2022-2023學年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學八年級（下）期中數(shù)學試卷含解析

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一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.若，則下列不等式不一定成立的是()

A.B.C.D.

3.等腰三角形的其中一個角為，則它的頂角度數(shù)為()

A.B.C.或D.或

4.下列因式分解正確的是()

A.B.

C.D.

5.已知，，則的度數(shù)是()

A.B.C.D.

6.使有意義的實數(shù)的取值范圍是()

A.B.且C.且D.且

7.在直角坐標平面內，一次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是()

A.當時，

B.方程的解是

C.當時，

D.不等式的解集是

8.一個正多邊形，它的一個外角等于與它相鄰的內角的，則這個多邊形是()

A.正十二邊形B.正十邊形C.正八邊形D.正六邊形

9.如圖，在中，，，直線，頂點在直線上，直線交于點，交于點，若，則的度數(shù)是()

A.

B.

C.

D.

10.四邊形的四個頂點坐標分別為、、、，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.分解因式：______．

12.若分式的值為，則．

13.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”若等腰是“倍長三角形”，底邊的長為，則腰的長為．

14.如圖，在中，按以下步驟作圖：分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和；作直線交邊于點若，，，則的長為______．

15.如圖，正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，與相交于點，延長交于點若正方形邊長為，則______．

16.如圖，中，，點在邊上，，，延長至點，使，過點作于點，則______．

三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）

17.解不等式組：

四、解答題（本大題共8小題，共76.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.本小題分

把下列各式因式分解：

；

．

19.本小題分

先化簡，再求值：，其中．

20.本小題分

在中，，、分別是、的中點，延長到點，使，連接、、、，與交于點．

試說明與互相平分；

若，，求的長．

21.本小題分

如圖，各頂點的坐標分別為，，．

將向上平移個單位，再向右平移個單位，得到，畫出平移后的圖形，并寫出平移后對應頂點的坐標；

點到直線的距離______；

將繞著點順時針旋轉，畫出旋轉后的．

22.本小題分

甲、乙兩家商場以相同的價格出售同樣的商品，為了促進消費，商場推出不同的優(yōu)惠方案：

甲商場的優(yōu)惠方案：購物花費累計超過元后，超出元部分按付費；

乙商場的優(yōu)惠方案：購物花費按付費．

若某顧客準備購買標價為元的商品，則在甲商場購物花費______元，乙商場購物花費______元；

若某顧客準備購買標價為元的商品，顧客到哪家商場購物花費少？

乙商場為了吸引顧客，采取了進一步的優(yōu)惠方案：不超過元，仍按付費；超過元后，超出元部分按付費，甲商場沒有調整優(yōu)惠方案，請直接寫出顧客選擇甲商場購物花費少時的取值范圍．

23.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點為軸上一動點，點在直線上，且滿足軸，連接、．

當、、三點在一條直線上，在圖中畫出滿足題意的圖形，并求出此時點的坐標；

在的條件下，點為平面內任意一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點坐標；

當最小時，點坐標為______．

24.本小題分

已知等邊和等腰，，．

如圖，點在上，點在上，是的中點，連接，，則線段與之間的數(shù)量關系為______；

如圖，點在內部，點在外部，是的中點，連接、，則中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

如圖，若點在內部，點和點重合，點在下方，且，則的最大值為______．

25.本小題分

如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)交軸，軸于，，點在軸正半軸上，以、為邊作平行四邊形，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿軸正方向移動，記點運動時間為秒．

直接寫出點的坐標______，______；

若，連接，是的中點，連接并延長交直線于點，

直接寫出當為何值時，四邊形為平行四邊形；

直接寫出當為何值時，為等腰三角形

若，連接，作關于的對稱點，恰好落在平行四邊形的邊上，則______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．

故選：．

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉度后與原圖重合．

2.【答案】

【解析】解：若，則，原變形成立，故本選項不符合題意；

B.若，則，原變形成立，故本選項不符合題意；

C.若，不妨設，，則，原變形不成立，故本選項符合題意；

D.若，則，原變形成立，故本選項不符合題意；

故選：．

根據(jù)不等式的性質分別進行判斷，即可求出答案．不等式的基本性質：不等式兩邊加或減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

