重積分-二重積分的計算（高等數(shù)學(xué)課件）

在極坐標(biāo)下二重積分的計算重積分知識點講解變換公式一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩變換公式

如圖所示的極坐標(biāo)系中的積分區(qū)域

，過極點

引射線和以極點為圓心的同心圓，它們將區(qū)域分成許多除去含有邊界點的小區(qū)域，其余小區(qū)域的面積為：變換公式在圓周上任取一點，其中設(shè)其直角坐標(biāo)為，它們的關(guān)系為所以變換公式因此此公式可將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分，其中為極坐標(biāo)系中的面積元素。極坐標(biāo)下的二重積分計算法極點在區(qū)域

外，如圖：則D極坐標(biāo)下的二重積分計算法極點在區(qū)域

的邊界上，如圖:D則極坐標(biāo)下的二重積分計算法（3）極點在區(qū)域

內(nèi)，如圖：θ則極坐標(biāo)下的二重積分計算法一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩將積分區(qū)域

用極坐標(biāo)變量

表示成如下形式例題講解計算，其中

：

解：積分區(qū)域是如圖所示的環(huán)域，用極坐標(biāo)計算方便。o12因而例題講解計算，其中解：積分區(qū)域是如圖所示的圓域。則oDθ2例題講解其中極坐標(biāo)計算二重積分的原則一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡單(含,為實數(shù)).課程小結(jié)本講主要講二重積分由直角坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)變量的變換公式。主要講了三種情形中極坐標(biāo)系下二重積分的計算。直角坐標(biāo)系中二重積分的計算（二）重積分知識點講解X型區(qū)域和Y型區(qū)域稱平面點集

為

型區(qū)域(圖(a))

這區(qū)域的特點是:當(dāng)

為

型區(qū)域時,垂直于軸的直線至多與區(qū)域

的邊界交于兩點;X型區(qū)域和Y型區(qū)域當(dāng)

為

型區(qū)域時,直線至多與的邊界交于兩點.為

型區(qū)域(圖(b)).稱平面點集在X型或Y型區(qū)域下的計算若在如(1)式所示的

型區(qū)域

上連續(xù),其中在上連續(xù),則即二重積分可化為先對

、后對

的累次積分.在X型或Y型區(qū)域下的計算圖c證由于與在閉區(qū)間上連續(xù),故存在矩形區(qū)域(如圖c).現(xiàn)作一定義在上的函數(shù)容易知道函數(shù)在上可積,而且在X型或Y型區(qū)域下的計算若在(2)式所示的

型區(qū)域上連續(xù),

在上連續(xù),則二重積分可化為先對

、后對

的累次積分例題講解設(shè)

是由直線及圍成的區(qū)域(圖d),試計算:的值.解若用先對

、后對的積分,則有由于的原函數(shù)無法求得,因此改用另一種順序的累次積分來計算:圖d例題講解例題講解

為型區(qū)域圖e課程小結(jié)本講主要講了X型區(qū)域和Y型區(qū)域的區(qū)分，通過例題學(xué)習(xí)在兩種區(qū)域下二重積分轉(zhuǎn)化成累次積分的計算方法。直角坐標(biāo)系中二重積分的計算（三）重積分知識點講解1.一般型區(qū)域1.二元極限定義

邊界為分段光滑曲線的有界閉域,一般可把它分解成有限個除邊界外無公共內(nèi)點的型區(qū)域或

型區(qū)域.

如圖a所示,被分解成三個區(qū)域,其中、為型區(qū)域,為

型區(qū)域.圖a1.二元函數(shù)極限2.例題分析例1

圖b

設(shè)

為上的連續(xù)函數(shù),試將二重積分

化為不同順序的累次積分.1.二元函數(shù)極限2.例題分析

解(1)先對積分,再對積分.(見圖b),其中為此設(shè)圖b所以有

1.二元函數(shù)極限2.例題分析

(2)先對積分,再對積分.為此設(shè)

(見圖c)圖c類似的有：計算1.二元函數(shù)極限2.例題分析

例2計算其中畫出區(qū)域圖(見圖d)圖d解1.二元函數(shù)極限2.例題分析

則又有2.例題分析例3

圖e及所圍的三角形區(qū)域(圖e).計算二重積分其中為由直線1.二元函數(shù)極限2.例題分析

解：

當(dāng)把看作

型區(qū)域時,相應(yīng)的圖e所以課程小結(jié)本講主要講解了一般區(qū)域如何化成X型區(qū)域和Y型區(qū)域來計算二重積分直角坐標(biāo)系中二重積分的計算（一）重積分知識點講解1.預(yù)備知識1.二元極限定義D

當(dāng)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)時，我們可以用特定的分割來解決定積分的計算。

根據(jù)二重積分的幾何意義：二重積分是以為頂?shù)那斨w的體積。故可以考慮用定積分應(yīng)用求平行截面面積為已知的立體的體積的方法。

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域

，故二重積分可寫為則面積元素為1.預(yù)備知識1.二元極限定義

已知平行截面面積的立體的體積1.預(yù)備知識1.二元極限定義故曲頂柱體體積為截面積為從而D曲頂柱體的底為任取，平面截柱體的設(shè)曲頂柱體的頂為1.二元函數(shù)極限2.在矩形區(qū)域上二重積分的計算定理1

設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,則累次積分也存在,且1.二元函數(shù)極限2.在矩形區(qū)域上二重積分的計算定理2

設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,則累次積分也存在,且1.二元函數(shù)極限2.在矩形區(qū)域上二