杭州第二中學(xué)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

杭州第二中學(xué)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)杭州第二中學(xué)2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.過(guò)點(diǎn)(-1,-3)且垂直于直線(xiàn)x-2y+3=0的直線(xiàn)方程為（）A.2x+y-1=0B.x-2y-5=0C.x-2y+7=0D.2x+y+5=0【答案】D【解析】易知直線(xiàn)x-2y+3=0的斜率為1/2，又由直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系可得所求直線(xiàn)的斜率為-2。因?yàn)樗笾本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-1,-3)，所以y+3=-2(x+1)，故所求直線(xiàn)方程為2x+y+5=0。2.設(shè)m⊥α，α，β是兩個(gè)不同的平面，則“α⊥β”是“m//β”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】D【解析】已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m⊥α，若“α⊥β”，則直線(xiàn)m與平面β可能平行，可能相交，可能垂直，也可能異面，故充分性不成立；反過(guò)來(lái)，若“m//β”，則平面α，β可能相交也可能平行，故必要性不成立；故“α⊥β”是“m//β”的既不充分也不必要條件。3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為C，則B，C間的距離為（）A.5B.14C.25D.2√14【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(1,2,-3)，點(diǎn)A(1,2,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(-1,-2,-3)，則B，C間的距離為√[(1+1)^2+(2+2)^2+(-3+3)^2]=√25=5。4.若x，y滿(mǎn)足{x-y-1≥0x-3y+3≥0則z=2x+y的最大值為（）A.8B.9C.2D.1【答案】A【解析】依據(jù)題意畫(huà)出可行域，由圖可知z=x+2y在點(diǎn)A取到最大值，聯(lián)立{x-y-1=0x-3y+3=0解得x=3，y=2，故z=2x+y=8。5.下列說(shuō)法的正確的是（）A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(x,y)的直線(xiàn)的方程都可以表示為y-y=k(x-x)B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,b)的直線(xiàn)的方程都可以表示為y=kx+bC.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的方程都可以表示為xy=abD.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線(xiàn)的方程都可以表示為(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)【答案】D=6。因此，約束條件可以轉(zhuǎn)化為2≤t≤6代入4x+3y≤12中得到4x+3(t-1)x+3(t-2)≤12化簡(jiǎn)得x≤2t-6結(jié)合y≥x得到2t-6≤y≤t因此，x的取值范圍為2t-6≤x≤t代入2≤t≤6得到4≤x≤6因此，答案為B。6，故側(cè)面積為Sr5rr2r2r27r2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2r，四棱錐PABCD的高為h3r，底面積為S0(2r)24r2，故四棱錐的側(cè)面積為S1(3r)2(2r)22r27r2，所以總的側(cè)面積為SS17r227r2，代入S，得SS165.BC4，AB3，DE平面ABC，EF平面ABD，EF2，DE4，AF平面ADE，BF平面BDE，CF平面CDF，設(shè)外接球的半徑為R，則有AB2BC2AC26R2，DE2EF24R2，AF2AD2DF2(2R)2(3R)2，BF2BD2DF2(2R)2(4R)2，CF2CD2DF2(4R)2(3R)2.解得R3，外接球的體積為(4/3)R34030/27.已知三角形ABC，其中AB=1，BC=7。設(shè)三角形ABC的外心為H，三棱錐D-ABC的外接球的球心為O。則O在底面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，即OH垂直于平面ABC（也即OH//DA）。根據(jù)余弦定理，有cos∠BAC=（2AB×AC）/（BC^2-AB^2-AC^2）=1/3。又因?yàn)镺A=OD，所以O(shè)H=DA=1/2×√（2AB×AC×（1-cos∠BAC））=1/2。由此，OA=√（OH^2+AH^2）=√（1+（10/3）^2）=√（310）/3，即三棱錐D-ABC的外接球的半徑為√（310）/9。因此，所求的幾何體的外接球的體積為V=4/3×π×（√（310）/9）^3=31/3×π。18.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x^2-4ax+3a^2<0，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x-3<1。