此題考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵．

3.【答案】

【解析】解：當角為頂角時，頂角度數(shù)為；

當為底角時，頂角．

故選：．

分兩種情況討論：當角為頂角；當為底角．

本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．

4.【答案】

【解析】

【分析】

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．各項利用提取公因式法及公式法分解得到結果，即可作出判斷．

【解答】

解：原式不能分解，錯誤；

B.原式不能分解，錯誤；

C.原式，正確；

D.原式，錯誤，

故選C．

5.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，

，

，

，

故選：．

由平行四邊形的性質得出，，求出，即可得出答案．

本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的對角相等、鄰角互補是解題的關鍵．

6.【答案】

【解析】解：由題意，得，，

解得且．

故選：．

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于即可得出答案．

本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件：分母不等于是解題的關鍵．

7.【答案】

【解析】解：由函數(shù)的圖象可知，

當時，，選項錯誤，不符合題意；

方程的解是，選項錯誤，不符合題意；

當時，，故C正確，符合題意；

不等式的解集是，故D錯誤，不符合題意．

故選：．

根據(jù)函數(shù)的圖象直接進行解答即可．

本題考查的是一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．

8.【答案】

【解析】解：設外角為，

由題意得，，

解得，

，

所以，這個多邊形是正十邊形．

故選：．

設外角為，根據(jù)外角和與它相鄰的內角為鄰補角列方程求出，再根據(jù)外角和等于列式計算即可得解．

本題考查了多邊形內角與外角，根據(jù)相鄰的內角和外角互為鄰補角列出方程是解題的關鍵．

9.【答案】

【解析】解：，且，

，

在中，

，

，

，

，

故選：．

先根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和可得，由三角形外角的性質可得的度數(shù)，由平行線的性質可得同位角相等，可得結論．

本題主要考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，三角形的內角和外角和性質，題目比較基礎，熟練掌握性質是解題的關鍵．

10.【答案】

【解析】解：，，，，

，

又，，

，

四邊形是平行四邊形，

，，

平行四邊形的中心的坐標是，

直線將四邊形分成面積相等的兩部分，

直線過中心，

，

解得．

故選：．

根據(jù)點的坐標可以判定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)直線把四邊形的面積分成相等的兩部分可知直線必過平行四邊形的中心，然后利用待定系數(shù)法求解即可．

本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，坐標與圖形的性質，根據(jù)點的坐標判定出四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．

11.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

將變形后看作一個整體提取公因式即可分解．

本題考查因式分解中的提取公因式，整體思想是解本題的關鍵．

12.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．分式的值為的條件是：分子為；分母不為兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．

【解答】

解：由分式的值為，得

且，

解得且，

．

故答案為：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查等腰三角形的性質，三角形三邊關系，涉及新定義，解題的關鍵是分類思想的應用及掌握三角形任意兩邊的和大于第三邊．

由等腰是“倍長三角形”，可知或，若，可得的長為；若，因，故此時不能構成三角形，這種情況不存在，即可得出答案．

【解答】

解：等腰是“倍長三角形”，

或，

若，則三邊分別是，，，符合題意，

腰的長為；

若，則，三邊分別是，，，

，

此時不能構成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰的長是，

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：設交于，連接，如圖：

由作圖可知：是線段的垂直平分線，

所以，

所以，

所以，

所以，

在中，

，

所以，

故答案為：．

分析：

設交于，連接，由作圖可知：是線段的垂直平分線，即得，有，從而，由勾股定理得，故AB．

本題考查尺規(guī)作圖中的計算問題，解題的關鍵是掌握用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法，得到是線段的垂直平分線．

15.【答案】

【解析】解：連接，如圖所示：

四邊形和四邊形是正方形，

，

由旋轉的性質得：，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

在中，，

，

，

故答案為：．

連接，由正方形的性質得出，由旋轉的性質得：，，得出，由證明≌，得出，，由三角函數(shù)求出，得出、，再求出，即可求出．

本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉的性質和正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．

