北師大版初三數(shù)學(xué)上冊《相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用》知識講解及例題演練

第頁相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用--知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識解決一些簡單的實(shí)際問題〔如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題〕.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等〞的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離〔長度〕，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長.

要點(diǎn)詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2．太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;

3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)〔一般指觀察者眼睛的位置〕;4.仰〔俯〕角：觀察者向上〔下〕看時，視線與水平方向的夾角．

要點(diǎn)二、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)〞兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.3.相似三角形周長的比等于相似比.∽，那么由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.∽，那么分別作出與的高和，那么要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【典型例題】類型一、相似三角形的應(yīng)用1.在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上。鐵塔底座寬CD=12m，塔影長DE=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為〔〕A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】A.【解析】過點(diǎn)D做DN⊥CD交光線AE于點(diǎn)N，那么,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以選A.【總結(jié)升華】解決此題的難點(diǎn)是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩局部；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的局部塔高的長度．舉一反三：

【變式】：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，

∴，∴.

∵AB∥EF，AD∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EF=AB=1.8m.

∴m.2.如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m，直立在F處的觀測者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同一條直線上〔點(diǎn)F，B，D也在同一條直線上〕．BD=8m，F(xiàn)B=2.5m，人高EF=1.5m，求樹高CD．【答案與解析】解：過E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，如下列圖所示：由得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故樹高DC為5.2米．【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．類型二、相似三角形的性質(zhì)

3.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，那么S△BCE：S△BDE等于〔〕.

A.2：5B．14:25C．16:25D.4:21

【思路點(diǎn)撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個三角形是否相似.【答案】B.【解析】由可得AB=10，AD=BD=5，設(shè)AE=BE=x,那么CE=8-x,

在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,

由△ADE∽△ACB得，

S△BCE：S△BDE=〔64-25-25〕：25=14:25，所以選B.【總結(jié)升華】關(guān)鍵是要確定哪兩個是相似三角形.舉一反三【變式】在銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.【答案】過點(diǎn)B做BF⊥AC,垂足為點(diǎn)F，∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,又∵DE=2，∴AC=6，4.如圖，正方形ABCB1中，AB=1．AB與直線l的夾角為30°，延長CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長C2B3交直線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此規(guī)律，那么A2023A2023=．【思路點(diǎn)撥】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)條件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2〔〕2，A3A4=2〔〕3，從而找出規(guī)律答案即可求出．【答案與解析】2〔〕2023解：∵四邊形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=，AA1=2，∴A1B2=A1B1=，∴A1A2=2，同理：A2A3=2〔〕2，A3A4=2〔〕3，∴AnAn+1=2〔〕n，∴A2023A2023=2〔〕2023，故答案為：2〔〕2023．【總結(jié)升華】此題是相似性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.舉一反三：【變式】如