第7節(jié)　函數(shù)的圖像

第七節(jié)函數(shù)的圖像第二章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質,解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.1.作函數(shù)的圖像2.函數(shù)圖像的辨識3.函數(shù)圖像的應用1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學運算強基礎增分策略1.利用描點法作函數(shù)圖像的流程

2.函數(shù)圖像間的變換(1)平移變換y=f(x)-k微點撥對于平移,往往容易出錯,在實際判斷中可熟記口訣:左加右減,上加下減.左加右減只針對x本身,與x的系數(shù)無關;上加下減指的是在f(x)整體上加減.(2)對稱變換

微點撥y=ax(a>0,且a≠1)的圖像

y=logax(a>0,且a≠1)的圖像.函數(shù)y=-f(-x)的圖像

微思考1函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=a對稱,則f(x)滿足什么條件?微思考2若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像關于點(a,b)對稱,求f(x),g(x)的關系.提示:f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).提示:g(x)=2b-f(2a-x).(3)伸縮變換

常用結論1.函數(shù)圖像自身的軸對稱(1)f(-x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且有f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=對稱.2.函數(shù)圖像自身的中心對稱(1)f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關于(a,0)對稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);(3)函數(shù)y=f(x)的圖像關于點(a,b)成中心對稱?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且滿足條件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于點

對稱.3.兩個函數(shù)圖像之間的對稱關系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于直線x=對稱(由a+x=b-x得對稱軸方程);(2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關于直線x=a對稱;(3)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖像關于點(0,b)對稱;(4)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關于點(a,b)對稱.增素能精準突破考點一作函數(shù)的圖像典例突破例1.分別畫出下列函數(shù)的圖像:解:(1)首先作出y=lg

x的圖像,然后將其向右平移1個單位長度,得到y(tǒng)=lg(x-1)的圖像,再把所得圖像在x軸下方的部分翻折到x軸上方,即得所求函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖像,如圖①所示(實線部分).(2)將y=2x的圖像向左平移1個單位,得到y(tǒng)=2x+1的圖像,再將所得圖像向下平移1個單位長度,得到y(tǒng)=2x+1-1的圖像,如圖②所示.突破技巧作函數(shù)圖像的常用方法

直接法當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數(shù)時,就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出圖像變換法變換包括平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換描點法當上面兩種方法都失效時,則可采用描點法.為了通過描少量點,就能得到比較準確的圖像,常常需要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等性質對點訓練1作出下列函數(shù)的圖像:

解:(1)當x≥1時,lg

x≥0,y=10|lg

x|=10lg

x=x;這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖像可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)圖像作出,如圖①.(2)y=2x+2的圖像是將y=2x的圖像向左平移2個單位長度.其圖像如圖②.考點二函數(shù)圖像的辨識(多考向探究)考向1.知式判圖典例突破答案:B

解析:函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},對點訓練2(2021貴州貴陽模擬)函數(shù)g(x)=

的圖像向右平移1個單位長度得到函數(shù)f(x)的圖像,則f(x)的圖像大致為(

)答案:D

考向2.知圖判式典例突破例3.(2021山西懷仁期末)已知函數(shù)f(x)的局部圖像如圖所示,則f(x)的解析式可能是(

)答案:D

解析:由圖可得f(x)的圖像關于y軸對稱,即f(x)為偶函數(shù).故f(x)為奇函數(shù),與圖像不符,故排除C;經(jīng)分析,D符合要求,故選D.答案:D

解析:由圖易知,圖像關于原點對稱,故對應函數(shù)為奇函數(shù).突破技巧函數(shù)圖像的識別方法

特殊點法根據(jù)已知函數(shù)的解析式選取特殊的點,判斷選項中的圖像是否經(jīng)過這些點,若不滿足,則排除函數(shù)性質法根據(jù)選項中的圖像特點,結合函數(shù)的奇偶性、單調性等來排除選項,有時需要借助導數(shù)工具求解極限思想應用極限思想來處理,可以使解題過程費時少、準確率高圖像變換法有關函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=af(bx+c)+h的圖像問題的判斷,熟練掌握圖像的平移變換(左加右減,上加下減)、對稱變換、伸縮變換等,可輕松破解此類問題考點三函數(shù)圖像的應用(多考向探究)考向1.研究函數(shù)的性質典例突破例4.已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結論正確的是(

)A.f(x)是偶函數(shù),遞增區(qū)間是(0,+∞)B.f(x)是偶函數(shù),遞減區(qū)間是(-∞,1)C.f(x)是奇函數(shù),遞減區(qū)間是(-1,1)D.f(x)是奇函數(shù),遞增區(qū)間是(-∞,0)答案:C

畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖,觀察圖像可知,函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(-1,1)上單調遞減.突破技巧利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質對于由解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖像的函數(shù),其性質常借助圖像研究:(1)從圖像的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值;(2)從圖像的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性;(3)從圖像的走向趨勢,分析函數(shù)的單調性、周期性.對點訓練4已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,規(guī)定:當|f(x)|≥g(x)時,h(x)=|f(x)|;當|f(x)|<g(x)時,h(x)=-g(x),則h(x)(

)A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,無最小值C.有最小值-1,無最大值D.有最大值-1,無最小值答案:C

解析:如圖,畫出|f(x)|=|2x-1|與g(x)=1-x2的圖像,它們交于A,B兩點.由“規(guī)定”,在A,B兩側,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之間,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).綜上可知,y=h(x)的圖像是圖中的實線部分,因此h(x)有最小值-1,無最大值.考向2.函數(shù)圖像在不等式中的應用典例突破例5.(1)設定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的,且f(1)=0,則不等式

<0的解集為(

)A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)(2)(2020北京,6)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案:(1)D

(2)D

解析:(1)因為f(x)為奇函數(shù),在(0,+∞)上是增加的,即xf(x)<0,且f(1)=0,f(x)的大致圖像如圖所示.所以xf(x)<0的解集為(-1,0)∪(0,1).(2)因為f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等價于2x>x+1,在同一直角坐標系中作出y=2x和y=x+1的圖像如圖:兩函數(shù)圖像的交點坐標為(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解為x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).突破技巧利用函數(shù)圖像求解不等式的思路當不等式問題不能用代數(shù)法求解,但其對應函數(shù)的圖像可作出時,常將不等式問題轉化為兩個函數(shù)圖像的上下關系或函數(shù)圖像與坐標軸的位置關系,數(shù)形結合來解決問題.對點訓練5函數(shù)f(x)是定義在[-4,4]上的偶函數(shù),其在[0,4]上的圖像如圖所示,那么不等式

<0的解集為

.

考向3.求參數(shù)的取值范圍典例突破例6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2-|x+2|.若對任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0) D.(-2,0)∪(6,+∞)答案:D

解析:因為x<0時,f(x)=2-|x+2|,又因為f(x)是R上的奇函數(shù),作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,y=f(x+a)的圖像可以看成是y=f(x)的圖像向左(a>0時)或向右(a<0時)平移|a|個單位長度而得.當a>0時,y=f(x)的圖像至少向左平移6個單位長度(不含6個單位長度)才能滿足f(x+a)>f(x)成立;當a<0時,y=f(x)的圖像向右平移至多2個單位長度(不含2個單位長度)才能滿