浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)2.7.1 勾股定理素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)2.7.1勾股定理素養(yǎng)提升練（含解析）第2章特殊三角形

2.7探索勾股定理

第1課時(shí)勾股定理

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

1.(2022浙江杭州英特外國語學(xué)校期中)如圖,在四邊形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,則AB=

()

A.20B.25C.35D.30

2.【教材變式·P75T3】在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,則△ABC的面積為()

A.12B.14C.18D.20

3.【易錯(cuò)題】(2023浙江寧波海曙雅戈?duì)栔袑W(xué)期中)已知Rt△ABC的兩邊長為5和12,則其斜邊上的中線長為.

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

4.【新情境·木馬秋千】(2023浙江金華武義實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千,繩索AB的長為5米,若將它往水平方向推進(jìn)3米(即DE=3米),且繩索保持拉直的狀態(tài),則此時(shí)木馬上升的高度為()

A.1米B.米C.2米D.4米

5.【教材變式·P75T4】已知,如圖,一輪船以16海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行,另一輪船以12海里/小時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行,離開港口2小時(shí)后,兩船相距()

A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里

6.(2023浙江溫州瑞安六校聯(lián)考)如圖,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,以A為圓心,AB長為半徑畫弧,交網(wǎng)格線于點(diǎn)D,則ED的長為.

能力提升全練

7.【新課標(biāo)例82變式】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理,其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中,不能證明勾股定理的是()

ABCD

8.【新考法】(2023浙江金華東陽期中,9,★★☆)數(shù)形結(jié)合是重要的思想和解題方法,如:“當(dāng)0<x<12時(shí),求代數(shù)式+的最小值”,如圖,可看做兩直角邊長分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長,可看做兩直角邊長分別是12-x和3的Rt△BDP的斜邊長.于是將問題轉(zhuǎn)化為求AP+BP的最小值,易知當(dāng)AP與BP共線時(shí),AP+BP的值最小.請(qǐng)你解決問題:當(dāng)0<x<4時(shí),代數(shù)式+的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

9.【數(shù)學(xué)文化】(2022湖北黃岡中考,15,★★☆)勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》中:“勾廣三,股修四,徑隅五.”觀察下列勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是勾為奇數(shù),弦與股相差1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù),弦與股相差2的一類勾股數(shù),如:6,8,10;8,15,17;……,若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3,m為正整數(shù)),則其弦是(結(jié)果用含m的式子表示).

10.如圖①,直角三角形紙片的一條直角邊長為5,剪四塊這樣的直角三角形紙片,把它們按圖②所示的方式放入一個(gè)邊長為13的正方形中(紙片在結(jié)合部分不重疊無縫隙),則圖②中陰影部分的面積為.

圖①圖②

11.【方程思想】(2022浙江麗水中考,22,★★☆)如圖,將長方形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,折痕為EF.

(1)求證:△PDE≌△CDF;

(2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的長.

素養(yǎng)探究全練

12.【運(yùn)算能力】(2023浙江杭州十三中教育集團(tuán)檢測)在△ABC中,AB=AC,D是射線BC上一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若D是BC邊的中點(diǎn),求證:DE=DF;

(2)過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G.

①如圖2,若D是BC邊上任意一點(diǎn),求證:BG=DE+DF;

②若點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn),AB=5,BC=6,DF=2,求DE的長.

圖1圖2

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.B在Rt△ADC中,AD=16,CD=12,AC2=AD2+CD2,∴AC=20,在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2,∴AB=25.故選B.

2.A如圖,過A作AD⊥BC于D,∵AB=AC=5,BC=8,

∴CD=BD=4,∵AD2=AC2-CD2,∴AD=3,

∴S△ABC=BC·AD=×8×3=12.故選A.

3.答案6.5或6

解析運(yùn)用勾股定理求邊長時(shí)易忽略分類討論.如圖,

當(dāng)AC=5,BC=12時(shí),∵AB2=52+122,∴AB=13,∵CD是斜邊AB上的中線,∴CD=AB=6.5;當(dāng)AC=5,AB=12時(shí),∵CD是斜邊AB上的中線,∴CD=AB=6,故答案為6.5或6.

4.A過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,根據(jù)題意得AC=AB=5米,CF=DE=3米,由勾股定理得AF2=AC2-CF2,∴AF=4米,∴BF=AB-AF=5-4=1(米),∴木馬上升的高度為1米.故選A.

5.C如圖,連結(jié)BC,由題意得,AC=16×2=32(海里),AB=12×2=24(海里),∠BAC=90°,由勾股定理可得,CB2=AC2+AB2,∴CB=40海里.故選C.

6.答案

解析如圖,連結(jié)AD,則AD=AB=3,

在Rt△ADE中,ED2=AD2-AE2,∴ED=.

能力提升全練

7.D選項(xiàng)A,∵(a+b)(a+b),∴a2+b2=c2,故A不符合題意;選項(xiàng)B,∵4×ab+c2=(a+b)2,∴a2+b2=c2,故B不符合題意;選項(xiàng)C,4×ab+(b-a)2=c2,∴a2+b2=c2,故C不符合題意;選項(xiàng)D,根據(jù)圖形不能證明勾股定理,故D符合題意.故選D.

8.B本題借助幾何圖形,考查利用勾股定理求代數(shù)式的最小值,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,形式新穎.如圖,根據(jù)題意可得,AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,當(dāng)AP、BP共線時(shí),代數(shù)式有最小值,最小值為線段AB的長,在Rt△ABE中,AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4,AB2=AE2+BE2,∴AB=5,∴代數(shù)式的最小值是5.故選B.

9.答案m2+1

解析∵2m為偶數(shù),∴設(shè)其股是a,則其弦為a+2,根據(jù)勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1.

∴其股為m2-1,則其弦為m2-1+2=m2+1.

10.答案120

解析由題意可得,直角三角形紙片的斜邊長為13,一條直角邊長為5,故該直角三角形紙片的另一條直角邊長為12,故陰影部分的面積是×5×12×4=120.

11.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是長方形,

∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,

由折疊知,AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,

∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,

∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,

在△PDE和△CDF中,

∴△PDE≌△CDF(ASA).

(2)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G,

∵四邊形ABCD是長方形,

∴EG=AB=CD=4cm,

又∵EF=5cm,GF2=EF2-EG2,∴GF=3cm,

設(shè)AE=BG=xcm,則EP=xcm,

∵△PDE≌△CDF,∴CF=EP=xcm,PD=CD=4cm,

∴DE=GC=GF+FC=(3+x)cm,

在Rt△PED中,PE2+PD2=DE2,

即x2+42=(3+x)2,解得x=,

∴BC=BG+GC=(cm).

素養(yǎng)探究全練

12.解析(1)證明:如圖,連結(jié)AD.

∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.

(2)①證明:如圖,連結(jié)AD.

∵△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積,

∴AB·DE+AC·DF=AC·BG,

∵AB=AC,∴DE+DF=BG.