杭州第二中學2018-2019學年第一學期高二期中考試數(shù)學試題(解析版)

杭州第二中學2018-2019學年第一學期高二期中考試數(shù)學試題(解析版)杭州第二中學2018-2019學年第一學期高二期中考試數(shù)學試題一、選擇題1.過點(-1,-3)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為（）A.2x+y-1=0B.x-2y-5=0C.x-2y+7=0D.2x+y+5=0【答案】D【解析】易知直線x-2y+3=0的斜率為1/2，又由直線垂直的斜率關系可得所求直線的斜率為-2。因為所求直線過點(-1,-3)，所以y+3=-2(x+1)，故所求直線方程為2x+y+5=0。2.設m⊥α，α，β是兩個不同的平面，則“α⊥β”是“m//β”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】D【解析】已知α，β是兩個不同的平面，m⊥α，若“α⊥β”，則直線m與平面β可能平行，可能相交，可能垂直，也可能異面，故充分性不成立；反過來，若“m//β”，則平面α，β可能相交也可能平行，故必要性不成立；故“α⊥β”是“m//β”的既不充分也不必要條件。3.空間直角坐標系中，點A(1,2,3)關于平面xOy對稱的點為B，關于原點對稱的點為C，則B，C間的距離為（）A.5B.14C.25D.2√14【答案】C【解析】在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)關于平面xOy對稱點為B(1,2,-3)，點A(1,2,3)關于原點對稱點為C(-1,-2,-3)，則B，C間的距離為√[(1+1)^2+(2+2)^2+(-3+3)^2]=√25=5。4.若x，y滿足{x-y-1≥0x-3y+3≥0則z=2x+y的最大值為（）A.8B.9C.2D.1【答案】A【解析】依據(jù)題意畫出可行域，由圖可知z=x+2y在點A取到最大值，聯(lián)立{x-y-1=0x-3y+3=0解得x=3，y=2，故z=2x+y=8。5.下列說法的正確的是（）A.經過定點P(x,y)的直線的方程都可以表示為y-y=k(x-x)B.經過定點A(0,b)的直線的方程都可以表示為y=kx+bC.不經過原點的直線的方程都可以表示為xy=abD.經過任意兩個不同的點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線的方程都可以表示為(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)【答案】D=6。因此，約束條件可以轉化為2≤t≤6代入4x+3y≤12中得到4x+3(t-1)x+3(t-2)≤12化簡得x≤2t-6結合y≥x得到2t-6≤y≤t因此，x的取值范圍為2t-6≤x≤t代入2≤t≤6得到4≤x≤6因此，答案為B。6，故側面積為Sr5rr2r2r27r2，正方形ABCD的邊長為2r，四棱錐PABCD的高為h3r，底面積為S0(2r)24r2，故四棱錐的側面積為S1(3r)2(2r)22r27r2，所以總的側面積為SS17r227r2，代入S，得SS165.BC4，AB3，DE平面ABC，EF平面ABD，EF2，DE4，AF平面ADE，BF平面BDE，CF平面CDF，設外接球的半徑為R，則有AB2BC2AC26R2，DE2EF24R2，AF2AD2DF2(2R)2(3R)2，BF2BD2DF2(2R)2(4R)2，CF2CD2DF2(4R)2(3R)2.解得R3，外接球的體積為(4/3)R34030/27.已知三角形ABC，其中AB=1，BC=7。設三角形ABC的外心為H，三棱錐D-ABC的外接球的球心為O。則O在底面ABC內的射影為點H，即OH垂直于平面ABC（也即OH//DA）。根據(jù)余弦定理，有cos∠BAC=（2AB×AC）/（BC^2-AB^2-AC^2）=1/3。又因為OA=OD，所以OH=DA=1/2×√（2AB×AC×（1-cos∠BAC））=1/2。由此，OA=√（OH^2+AH^2）=√（1+（10/3）^2）=√（310）/3，即三棱錐D-ABC的外接球的半徑為√（310）/9。