2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.若，則下列不等式不一定成立的是()

A.B.C.D.

3.等腰三角形的其中一個(gè)角為，則它的頂角度數(shù)為()

A.B.C.或D.或

4.下列因式分解正確的是()

A.B.

C.D.

5.已知，，則的度數(shù)是()

A.B.C.D.

6.使有意義的實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.且C.且D.且

7.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是()

A.當(dāng)時(shí)，

B.方程的解是

C.當(dāng)時(shí)，

D.不等式的解集是

8.一個(gè)正多邊形，它的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的，則這個(gè)多邊形是()

A.正十二邊形B.正十邊形C.正八邊形D.正六邊形

9.如圖，在中，，，直線，頂點(diǎn)在直線上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是()

A.

B.

C.

D.

10.四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.分解因式：______．

12.若分式的值為，則．

13.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”若等腰是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊的長(zhǎng)為，則腰的長(zhǎng)為．

14.如圖，在中，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和；作直線交邊于點(diǎn)若，，，則的長(zhǎng)為______．

15.如圖，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)若正方形邊長(zhǎng)為，則______．

16.如圖，中，，點(diǎn)在邊上，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則______．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）

17.解不等式組：

四、解答題（本大題共8小題，共76.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.本小題分

把下列各式因式分解：

；

．

19.本小題分

先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

20.本小題分

在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)．

試說明與互相平分；

若，，求的長(zhǎng)．

21.本小題分

如圖，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

將向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位，得到，畫出平移后的圖形，并寫出平移后對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

點(diǎn)到直線的距離______；

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的．

22.本小題分

甲、乙兩家商場(chǎng)以相同的價(jià)格出售同樣的商品，為了促進(jìn)消費(fèi)，商場(chǎng)推出不同的優(yōu)惠方案：

甲商場(chǎng)的優(yōu)惠方案：購(gòu)物花費(fèi)累計(jì)超過元后，超出元部分按付費(fèi)；

乙商場(chǎng)的優(yōu)惠方案：購(gòu)物花費(fèi)按付費(fèi)．

若某顧客準(zhǔn)備購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品，則在甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)______元，乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)______元；

若某顧客準(zhǔn)備購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品，顧客到哪家商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

乙商場(chǎng)為了吸引顧客，采取了進(jìn)一步的優(yōu)惠方案：不超過元，仍按付費(fèi)；超過元后，超出元部分按付費(fèi)，甲商場(chǎng)沒有調(diào)整優(yōu)惠方案，請(qǐng)直接寫出顧客選擇甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少時(shí)的取值范圍．

23.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足軸，連接、．

當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上，在圖中畫出滿足題意的圖形，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

在的條件下，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；

當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為______．

24.本小題分

已知等邊和等腰，，．

如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，連接，，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系為______；

如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，是的中點(diǎn)，連接、，則中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

如圖，若點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)和點(diǎn)重合，點(diǎn)在下方，且，則的最大值為______．

25.本小題分

如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)交軸，軸于，，點(diǎn)在軸正半軸上，以、為邊作平行四邊形，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿軸正方向移動(dòng)，記點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______，______；

若，連接，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，

直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形；

直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形

若，連接，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，恰好落在平行四邊形的邊上，則______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．

故選：．

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．

本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．

2.【答案】

【解析】解：若，則，原變形成立，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.若，則，原變形成立，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.若，不妨設(shè)，，則，原變形不成立，故本選項(xiàng)符合題意；

D.若，則，原變形成立，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可求出答案．不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．

此題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：當(dāng)角為頂角時(shí)，頂角度數(shù)為；

當(dāng)為底角時(shí)，頂角．

故選：．

分兩種情況討論：當(dāng)角為頂角；當(dāng)為底角．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】

【分析】

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．各項(xiàng)利用提取公因式法及公式法分解得到結(jié)果，即可作出判斷．

【解答】

解：原式不能分解，錯(cuò)誤；

B.原式不能分解，錯(cuò)誤；

C.原式，正確；

D.原式，錯(cuò)誤，

故選C．

5.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，

，

，

，

故選：．

由平行四邊形的性質(zhì)得出，，求出，即可得出答案．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：由題意，得，，

解得且．

故選：．

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于即可得出答案．

本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義的條件：分母不等于是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：由函數(shù)的圖象可知，

當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

方程的解是，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，故C正確，符合題意；

不等式的解集是，故D錯(cuò)誤，不符合題意．

故選：．

根據(jù)函數(shù)的圖象直接進(jìn)行解答即可．

本題考查的是一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：設(shè)外角為，

由題意得，，

解得，

，

所以，這個(gè)多邊形是正十邊形．

故選：．

設(shè)外角為，根據(jù)外角和與它相鄰的內(nèi)角為鄰補(bǔ)角列方程求出，再根據(jù)外角和等于列式計(jì)算即可得解．

本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)相鄰的內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角列出方程是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：，且，

，

在中，

，

，

，

，

故選：．

先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得，由三角形外角的性質(zhì)可得的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得同位角相等，可得結(jié)論．

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和外角和性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：，，，，

，

又，，

，

四邊形是平行四邊形，

，，

平行四邊形的中心的坐標(biāo)是，

直線將四邊形分成面積相等的兩部分，

直線過中心，

，

解得．

故選：．

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可以判定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)直線把四邊形的面積分成相等的兩部分可知直線必過平行四邊形的中心，然后利用待定系數(shù)法求解即可．

