大一上學期同濟版高數(shù)第五章習題課課件

1高等數(shù)學

第二十九講1高等數(shù)學第二十九講2習題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法二、有關(guān)定積分計算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題

第五章2習題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法二、有關(guān)定積分計算和3一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題推廣的積分中值定理(積分第二中值定理)設(shè)在上可積且不變號,則存在使證明思路:想到用介值定理3一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求4證明:

設(shè)

M,m

分別為在上的最大值與最小值,不妨設(shè)若則故對任意結(jié)論都正確;若由連續(xù)函數(shù)介值定理可知,存在使,故定理成立.則則4證明:設(shè)M,m分別為在上的最大值與最小值,不妨5思考:例1

求解:因為時,所以利用夾逼準則得說明:

此類問題放大或縮小時一般應(yīng)保留含參數(shù)的項.作法對嗎?原式=另法:

利用積分第二中值定理原式=5思考:例1求解:因為時,所以利用夾逼準則得說明:此6因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定理原式不對!說明:2)

此類問題放大或縮小時一般應(yīng)保留含參數(shù)的項.

如,P265題46因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定7二、有關(guān)定積分計算和證明的方法1.熟練運用定積分計算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計算。3.利用各種積分技巧計算定積分。4.有關(guān)定積分命題的證明方法。思考:

下列作法是否正確?7二、有關(guān)定積分計算和證明的方法1.熟練運用定積分計算的常8因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定理原式不對!說明:2)

此類問題放大或縮小時一般應(yīng)保留含參數(shù)的項.

如,P270題78因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定9例

1.求極限解：原式例2.

求提示：原式左邊=右邊9例1.求極限解：原式例2.求提示：原式左邊=右邊10解：將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準則可知例3.

求10解：將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準11例4.估計下列積分值解:

因為∴即11例4.估計下列積分值解:因為∴即12解：原式例5.12解：原式例5.13例6.解：13例6.解：14因為對右端第二個積分令綜上所述14因為對右端第二個積分令綜上所述15例7.

求解:

令則原式15例7.求解:令則原式16例7.

求解：方法二令則可得原式16例7.求解：方法二令則可得原式17解原式＝例8求17解原式＝例8求18例9.求積分解：原式奇函數(shù)偶函數(shù)18例9.求積分解：原式奇函數(shù)偶函數(shù)19例10.解：令則被積函數(shù)是的奇函數(shù)，則原式19例10.解：令則被積函數(shù)是的奇函數(shù)，則原式20例11.解：原式20例11.解：原式21例12、求解：原式=21例12、求解：原式=22例13.

選擇一個常數(shù)

c,使解:

令則因為被積函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.22例13.選擇一個常數(shù)c,使解:令則因為23例14.

設(shè)解:

23例14.設(shè)解:24例15設(shè)求解24例15設(shè)求解25例16.求可微函數(shù)f(x)使其滿足解:

等式兩邊對

x

求導,得不妨設(shè)f(x)≠0,則25例16.求可微函數(shù)f(x)使其滿足解:等式兩邊對26注意f(0)=0,得26注意f(0)=0,得27例17

設(shè)當時,求解27例17設(shè)當時,求解28例18

設(shè)函數(shù)求解令可導，且28例18設(shè)函數(shù)求解令可導，且29例19.設(shè)在上連續(xù)，為兩個任意常數(shù)，求分析是定積分，含有積分變量y,是一個常數(shù)，解令則但被積函數(shù)中不僅而且有未知參數(shù)x,所以積分結(jié)果不而是未知參數(shù)x的函數(shù)。29例19.設(shè)在上連續(xù)，為兩個任意常數(shù)，求分析是定積30例20.