因此，所求的幾何體的外接球的體積為V=4/3×π×（√（310）/9）^3=31/3×π。18.設命題p：實數(shù)x滿足x^2-4ax+3a^2<0，命題q：實數(shù)x滿足x-3<1。（1）若a=1，若p，q同為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若a>0，且非p是非q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍。（1）由x^2-4ax+3a^2<0得（x-3a）（x-a）<0，當a=1時，1<x<3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍為1<x<3。由x-3<1得-1<x-3<1，得2<x<4，即q為真時實數(shù)x的取值范圍為2<x<4。因為p，q同為真命題，所以實數(shù)x的取值范圍為2<x<3。（2）由x^2-4ax+3a^2<0得（x-3a）（x-a）<0，非p為x^2-4ax+3a^2≥0，即（x-3a）（x-a）≥0，非q為x-3≥1，即x≥4或x≤2。設A={x|非p}，B={x|非q}，則A真包含于B。又A={x|非p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|非q}={x|x≤2或x≥4}，則4≤3a或a≤2/3，所以實數(shù)a的取值范圍為2/3≤a≤2。19.已知圓P經過點M(0,2)，N(3,1)，且圓心P在直線l:x-y=0上。（1）求圓P的方程；（2）過點Q(-1,2)的直線交圓P于A，B兩點，當AB=2√3時，求直線AB的方程。（1）設圓P的方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中r>0。由于圓心P在直線l上，所以a-b=0，即圓P的方程為x+y=4。（2）過點Q(-1,2)的直線的方程為y-2=k(x+1)，其中k為斜率。將直線代入圓P的方程，得x^2+(kx+k-2)^2=(x-2)^2+(kx-2)^2，整理得x=1/3，y=7/3或x=3，y=-1。因此，A、B兩點坐標分別為（1/3，7/3）和（3，-1）。由于AB=2√3，所以直線AB的斜率為-1/√3，過點（2，1/2），因此直線AB的方程為y-1/2=-1/√3(x-2)。（1）當圓C與直線l相切于點E時，直線l的斜率等于圓C在點E處的切線斜率，即-2m/1=m/2解得m=0，即圓C的圓心在x軸上，設圓C的半徑為r，則圓C的標準方程為x^2+y^2=r^2（2）圓P的方程可以寫成(x+(a+1))^2+(y-a/2)^2=(a+1/2)^2化簡得x^2+2(a+1)x+y^2-ay+a^2/4-a-3/4=0根據(jù)題意可知，圓P與x軸相交于兩點M，N，因此解出方程x^2+2(a+1)x+y^2-ay+a^2/4-a-3/4=0和y=0的交點即可，即解方程組x^2+2(a+1)x+a^2/4-a-3/4=0y=0設兩個交點分別為(x1,0)和(x2,0)，則根據(jù)題意，直線與圓C相交于點A和B，且A、B、M三點共線，因此可以列出方程組y=kx(x-x1)^2+y^2=r^2(x-x2)^2+y^2=r^2解得A、B的坐標，再根據(jù)A、B、M三點共線的條件，解出k的值，即可判斷是否存在實數(shù)a滿足條件。已知圓C的圓心為(1,0)，半徑為3，求圓C的標準方程。設圓C上一點為E(x,y)，則CE的斜率為$\frac{y-0}{x-1}=\frac{22}{2-t}$，其中$t$為直線$l$的斜率，即$t=-\frac{1}{2}$。化簡得$(x-1)+y=9$，即圓C的標準方程為$(x-1)+y=9$。假設存在實數(shù)$a$，滿足$\angleANM=\angleBNM$，求$a$的值。設圓C的方程為$(x-1)+y=9$，則點M為(-1,0)，點N為$(-a-1,0)$。設直線AB的方程為$x=my-1$，則點A為$(my_1-1,y_1)$，點B為$(my_2-1,y_2)$