遼寧省大連市旅順口區(qū)第三高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上為單調(diào)函數(shù)，下述四個(gè)結(jié)論：①滿足條件的取值有個(gè)②為函數(shù)的一個(gè)對稱中心③在上單調(diào)遞增④在上有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③2．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．43．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若對于，分別為某三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①②③④.其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．8．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A． B． C． D．9．變量與的回歸模型中，它們對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的值如下，其中擬合效果最好的模型是（）模型12340.480.150.960.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型410．的展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）A． B． C． D．11．函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為A． B．或C． D．或12．“，”是“雙曲線的離心率為”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為___14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則__________．15．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．16．在數(shù)列1，2，3，4，5，6中，任取k個(gè)元素位置保持不動，將其余個(gè)元素變動位置，得到不同的新數(shù)列，記不同新數(shù)列的個(gè)數(shù)為，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）證明：在上為增函數(shù)．（2）證明：．19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)也為拋物線：的焦點(diǎn)．（1）若，為橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率；（2）若過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，和，，設(shè)線段，的長分別為，，證明是定值．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知線C的極坐標(biāo)方程為：ρ＝2sin（θ+），過P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）求｜PM｜2+｜PN｜2的值．21．（12分）已知拋物線：上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為1．（1）求拋物線的方程；（1）如圖，，為拋物線上三個(gè)點(diǎn)，，若四邊形為菱形，求四邊形的面積．22．（10分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

依照題意找出的限制條件，確定，得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖像逐一判斷以下結(jié)論是否正確．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，又在上為單調(diào)函數(shù)，，即，所以或，即或所以總有，故①②正確；由或圖像知，在上單調(diào)遞增，故③正確；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極大值點(diǎn)，不符合題意，故④不正確；綜上，所有正確結(jié)論的編號是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，意在考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力．2、D【解析】可以是共4個(gè)，選D.3、D【解析】

畫出函數(shù)的圖像，將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)問題來解決，畫出圖像，根據(jù)圖像確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.令，易知，所以，將函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，與直線有個(gè)交點(diǎn)來求解.畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，而，故.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.6、A【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行循環(huán)體，逐次計(jì)算、判斷，即可得到輸出的結(jié)果，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第二次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第三次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第四次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第五次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第六次循環(huán)：，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題，其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知函數(shù)需滿足，由四個(gè)函數(shù)解析式，分別求得其值域，即可判斷是否滿足不等式成立.【詳解】根據(jù)題意，對于，分別為某三角形的三邊長，由三角形性質(zhì)可知需滿足：對于①，，如當(dāng)時(shí)不能構(gòu)成三角形，所以①不是“三角形函數(shù)”；對于②，，則，滿足，所以②是“三角形函數(shù)”；對于③，，則，當(dāng)時(shí)不能構(gòu)成三角形，所以③不是“三角形函數(shù)”；對于④，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，滿足，所以④是“三角形函數(shù)”；綜上可知，為“三角形函數(shù)”的有②④，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，函數(shù)值域的求法，三角形構(gòu)成的條件應(yīng)用，屬于中檔題.8、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D．9、C【解析】分析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，最大，則其擬合效果最好，進(jìn)行判斷即可．詳解：線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；

越小，相關(guān)程度越小，

∵模型3的相關(guān)系數(shù)最大，∴模擬效果最好，

故選：A．點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸系數(shù)的性質(zhì)，在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；越小，相關(guān)程度越?。?0、B【解析】分析：在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求得展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和．詳解：（1+）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?，令為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，故展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為+++=25=32，故選：B．點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)11、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，在單調(diào)遞增，得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式，或者，的解集為，故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，對于抽象函數(shù)，且要求解不等式的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較，直接比較括號內(nèi)的自變量的大小即可.12、D【解析】

當(dāng)時(shí)，計(jì)算可得離心率為，但是離心率為時(shí)，我們只能得到，故可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，其離心率是；但當(dāng)雙曲線的離心率為時(shí)，即的離心率為，則，得，所以不一定非要.故“”是“雙曲線的離心率為”的充分不必要條件.故選D.【點(diǎn)睛】充分性與必要性的判斷，可以依據(jù)命題的真假來判斷，若“若則”是真命題，“若則”是假命題，則是的充分不必要條件；若“若則”是真命題，“若則”是真命題，則是的充分必要條件；若“若則”是假命題，“若則”是真命題，則是的必要不充分條件；若“若則”是假命題，“若則”是假命題，則是的既不充分也不必要條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)閦=(a+i)2所以|z|=點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部為a、虛部為b、模為a2+b214、0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?！驹斀狻俊军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題．15、．【解析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個(gè)圓錐：則：，．得體積為：考點(diǎn)：三視圖與幾何體的體積．16、720【解析】

根據(jù)題意，只需分別計(jì)算出即可.【詳解】故答案為：720【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的應(yīng)用以及組合數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯思想，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）在梯形中，設(shè)，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進(jìn)一步得到丄平面;（Ⅱ）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),令得到的坐標(biāo)，求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當(dāng)時(shí)，有最小值為,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.試題解析：（Ⅰ）證明：在梯形中，∵,設(shè)，又∵,∴,∴∴.則.∵平面,平面，∴,而,∴平面.∵,∴平面.（Ⅱ）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令，則，∴設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，∵是平面的一個(gè)法向量，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線在，（1）處的切線方程，可得（1），（1），由此可求，的值，再由單調(diào)性的性質(zhì)即可得證；（2）運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得存在，，可得，可得，即，再由單調(diào)性可得，再由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得所求結(jié)論．【詳解】（1）由，得，所以，，解得，．因此，設(shè)，，所以為增函數(shù)．（2），，故存在，使得，即，即.進(jìn)而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．19、（1）（2）解:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以,故.所以橢圓.(1)設(shè),則兩式相減得，又的中點(diǎn)為,所以.所以.顯然,點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,所以直線的斜率為.(2)橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為時(shí),.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí),設(shè)直線的方程為，設(shè),聯(lián)立方程得消去并化簡得，因?yàn)?，所以?所以同理可得.所以為定值.【解析】分析：（1）先利用拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)求出，進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)差法求直線的斜率；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，故.所以橢圓.（1）設(shè)，，則兩式相減得，又的中點(diǎn)為，所以，.所以.顯然，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線的斜率為.（2）橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程得消去并化簡得，因?yàn)?，所以?所以，同理可得.所以為定值.點(diǎn)睛：在處理直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問題，往往利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解，比聯(lián)立方程的運(yùn)算量小，另設(shè)直線方程時(shí)，要注意該直線的斜率不存在的特殊情況，以免漏解.20、（1），；（2）3【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程中，得到關(guān)于t的方程，根據(jù)t的幾何意義可得的值．【詳解】（1）直線l：（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得：直線l的直角坐標(biāo)方程為：，曲線C的極坐標(biāo)方程，即ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2﹣2x﹣2y＝0；（2）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入圓C的方程，化簡得：t2﹣t﹣1＝0，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．21、(1)；(1)或【