=f(n-1)+n-1，累加可得f(n)=2+3+…+(n-2)+(n-1)=QUOTE(n-2)(n-1+2)=QUOTE(n-2)(n+1).答案：5QUOTE(n-2)(n+1)三、解答題8.(15分)用數(shù)學(xué)歸納法證明QUOTE·…·QUOTE=QUOTE(n≥2，n∈N+).【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1-QUOTE=QUOTE，右邊=QUOTE=QUOTE，所以左邊=右邊，所以n=2時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N+)時(shí)等式成立，即QUOTE·…·QUOTE=QUOTE，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，QUOTE·…·QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.綜合(1)(2)知，對(duì)任意n≥2，n∈N+等式恒成立.【加練·固】用數(shù)學(xué)歸納法證明：12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12-22=-3，右邊=-1×(2×1+1)=-3，所以左邊=右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(n≥1，n∈N+)時(shí)等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+QUOTE-QUOTE=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)QUOTE=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)QUOTE=右邊，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.由(1)(2)可知對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立.(15分鐘·30分)1.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明n=k+1時(shí)，只需展開 ()A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3【解析】選A.假設(shè)n=k時(shí)，原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除，當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k+3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可.2.(5分)下列代數(shù)式(其中k∈N+)能被9整除的是()A.6+6·7k B.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)【解析】選D.(1)當(dāng)k=1時(shí)，顯然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N+，n≥1)時(shí)命題成立，即3(2+7n)能被9整除.當(dāng)k=n+1時(shí)，3(2+7n+1)=21(2+7n)-36也能被9整除.這就是說(shuō)，當(dāng)k=n+1時(shí)命題也成立.由(1)(2)可知，3(2+7k)能被9整除對(duì)任何k∈N+都成立.3.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明QUOTE+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=QUOTE·sinQUOTEα·cosQUOTEα(α≠nπ，n∈N+)，在驗(yàn)證n=1等式成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是_________.

【解析】由等式的特點(diǎn)知，當(dāng)n=1時(shí)，左邊從第一項(xiàng)起，一直加到cos(2n-1)α，所以左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是QUOTE+cosα.答案：QUOTE+cosα4.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N+時(shí)，求證：1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)”，當(dāng)n=1時(shí)，原式為_________，從n=k到n=k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是______________.

【解析】當(dāng)n=1時(shí)，原式應(yīng)加到25×1-1=24，所以原式為1+2+22+23+24，從n=k到n=k+1時(shí)需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1.答案：1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+45.(10分)已知{fn(x)}滿足f1(x)=QUOTE(x>0)，fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)fn(x)的猜想.【解析】(1)f2(x)=f1(f1(x))=QUOTE=QUOTE，f3(x)=f1(f2(x))=QUOTE=QUOTE，猜想：fn(x)=QUOTE(n∈N*).(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明fn(x)=QUOTE(n∈N*).①當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=QUOTE，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，猜想成立，即fk(x)=QUOTE，則當(dāng)n=k+1時(shí)，fk+1(x)=f1[fk(x)]=QUOTE=QUOTE，即對(duì)n=k+1時(shí)，猜想也成立；結(jié)合①②可知，猜想fn(x)=QUOTE對(duì)一切n∈N*都成立.1.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A.n+1 C.QUOTE 2+n+1【解析】選條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域；……；n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+QUOTE=QUOTE個(gè)區(qū)域.【加練·固】用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+5n(n∈N+)能被6整除”的過(guò)程中，當(dāng)n=k+1時(shí)，式子(k+1)3+5(k+1)應(yīng)變形為______________.

【解析】證明當(dāng)n=k+1時(shí)，n3+5n能被6整除，一定要用到歸納假設(shè)“k3+5k能被6整除”，所以需將(k+1)3+5(k+1)化成含有(k3+5k)的形式，使用拼湊法.(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+8k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案：(k3+5k)+3k(k+1)+62.是否存在a，b，c使等式QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE對(duì)一切n∈N*都成立？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【解析】取n=1，2，3可得QUOTE解得：a=QUOTE，b=QUOTE，c=QUOTE.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=QUOTE.即證12+22+…+n2=QUOTEn(n+1)(2n+1)，①n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，所以等式成立；②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即12+22+…+k2=QUOTEk(k+1)(2k+1)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=12+22+…+k2+(k+1)2=QUOTEk(k+1)(2k+1)+(k+1)2=QUOTE[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=QUOTE(k+1)(2k2+7k+6)=QUOTE(k+1)(k+2)(2k+3)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立；由數(shù)學(xué)歸納法，綜合①②知當(dāng)n∈N*時(shí)等式成立，故存在a=QUOTE，b=QUOTE，c=QUOTE使已知等式成立.【加練·固】已知數(shù)列QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，QUOTE(n∈N+)，計(jì)算S1，S2，S3，由此推測(cè)出Sn的計(jì)算公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解題指南】由題已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，可分別求出S1，S2，S3，進(jìn)而通過(guò)觀察猜想出Sn的公式.再由猜想.需通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，分兩步進(jìn)行：(1)歸納奠基，(2)歸納遞推而證出.【解析】S1=QUOTE=QUOTE，S2=QUOTE=QUOTE，S3=QUOTE=QUOT