求多項式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導:可見f(x)應(yīng)為二次多項式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①再求導:30例20.求多項式f(x)使它滿足方程解:令31例21.解：且由方程確定y

是x

的函數(shù),求方程兩端對x求導,得令x=1,得再對y求導,得故31例21.解：且由方程確定y是x的函數(shù),求方程32例22.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.32例22.證明恒等式證:令則因此又故所證等式成立33例23設(shè)證明：令在上連續(xù)，且證明：在內(nèi)有且僅有一個實根.單增由零點定理,知由單調(diào)性可知內(nèi)有實根，在根是唯一的.33例23設(shè)證明：令在上連續(xù)，且證明：在內(nèi)有且僅有一個實根.34例24：證明方程在內(nèi)有且僅有兩個不同的實根。解設(shè)所以方程在內(nèi)有且僅有兩個不同的實根。34例24：證明方程在內(nèi)有且僅有兩個不同的實根。解設(shè)所35例25.設(shè)證:

設(shè)且試證:則故

F(x)單調(diào)不減,即*成立.*35例25.設(shè)證:設(shè)且試證:則故F(x)單36例26.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時結(jié)論成立.(用積分中值定理)當時,故所給不等式成立.明對于任何分域性質(zhì)36例26.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：37例27：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又證在內(nèi)存在，使證明：由積分中值定理在上連續(xù)，在內(nèi)可導。由羅爾定理：在內(nèi)存在，注：在題設(shè)中有定積分出現(xiàn)，通常將其按積分中值定理先處理。37例27：設(shè)在38設(shè)函數(shù)存在一點例28證明設(shè)在閉區(qū)間[0,1]上可導，且在區(qū)間因此存在上，F(xiàn)(x)滿足羅爾中值定理的條件，試證在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少38設(shè)函數(shù)存在一點例28證明設(shè)在閉區(qū)間[0,1]上可導，且39例29：設(shè)函數(shù)在上可導，且使證令根據(jù)中值定理有證明在內(nèi)至少存在一點則在上可導，由羅爾定理，在(0,η)內(nèi)至少存在一點使即39例29：設(shè)函數(shù)在上可導，且使證令根據(jù)中值定理有證明40例30：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且使證令證明在內(nèi)至少存在一點由羅爾定理，在(0,1)內(nèi)至少存在一點使即40例30：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且使證令證明在內(nèi)至少存在一41例31.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)至少存在一點41例31.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)至少存在一點42證明:

令在上連續(xù),在使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號,因此故所證等式成立.故由羅爾定理知,至少存在一點42證明:令在上連續(xù),在使即因在上連續(xù)且不為0,從而不43思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)43思考:本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)44例32：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且則求的表達式。解設(shè)解得44例32：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且則求的表達式。解設(shè)解得45例33：設(shè)函數(shù)在上二階導函數(shù)連續(xù)，則使證且證明在上至少存在一點在展開為一階麥克勞林公式在x與0之間45例33：設(shè)函數(shù)在上二階導函數(shù)連續(xù)，則使證且證明在上至少存46例33設(shè)函數(shù)在上二階導函數(shù)連續(xù)，且使證證明在上至少存在一點由介值定理知46例33設(shè)函數(shù)在上二階導函數(shù)連續(xù)，且使證證明在上至少存在一47例34

設(shè)且f(x)≥0,證明在[a,b]上證:

用反證法.假設(shè)存在無妨設(shè)為內(nèi)點,由f(x)的連續(xù)性可知,存在鄰域在其上則與題設(shè)矛盾!所以假設(shè)不真.(“高數(shù)”上,P236題12(1))推論:

設(shè)且f(x)≥0,而則(反證法)47例34設(shè)且f(x)≥0,證明在[a48作業(yè)(總習題五)P2681做在書上;2做在書上3(2);4;8(1);10(1)（4）(5)(8);12;1348作業(yè)(總習題五)P2681做在書上;2做在書上349例36：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且關(guān)于對稱，試證：分析：只要證相等證：令所以原等式成立49例36：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且關(guān)于對稱，試證：分析：只要證相50例34.

設(shè)f(x)在證:

在上對f(x)使用拉格朗日中值定理，有由且令上可導，且求證因此上兩式分別為又50例34.設(shè)f(x)在證:在上對f(x)使用51例35.證明證明：由題設(shè)，有為周期函數(shù)，并求它的最大值.令則有∴是以為周期的周期函數(shù)下面求f(x)在一個周期內(nèi)的最大值:51例35.證明證明：由題設(shè)，有為周期函數(shù)，并求