本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判定出四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

將變形后看作一個(gè)整體提取公因式即可分解．

本題考查因式分解中的提取公因式，整體思想是解本題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．分式的值為的條件是：分子為；分母不為兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．

【解答】

解：由分式的值為，得

且，

解得且，

．

故答案為：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用及掌握三角形任意兩邊的和大于第三邊．

由等腰是“倍長(zhǎng)三角形”，可知或，若，可得的長(zhǎng)為；若，因，故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在，即可得出答案．

【解答】

解：等腰是“倍長(zhǎng)三角形”，

或，

若，則三邊分別是，，，符合題意，

腰的長(zhǎng)為；

若，則，三邊分別是，，，

，

此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，腰的長(zhǎng)是，

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：設(shè)交于，連接，如圖：

由作圖可知：是線段的垂直平分線，

所以，

所以，

所以，

所以，

在中，

，

所以，

故答案為：．

分析：

設(shè)交于，連接，由作圖可知：是線段的垂直平分線，即得，有，從而，由勾股定理得，故AB．

本題考查尺規(guī)作圖中的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是掌握用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法，得到是線段的垂直平分線．

15.【答案】

【解析】解：連接，如圖所示：

四邊形和四邊形是正方形，

，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

在中，，

，

，

故答案為：．

連接，由正方形的性質(zhì)得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，得出，由證明≌，得出，，由三角函數(shù)求出，得出、，再求出，即可求出．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，

，，，

，，

，且，，

，且，，

≌

，

故答案為：．

過點(diǎn)作于，由直角三角形的性質(zhì)可求，由“”可證≌，可得．

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：，

解不等式得，

解不等式得．

故原不等式組的解集是．

【解析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．

本題考查解一元一次不等式組，解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．

18.【答案】解：

；

．

．

【解析】此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察，可采用平方差公式繼續(xù)分解；

此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察，可采用完全平方公式繼續(xù)分解．

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．

19.【答案】解：

，

當(dāng)時(shí)，原式．

【解析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，同時(shí)將分式的分子分母分解因式，然后約分，最后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．

本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：、分別是、的中點(diǎn)，

是的中位線，

且．

又，即，

，，

四邊形是平行四邊形，

與互相平分；

在中，，，，

由勾股定理得

又由知，，且，

．

在中，，，，

由勾股定理得．

【解析】結(jié)合已知條件推知四邊形是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；

根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來求的長(zhǎng)度．

本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

21.【答案】

【解析】解：如圖，即為所求．

，，．

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，

，，

，

解得．

故答案為：．

如圖，即為所求．

根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案．

利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．

本題考查作圖平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離是解答本題的關(guān)鍵．

22.【答案】

【解析】解：在甲商場(chǎng)購(gòu)買所需費(fèi)用為元；

在乙商場(chǎng)購(gòu)買所需費(fèi)用為元．

故答案為：，；

，解得：；

，解得：；

當(dāng)時(shí)，顧客在甲、乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)相等；

當(dāng)時(shí)，顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少；

當(dāng)時(shí)，顧客在乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少；

當(dāng)時(shí)，由題意得，

解得，

由得，當(dāng)時(shí)，顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少；

當(dāng)時(shí)，顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少．

根據(jù)甲乙的促銷方案進(jìn)行解答即可；

根據(jù)中表示出在甲乙兩商場(chǎng)的花費(fèi)列出不等式，分情況討論，即可求解；

當(dāng)時(shí)，由題意列出一元一次不等式，即可求解．

本題考查了列代數(shù)式、一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及分類討論等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是：正確列出代數(shù)式；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式或一元一次方程；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

23.【答案】

【解析】解：滿足條件的圖形如下：

設(shè)直線的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，則，

則直線的表達(dá)式為：，

令，則，

則點(diǎn)；

設(shè)點(diǎn)，

當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

，解得：，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為：；

當(dāng)或?yàn)閷?duì)角線時(shí)，同理可得：

或，

解得：，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或；

將點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則此時(shí)，最小，

理由：，，

則四邊形為平行四邊形，則，

為最小，

由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，則，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為：．

故答案為：．

根據(jù)題意即可畫圖；用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，進(jìn)而求解；

當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或?yàn)閷?duì)角線時(shí)，同理可解；

將點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則此時(shí)，最小，進(jìn)而求解．

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．

24.【答案】

【解析】解：結(jié)論：理由如下：

如圖中，

是等邊三角形，

，

，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

故答案為：；

仍然成立．理由如下：

延長(zhǎng)到，使得，連接，，延長(zhǎng)到，使得，連接，，．

，，

是等邊三角形，

，，，

，

≌，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

．

如圖中，作，且，連接，．

，，，

，

≌，

，

，

，，共線時(shí)，定值最大，此時(shí)的值最大，

此時(shí)，，

作交于點(diǎn)，

在中，，

，

解得：．

的最大值為．

故答案為：．

結(jié)論：利用直角三角形度角的性質(zhì)解決問題即可．

結(jié)論成立．延長(zhǎng)到，使得，連接，，延長(zhǎng)到，使得，連接，，證明≌，推出，再證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形即可解決問題．

如圖中，作，且，連接，證明≌，推出，由，推出，，共線時(shí)，定值最大，此時(shí)的值最大．

本題屬于三角形專題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造