素能培優(yōu)(九)求曲線軌跡方程的方法

素能培優(yōu)(九)求曲線軌跡方程的方法第九章曲線C與方程F(x,y)=0滿足兩個(gè)條件:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.求曲線方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接將幾何條件或等量關(guān)系表示為代數(shù)方程;(2)定義法:利用曲線的定義,判斷曲線類型,再由曲線的定義直接寫出曲線方程;(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程,將參數(shù)消去,得到兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.一、直接法求軌跡方程例1(2022·河南商丘三模節(jié)選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(-4,0),B(4,0),M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),C,D分別為線段AM,BM的中點(diǎn),且直線OC,OD的斜率之積是-,記M的軌跡為E.求E的方程.規(guī)律方法

直接法求軌跡方程的兩種策略

答案

(x-1)2+y2=3二、定義法求軌跡方程例2若動(dòng)圓與兩定圓(x+5)2+y2=1及(x-5)2+y2=49都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

.

解析

設(shè)圓C1為(x+5)2+y2=1,可得圓心C1(-5,0),半徑r1=1,設(shè)圓C2為(x-5)2+y2=49,可得圓心C2(5,0),半徑r2=7,且|C1C2|=10.設(shè)動(dòng)圓圓心為C,半徑為r,因?yàn)閯?dòng)圓C同時(shí)與圓C1和圓C2外切,所以|CC1|=r+1,|CC2|=7+r,所以|CC2|-|CC1|=6<|C1C2|=10,所以點(diǎn)C的軌跡是以規(guī)律方法

利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.三、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程例3已知曲線C0:y=3x2+1和點(diǎn)A(-2,0),動(dòng)點(diǎn)C在曲線C0上.(1)若線段AC的中點(diǎn)為M,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;(3)若B(2,0),求△ABC的重心G的軌跡方程.規(guī)律方法

利用代入法求軌跡方程的一般步驟

(1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求λ的值.四、參數(shù)法求軌跡方程例4(2023·河北承德模擬)已知A(2cosθ,4sinθ),B(2sinθ,-4cosθ),當(dāng)θ∈R時(shí),線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為(

)答案

B規(guī)律方法

應(yīng)用消參法求軌跡方程的流程選參→求參→消參→注意消參后曲線的范圍是否發(fā)生變化對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線y2=4px(p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OA⊥OB,OM⊥AB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.解

當(dāng)AB所在直線的斜率不存在時(shí),M為一定點(diǎn),坐標(biāo)為(4p,0).當(dāng)AB所在直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+b(k≠0).由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又點(diǎn)(4p,0)滿足x2+y2-4px=0,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-4px=0.五、交軌法求軌跡方程

例5如圖,已知橢圓C:的短軸端點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)B1,點(diǎn)B2重合,點(diǎn)N滿足NB1⊥MB1,NB2