高考全國乙卷：《理科數(shù)學(xué)》2022-2020年高考真題與答案解析

高考精品文檔高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)：2022年－2020年高考真題與答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽省甘肅、青海、蒙古、山西省吉林、寧夏、新疆、黑龍江

目錄高考全國乙卷：2022年高考《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析 高考全國乙卷：2022年高考《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合M滿足，則（）A．B．C．D．答案：A2．已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A．B．C．D．答案：A3．已知向量滿足，則（）A．B．C．1 D．2答案：C4．嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）A．B．C．D．答案：D5．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A．2B．C．3D．答案：B6．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A．3B．4C．5D．6答案：B7．在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面答案：A8．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A．14B．12C．6D．3答案：D9．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A．B．C．D．答案：C10．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A．p與該棋手和甲、乙、丙的此賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案：C11．雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A．B．C．D．答案：C12．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（）A．B．C．D．答案：D

二、填空題13．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_______．答案：314．過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_______．答案：(x-2)2+15．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_______．答案：316．己知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是_______．答案：(0三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17﹣21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．[1]證明：；[2]若，求的周長。答案：[1]已知sinC·sin(A﹣B)=sinB·sin(C﹣A)化簡得：SinC·SinA·cosB﹣SinC·cosA·sinB=SinB·SinC·cosA﹣SinB·cosC·sinA由正弦定理可得：ac·cosB﹣bc·cosA=bc·cosA﹣ab·cosC即ac·cosB=2bc·cosA﹣ab·cosC由余弦定理可得：aca2[2]由[1]可知；b2+所以2bc=31因?yàn)閎所以b+c=9，a+b+c=14。所以△ABC的周長為14。18．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)。[1]證明：平面平面；[2]設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值。答案：[1]因?yàn)锳D=CD，∠ADB=∠BDC且BD為公共邊所以△ADB與△BDC全等，有AB=BC因?yàn)镋是AC中點(diǎn)，且AD=CD所以DE⊥AC同理EB⊥AC又因?yàn)镈E∩BE=E，且均內(nèi)含于平面BED所以AC⊥平面BED又因?yàn)锳C?平面ACD所以平面BED⊥平面ACD。[2]在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，AB=BC所以AC=2，BE=3在△ACD中，AD⊥CD，AD=CD，AC=2，E為AC中點(diǎn)所以DE⊥AC，DE=1又因?yàn)镈E=2所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE所以直線AC、ED和EB兩兩相互垂直由點(diǎn)F在BD上，且△ADB與△BDC全等所以AF=FC由于E為AC中點(diǎn)所以EF⊥AC當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，EF⊥BD在Rt△DEB中，因?yàn)锽E=3，DE=1所以EF=32，BF=如上圖所示，以點(diǎn)E位坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AC、EB、ED分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C(﹣1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,3,0)、D(0,0,1)、F(0,34,3BD=(0,-3,1)，AD=(﹣1,0,1)，BC=(﹣1,-3因?yàn)镃F=BF-BC=34BD-設(shè)平面ABD的法向量為m可得BD·m=0AD·m=0，設(shè)y=1，所以m=設(shè)m與CF所成的角為α，CF與平面ABD所成的角為θ得sinθ=cosα=m?CF所以，CF與平面ABD所成的角的正弦值為4319．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．[1]估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；[2]求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；[3]現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．答案：[1]設(shè)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為x，平均一個(gè)的材積量為y，則xy[2]r=[3]設(shè)從根部面積總和為X，總材積量為Y則X故Y=3.90.6×186=1209（m20．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)。[1]求E的方程；[2]設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)。答案：[1]設(shè)E的方程為x將A、B兩點(diǎn)代入得：4解得a2=3，b2=4故E的方程為：x2[2]由點(diǎn)A、B，可得直線AB：y=①若過P(1,2)的直線的斜率不存在，直線為x=1代入x23+y24=1，可得M(1,26將y=263代入AB：y=23x-2，可得T由MT=TH，得H(26+5故直線HN為：y=2-26②若過P(1,﹣2)的直線的斜率存在，設(shè)kx－y－(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)聯(lián)立k得(3k2+4)x2﹣6k(2+k)x+3k(k+4)=0故有x1+x2=6k(2+k)聯(lián)立y=y1y=23x-2，可得T(3y12+3，y1)，H(3解得HN：y-將（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48=0顯然成立綜上，可得直線HN過定點(diǎn)(0,﹣2)。