高中數(shù)學(xué)北師大版二學(xué)案：第一章 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí) 4.2 空間圖形的公理（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)4．2空間圖形的公理（一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過長(zhǎng)方體這一常見的空間圖形，體會(huì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。2.會(huì)用符號(hào)表達(dá)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個(gè)公理及其推論．知識(shí)點(diǎn)一空間圖形的基本位置關(guān)系對(duì)于長(zhǎng)方體有12條棱和6個(gè)面．思考112條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系?思考3六個(gè)面之間有哪幾種位置關(guān)系．梳理位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)A在直線a外A?a點(diǎn)B在直線a上B∈a點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)B在平面α外B?α直線與直線的位置關(guān)系平行a∥b相交異面a與b異面直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)線面相交線面平行平面與平面的位置關(guān)系面面平行面面相交異面直線不同在____________________的兩條直線,叫作異面直線知識(shí)點(diǎn)二空間圖形的公理思考1照相機(jī)支架只有三個(gè)腳支撐說(shuō)明什么?思考2一把直尺兩端放在桌面上,直尺在桌面上嗎?思考3教室的墻面與地面有公共點(diǎn),這些公共點(diǎn)有什么規(guī)律？梳理(1）空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用公理1如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上__________都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在______內(nèi))________，________，且______，________?lα用來(lái)證明直線在平面內(nèi)公理2過______________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面）A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α用來(lái)確定一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條__________________________，________?α∩β＝l，且P∈l用來(lái)證明空間的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面(圖①)．推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面（圖②）．推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面(圖③）．類型一文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．（1）點(diǎn)P與直線AB;（2）點(diǎn)C與直線AB；（3)點(diǎn)M與平面AC；（4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；（6)直線AB與平面AC;（7）平面A1B與平面AC。反思與感悟（1）用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．（2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句,并畫成圖形．(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點(diǎn)A，B；(2）直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點(diǎn)P;(3）直線l既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)；（4）直線l是平面α與β的交線,平面α內(nèi)有一條直線m與l平行．類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用eq\x(命題角度1點(diǎn)線共面問題)例2如圖,已知：aα，bα,a∩b＝A,P∈b，PQ∥a，求證：PQα.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．反思與感悟在證明多線共面時(shí),可用下面的兩種方法來(lái)證明：(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)．(2）重合法:先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合．跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A,l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證:直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．eq\x（命題角度2點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題)例3如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn)．求證：CE、D1F，DA三線交于一點(diǎn)．反思與感悟（1)點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．(2）三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q,AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．1。用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外"，正確的是（)A。A∈l，l?α B。A∈l，lαC.Al，l?α D.Al，lα2．滿足下列條件，平面α∩平面β＝AB，直線aα，直線bβ且a∥AB，b∥AB的圖形是(）3．下列推理錯(cuò)誤的是（)A．A∈l，A∈α，B∈l,B∈α?lαB．A∈α,A∈β，B∈α,B∈β?α∩β＝ABC.lα，A∈l?A?αD．A，B,C∈α,A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合4．如圖，α∩β＝l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M5．如圖，在△ABC中，若AB，BC在平面α內(nèi)，判斷AC是否在平面α內(nèi)．1．解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語(yǔ)言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖形語(yǔ)言,將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ)言描述出來(lái),再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言．文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛．2．在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用,突出先部分再整體的思想．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1相交，平行，既不平行也不相交．思考2棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交．思考3平行和相交．梳理a∩b＝Oaαa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a任何一個(gè)平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)二思考1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．思考2直尺在桌面上．思考3這些公共點(diǎn)在同一直線上．梳理(1)兩點(diǎn)所有的點(diǎn)平面A∈lB∈lA∈αB∈α不在一條直線上通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線P∈αP∈β題型探究例1解（1）點(diǎn)P∈直線AB.（2)點(diǎn)C?直線AB。（3)點(diǎn)M∈平面AC.（4)點(diǎn)A1?平面AC。（5）直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B。(6)直線AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB。跟蹤訓(xùn)練1解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如圖．（2）lα，P∈l，P∈α。如圖（3)lα，lβ。如圖．(4）α∩β＝l，mα，m∥l。如圖．例2證明因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β，所以直線aβ，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，bα,所以P∈α。又因?yàn)閍α，所以α與β重合，所以PQα.引申探究解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C。求證：a，b，c和l共面．證明：如圖,∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A,l∩b＝B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l,B∈l，∴l(xiāng)α?！遙∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β，同理lβ.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推論知:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面．跟蹤訓(xùn)練2證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α,∴B∈α。同理可證C∈α?！連∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α。∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二（輔助平面法）∵l1∩l2＝A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α?！遧2∩l3＝B,∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β?！逜∈l2,l2α，∴A∈α?！逜∈l2，l2β，∴A∈β。同理可證B∈α，B∈β,C∈α，C∈β?！嗖还簿€的三個(gè)點(diǎn)A,B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1,l2，l3在同一平面內(nèi)．例3證明如圖，連接EF,D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2）A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f（1,2）D1C，∴E,F,D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P。又∵D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理3,可得P∈DA,即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3證明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α。又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點(diǎn)共線．方法二∵AP∩AR＝A,∴直線AP與直線AR確定平面APR。又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R,∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR，∴BC