（1）若a=1，若p，q同為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若a>0，且非p是非q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（1）由x^2-4ax+3a^2<0得（x-3a）（x-a）<0，當(dāng)a=1時(shí)，1<x<3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍為1<x<3。由x-3<1得-1<x-3<1，得2<x<4，即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍為2<x<4。因?yàn)閜，q同為真命題，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為2<x<3。（2）由x^2-4ax+3a^2<0得（x-3a）（x-a）<0，非p為x^2-4ax+3a^2≥0，即（x-3a）（x-a）≥0，非q為x-3≥1，即x≥4或x≤2。設(shè)A={x|非p}，B={x|非q}，則A真包含于B。又A={x|非p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|非q}={x|x≤2或x≥4}，則4≤3a或a≤2/3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為2/3≤a≤2。19.已知圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,2)，N(3,1)，且圓心P在直線(xiàn)l:x-y=0上。（1）求圓P的方程；（2）過(guò)點(diǎn)Q(-1,2)的直線(xiàn)交圓P于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB=2√3時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程。（1）設(shè)圓P的方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中r>0。由于圓心P在直線(xiàn)l上，所以a-b=0，即圓P的方程為x+y=4。（2）過(guò)點(diǎn)Q(-1,2)的直線(xiàn)的方程為y-2=k(x+1)，其中k為斜率。將直線(xiàn)代入圓P的方程，得x^2+(kx+k-2)^2=(x-2)^2+(kx-2)^2，整理得x=1/3，y=7/3或x=3，y=-1。因此，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1/3，7/3）和（3，-1）。由于AB=2√3，所以直線(xiàn)AB的斜率為-1/√3，過(guò)點(diǎn)（2，1/2），因此直線(xiàn)AB的方程為y-1/2=-1/√3(x-2)。（1）當(dāng)圓C與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)E時(shí)，直線(xiàn)l的斜率等于圓C在點(diǎn)E處的切線(xiàn)斜率，即-2m/1=m/2解得m=0，即圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2+y^2=r^2（2）圓P的方程可以寫(xiě)成(x+(a+1))^2+(y-a/2)^2=(a+1/2)^2化簡(jiǎn)得x^2+2(a+1)x+y^2-ay+a^2/4-a-3/4=0根據(jù)題意可知，圓P與x軸相交于兩點(diǎn)M，N，因此解出方程x^2+2(a+1)x+y^2-ay+a^2/4-a-3/4=0和y=0的交點(diǎn)即可，即解方程組x^2+2(a+1)x+a^2/4-a-3/4=0y=0設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為(x1,0)和(x2,0)，則根據(jù)題意，直線(xiàn)與圓C相交于點(diǎn)A和B，且A、B、M三點(diǎn)共線(xiàn)，因此可以列出方程組y=kx(x-x1)^2+y^2=r^2(x-x2)^2+y^2=r^2解得A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)A、B、M三點(diǎn)共線(xiàn)的條件，解出k的值，即可判斷是否存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足條件。已知圓C的圓心為(1,0)，半徑為3，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)圓C上一點(diǎn)為E(x,y)，則CE的斜率為$\frac{y-0}{x-1}=\frac{22}{2-t}$，其中$t$為直線(xiàn)$l$的斜率，即$t=-\frac{1}{2}$?；?jiǎn)得$(x-1)+y=9$，即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-1)+y=9$。假設(shè)存在實(shí)數(shù)$a$，滿(mǎn)足$\angleANM=\angleBNM$，求$a$的值。設(shè)圓C的方程為$(x-1)+y=9$，則點(diǎn)M為(-1,0)，點(diǎn)N為$(-a-1,0)$。設(shè)直線(xiàn)AB的方程為$x=my-1$，則點(diǎn)A為$(my_1-1,y_1)$，點(diǎn)B為$(my_2-1,y_2)$