21．已知函數(shù).[1]當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；[2]若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．答案：[1]y=2x；[2]a＜﹣1。解析過程：略。（二）選考題22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．[1]寫出l的直角坐標(biāo)方程；[2]若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。答案：[1]由ρsin(θ+π3)+m=0ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ即ρ(12sinθ+32cosθ)+m=0，12y+故I的方程為：3x+y+2m=0[2]因?yàn)閤=得x=聯(lián)立x=3-32y23x+y+2m=0，得3即3y2﹣2y﹣6=4m(﹣2≤y≤2)，-3可得-所以m的取值范圍為-1923.[選修4-5：不等式選講]已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：[1]；[2]。答案：[1]因?yàn)閍、b、c是正數(shù)所以a32+b3所以3abc≤1，即a證畢。[2]要證ab+c只需證a因?yàn)閎+c≥2bc，a+c≥2ac所以a證畢。

高考全國乙卷：2021年高考《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)2(z+z)+3(z﹣z)=4+6i，則z=().A、1﹣2iB、1+2iC、1+iD、1﹣i答案：C2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=()A、?B、SC、TD、Z答案：C3.已知命題p：?x∈R，sinx＜1；命題q：?x∈R，e|x|A、p∧qB、?p∧qC、p∧?qD、?(pVq)答案：A4.設(shè)函數(shù)f(x)=1-xA、f(x﹣1)﹣1B、f(x﹣1)+1C、f(x+1)﹣1D、f(x+1)+1答案：B5.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A、π/2B、π/3C、π/4D、π/6答案：D6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A、60種B、120種C、240種D、480種答案：C7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的0.5倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移π/3個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(x﹣π4)的圖像，則f(x)=A、sin(x2B、sin(x2C、sin(2x-D、sin(2x答案：B8.在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于7/4的概率為()A、7/4B、23/32C、9/32D、2/9答案：B9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=().A、表高×表距÷表目距的差＋表高B、表高×表距÷表目距的差﹣表高C、表高×表距÷表目距的差＋表距D、表高×表距÷表目距的差﹣表距答案：A10.設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)fxA、a＜bB、a＞bC、ab＜a2D、ab＞a2答案：D11.設(shè)B是橢圓C：x2a2A、2B、1C、0,D、0,答案：C12.設(shè)a=2ln1.01，bA、a＜b＜cB、b＜c＜aC、b＜a＜cD、c＜a＜b答案：B二、填空題13.已知雙曲線C：x2m-y2=1(m>0)的一條漸近線為3答案：414.已知向量a=(1，3)，b=(3，4)，若(a﹣λb)⊥b，則λ=______。答案：3/515.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，則b=______.答案：2216.以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為______。(寫出符合要求的一組答案即可)答案：②⑤或③④三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17﹣21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和s22(1)求x，y，s12，s22；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y﹣x≥2s12答案：(1)各項(xiàng)所求值如下所示x=110(y=110(s12=110x[(9.7﹣10.0)2+2x(9.8﹣10.0)2+(9.9﹣10.0)2+2X(10.0﹣10.0)2+(10.1﹣10.0)2+2x(10.2﹣10.0)2+(10.3﹣10.0)2s22=110x[(10.0﹣10.3)2+3x(10.1﹣10.3)2+(10.3﹣10.3)2+2x(10.4﹣10.3)2+2x(10.5﹣10.3)2+(10.6﹣10.3)2](2)由(1)中數(shù)據(jù)得y﹣x=0.3，2s12+s顯然y﹣x＜2s118.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM。[1]求BC；[2]求二面角A﹣PM﹣B的正弦值。答案：(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz。設(shè)BC=t，A(t,0,0)，B(t,1,0)，M(t2,1,0)，P所以PB=(t,1,﹣1)，AM=(-12因?yàn)镻B⊥AM所以PB?AM=﹣t22+1=0，所以t=2，所以BC=(2)設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，由于AP=(﹣2,0,1)，則m令x=2，得m=(2,1,2)設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n=(xt,yt,zt)，則n令yt=1，得n=(0,1,所以cos(m,n)=m?nm|n|=3719.記S n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和，已知2Sn(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式。答案：(1)由已知2Sn+1bn=2，則bn?2bn-1bn+1bn=2?2bn﹣1+2=2bn?bn﹣bn﹣1=1故｛bn｝是以32為首項(xiàng)，1(2)由(1)知bn=32+(n﹣1)12=n+22，則2Sn+2nn=1時(shí)，a1=S1=3n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n+2n+1﹣故an=320.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a﹣x)，已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)。(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+f答案：(1)[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)當(dāng)x=0時(shí)，[xf(x)]′=f(0)=lna=0所以a=1。