16.【答案】

【解析】解：如圖，過點作于，

，，，

，，

，且，，

，且，，

≌

，

故答案為：．

過點作于，由直角三角形的性質可求，由“”可證≌，可得．

本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．

17.【答案】解：，

解不等式得，

解不等式得．

故原不等式組的解集是．

【解析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．

本題考查解一元一次不等式組，解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．

18.【答案】解：

；

．

．

【解析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，可采用平方差公式繼續(xù)分解；

此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，可采用完全平方公式繼續(xù)分解．

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．

19.【答案】解：

，

當時，原式．

【解析】先把除法轉化為乘法，同時將分式的分子分母分解因式，然后約分，最后將的值代入化簡后的式子計算即可．

本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．

20.【答案】解：、分別是、的中點，

是的中位線，

且．

又，即，

，，

四邊形是平行四邊形，

與互相平分；

在中，，，，

由勾股定理得

又由知，，且，

．

在中，，，，

由勾股定理得．

【解析】結合已知條件推知四邊形是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對角線互相平分；

根據(jù)勾股定理求得的長度，然后由平行四邊形的性質和勾股定理來求的長度．

本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

21.【答案】

【解析】解：如圖，即為所求．

，，．

設點到直線的距離為，

，，

，

解得．

故答案為：．

如圖，即為所求．

根據(jù)平移的性質作圖，即可得出答案．

利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可．

根據(jù)旋轉的性質作圖即可．

本題考查作圖平移變換、旋轉變換、點到直線的距離，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質、點到直線的距離是解答本題的關鍵．

22.【答案】

【解析】解：在甲商場購買所需費用為元；

在乙商場購買所需費用為元．

故答案為：，；

，解得：；

，解得：；

當時，顧客在甲、乙商場購物花費相等；

當時，顧客在甲商場購物花費少；

當時，顧客在乙商場購物花費少；

當時，由題意得，

解得，

由得，當時，顧客在甲商場購物花費少；

當時，顧客在甲商場購物花費少．

根據(jù)甲乙的促銷方案進行解答即可；

根據(jù)中表示出在甲乙兩商場的花費列出不等式，分情況討論，即可求解；

當時，由題意列出一元一次不等式，即可求解．

本題考查了列代數(shù)式、一元一次不等式的應用、一元一次方程的應用以及分類討論等知識，解答本題的關鍵是：正確列出代數(shù)式；找出數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式或一元一次方程；找出數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式．

23.【答案】

【解析】解：滿足條件的圖形如下：

設直線的表達式為：，

將點的坐標代入上式得：，則，

則直線的表達式為：，

令，則，

則點；

設點，

當是對角線時，由中點坐標公式得：

，解得：，

即點的坐標為：；

當或為對角線時，同理可得：

或，

解得：，

則點的坐標為：或；

綜上，點的坐標為：或或；

將點向下平移個單位得到點，連接交直線于點，過點作軸于點，則此時，最小，

理由：，，

則四邊形為平行四邊形，則，

為最小，

由點、的坐標得，直線的表達式為：，

當時，則，

即點的坐標為：．

故答案為：．

根據(jù)題意即可畫圖；用待定系數(shù)法求出直線的表達式，進而求解；

當是對角線時，由中點坐標公式列出方程組，即可求解；當或為對角線時，同理可解；

將點向下平移個單位得到點，連接交直線于點，過點作軸于點，則此時，最小，進而求解．

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質、平行四邊形的性質、圖形的平移等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．

24.【答案】

【解析】解：結論：理由如下：

如圖中，

是等邊三角形，

，

，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

故答案為：；

仍然成立．理由如下：

延長到，使得，連接，，延長到，使得，連接，，．

，，

是等邊三角形，

，，，

，

≌，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

．

如圖中，作，且，連接，．

，，，

，

≌，

，

，

，，共線時，定值最大，此時的值最大，

此時，，

作交于點，

在中，，

，

解得：．

的最大值為．

故答案為：．

結論：利用直角三角形度角的性質解決問題即可．

結論成立．延長到，使得，連接，，延長到，使得，連接，，證明≌，推出，再證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形即可解決問題．

如圖中，作，且，連接，證明≌，推出，由，推出，，共線時，定值最大，此時的值最大．

本題屬于三角形專題，考查了等邊三角形的性質和判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造