(2)由f(x)=ln(1﹣x)，得x＜1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=ln(1﹣x)＜0，xf(x)＜0當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=ln(1﹣x)＞0，xf(x)＜0故即證x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1﹣x)﹣xln(1﹣x)＞0令1﹣x=t(t＞0且t≠1)，x=1﹣t，即證1﹣t+lnt﹣(1﹣t)lnt＞0令f(t)=1﹣t+lnt﹣(1﹣t)lnt則f′(t)=﹣1﹣1t﹣[(﹣1)lnt+1-tt]=﹣1+1t+lnt﹣1-t所以f(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增故f(t)＞f(1)=0得證。21.己知拋物線C：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求ΔPAB的最大值.答案：(1)焦點(diǎn)F0,P2到x2+y+4(2)拋物線y=14x2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0llPB:y=lPA，lPB都過點(diǎn)P(x0，y0)故lAB:聯(lián)立y=得x2-所以AB=1+x0所以S△PAB=12AB而y故當(dāng)y0=﹣5時(shí)，S△PAB達(dá)到最大，最大值為(二)選考題22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］在直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的圓心為C(2，1)，半徑為1.(1)寫出⊙C的一個(gè)參數(shù)方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)過點(diǎn)F(4，1)作⊙C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程。答案：(1)因?yàn)椤袰的圓心為(2，1)，半徑為1.故⊙C的參數(shù)方程為x=2+cosθy=1+(2)設(shè)切線y=k(x﹣4)+1，即kx﹣y﹣4k+1=0，故|2k即|2k|=1+k2，4k解得k=±3故直線方程為y=33(x﹣4)+1，y=-33故兩條切線的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=33cosθ﹣433+1或ρsinθ=323.[選修4一5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+3|.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)≥—a，求a的取值范圍.答案：(l)a=1時(shí)，f(x)=|x﹣1|+|x+3|即求|x﹣1|+|x﹣3|≥6的解集當(dāng)x≥1時(shí)，2x十2≥6，得x≥2當(dāng)﹣3<x<1時(shí)，4≥6此時(shí)沒有x滿足條件當(dāng)x≤﹣3時(shí)﹣2x﹣2≥6.得x≤﹣4綜上解集為(﹣∞,﹣4]U[2,﹣∞)。(2)f(x)最小值>﹣a，而由絕對值的幾何意義，即求x到a和﹣3距離的最小值.當(dāng)x在a和﹣3之間時(shí)最小，此時(shí)f(x)最小值為|a+3|，即|a+3|＞﹣a.A≥﹣3時(shí)，2a+3>0，得a>﹣32；a<﹣3時(shí)，﹣a﹣3>﹣a，此時(shí)a綜上，a>﹣32高考全國乙卷：2020年高考《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若z=1+i，則|z2–2z|=______。A．0 B．1 C． D．2答案：D2．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=______。A．–4 B．–2 C．2 D．4答案：B3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為______。A． B． C． D．答案：C4．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=______。A．2 B．3 C．6 D．9答案：C5．某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖。由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是______。A． B．C． D．答案：D6．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為______。A． B．C． D．答案：B7．設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為______。A． B．C． D．答案：C8．的展開式中x3y3的系數(shù)為______。A．5 B．10 C．15 D．20答案：C9．已知，且，則______。A． B． C． D．答案：A10．已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．答案：A11．已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為A． B． C． D．答案：D12．若，則（）A． B． C． D．答案：B二、填空題13．若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為______。答案：114．設(shè)為單位向量，且，則______。答案：15．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______.答案：216．如上圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______.答案：三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題17．設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．[1]求的公比；[2]若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：[1]設(shè)的公比為，由題設(shè)得即所以解得（舍去），，故的公比為。[2]設(shè)為的前n項(xiàng)和.由[1]及題設(shè)可得，所以可得。所以.18．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，。[1]證明：平面；[2]求二面角的余弦值。答案：[1]設(shè)，由題設(shè)可得因此，從而又，故。所以平面。[2]以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題設(shè)可得所以設(shè)是平面的法向量，則即可取由[1]知是平面的一個(gè)法向量，記則所以二面角的余弦值為。19.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，[1]求甲連勝四場的概率；[2]求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；[3]求丙最終獲勝的概率.答案：[1]甲連勝四場的概率為[2]根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽比賽四場結(jié)束，共有三種情況甲連勝四場的概率為乙連勝四場的概率為丙上場后連勝三場的概率為所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為。[3]丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為．比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，，因此丙最終獲勝的概率為。20.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．[1]求E的方程；[2]證明：直線CD過定點(diǎn).答案：[1]由題設(shè)得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）則，=（a，–1）.由=8