湖南省株洲市醴陵市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[A，B]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當A＜x＜B時，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）2．體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,某學(xué)生到該體育場練跑步,則他進出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種3．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]4．已知,則()A． B． C． D．5．觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第個圖案中正六邊形的個數(shù)是.由，，，…，可推出（）A． B． C． D．6．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定7．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．408．2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有（）A．150種 B．240種 C．300種 D．360種9．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．910．甲乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是23A．2027B．49C．811．可表示為（）A． B． C． D．12．已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預(yù)測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為______．14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．太極圖被稱為“中華第—圖”，從孔廟大成殿梁柱至白外五觀的標識物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國旗、新加坡空軍機徽…，太極圖無不躍其上，這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在—起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.在如圖所示的陰陽魚圖案中，陰影部分的區(qū)域可用不等式組或來表示，設(shè)是陰影中任—點，則的最大值為________.16．已知復(fù)數(shù)z滿足，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，，.（1）若，①求的值；②猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，證明：當時，.18．（12分）為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元，其余3個所標的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．提示：袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標的面值“既有a元又有b元”．19．（12分）設(shè)數(shù)列an的前項為Sn，點n,Snn，n∈（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=3an?an+120．（12分）如圖，圓錐的軸截面為等腰為底面圓周上一點．（1）若的中點為，求證：平面；（2）如果，求此圓錐的體積；（3）若二面角大小為，求.21．（12分）假設(shè)某種人壽保險規(guī)定，投保人沒活過65歲，保險公司要賠償10萬元；若投保人活過65歲，則保險公司不賠償，但要給投保人一次性支付4萬元已知購買此種人壽保險的每個投保人能活過65歲的概率都為，隨機抽取4個投保人，設(shè)其中活過65歲的人數(shù)為，保險公司支出給這4人的總金額為萬元(參考數(shù)據(jù)：)(1)指出X服從的分布并寫出與的關(guān)系；(2)求.(結(jié)果保留3位小數(shù))22．（10分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數(shù)．∴當x＞A時，F(xiàn)（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性2、D【解析】第一步，他進門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得他進出門的方案有7×7＝49(種)．3、D【解析】

由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時，均單調(diào)遞減，且，即可求解.【詳解】因為函數(shù)為上的減函數(shù)，所以當時，遞減，即，當時，遞減，即，且，解得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中熟練掌握分段的基本性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】分析：先根據(jù)誘導(dǎo)公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結(jié)果.詳解：因為，所以,因此，選D.點睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.5、A【解析】

觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形；…根據(jù)這個規(guī)律，即可確定第10個圖案中正六邊形的個數(shù)．【詳解】由圖可知，，…故選A.【點睛】此類題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當時，6、A【解析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關(guān)于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)關(guān)于對稱從而有，故選A．考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉(zhuǎn)化為，從而可得函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則關(guān)于對稱，代入即可求出結(jié)果．7、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=408、A【解析】

根據(jù)題意，需要將5個安保小組分成三組，分析可得有2種分組方法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組，求出每一種情況的分組方法數(shù)目，由加法計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，三個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組；若按照1、1、3分組,共有種分組方法；若按照1、2、2分組,共有種分組方法，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選：A.【點睛】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，本題屬于分組再分配問題，根據(jù)題意分析可分組方法進行分組再分配，按照分類計數(shù)原理相加即可，屬于簡單題.9、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，不滿足進行循環(huán)的條件；故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】試題分析：“甲隊獲勝”包括兩種情況，一是2:0獲勝，二是2:1獲勝.根據(jù)題意若是甲隊2:0獲勝，則比賽只有2局，其概率為(23)2=49；若是甲隊2:1獲勝，則比賽3局，其中第3考點：相互獨立事件的概率及n次獨立重復(fù)試驗.【方法點晴】本題主要考查了相互獨立事件的概率及n次獨立重復(fù)試驗，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是讀懂比賽的規(guī)則，尤其是根據(jù)“采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束”把整個比賽所有的可能情況分成兩類，甲隊以2:0獲勝或2:1獲勝，據(jù)此分析整個比賽過程中的每一局的比賽結(jié)果，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式及n次獨立重復(fù)試驗概率公式求得每種情況的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.11、B【解析】

根據(jù)排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】，故選B.【點睛】本題考查排列數(shù)的定義，熟悉排列數(shù)公式是解本題的關(guān)鍵，考查理解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到（e），再求出（e）的值，則由直線方程的點斜式可得切線方程．【詳解】由，得，（e）．即曲線在點，（e）處的切線的斜率為2，又（e）．曲線在點，（e）處的切線方程為，即．故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，曲線上過某點的切線的斜率，就是該點處的導(dǎo)數(shù)值．14、390【解析】

用2色涂格子有種方法,

用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,

所以涂色方法種方法,

故總共有390種方法.

故答案為:39015、3【解析】

根據(jù)題目可知，平移直線，當直線與陰影部分在上方相切時取得最大值，根據(jù)相切關(guān)系求出切點，代入，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，與相切時，切點在上方時取得最大值，如圖;此時，且，解得所以的最大值為3，故答案為3?！军c睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中求目標函數(shù)的最值問題，形如題目中所示的目標函數(shù)?；瘹w為求縱截距范圍或極值問題。16、3-i【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①；；②(2)見證明【解析】

（1）①根據(jù)遞推公式，代入求值即可；②觀察已知的數(shù)列的前幾項，根據(jù)其特征，先猜想其通項公式，之后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得結(jié)果；（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】(1)當時，即當時，當時，當時，②由此猜想：證明如下：①當時，，成立；②假設(shè)當時，猜想也成立，即,則當時，.即當時，猜想也成立．由①②得，猜想成立，即.()(2)當時，即當時，由知不等式成立．假設(shè)當時，命題也成立，即.由即當時，命題也成立．由①②得，原命題成立，即當時，.【點睛】該題考查的是數(shù)列的有關(guān)問題，涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的特定項，根據(jù)已知的數(shù)列的前幾項猜想數(shù)列的通項公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，屬于中檔題目.18、（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個【解析】

（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為,分別求出對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設(shè)計，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當球標有的面值為元和元時，面值設(shè)計是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為.，，所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當球標有的面值為元和元時，若選擇“”的面值設(shè)計，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；若選擇“”的面值設(shè)計，因為元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.因此可能的面值設(shè)計是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為當球標有的面值為元和元時，同理可排除“”、“”的面值設(shè)計，所以可能的面值設(shè)計是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲的獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為因為即兩種方案獎勵額的期望都符合要求，但面值設(shè)計方案“”的獎勵額的方差要比面值設(shè)計方案“”的方差小，所以應(yīng)該選擇面值設(shè)計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個.【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列，考查了期望與方差的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.19、(1)an=6n-5【解析】

分析：（1）點n,Snnn∈N*均在函數(shù)y=3x-2（2）由bn=3an詳解：（1）∵點n,Snn∴Snn=3n-2,當n≥2經(jīng)檢驗：n=1時滿足上式∴a（2）bnT==12點睛：在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.20、（1）證明見解析（2）（3）60°【解析】

（1）連接、，由三角形中位線定理可得，由圓周角定理我們可得，由圓錐的幾何特征，可得，進而由線面垂直的判定定理，得到平面，則，結(jié)合及線面垂直的判定定理得到平面；（2）若，易得，又由，我們求出圓錐的底面半徑長及圓錐的高，代入圓錐體積公式，即可得到圓錐的體積；（3）作于點，由面面垂直的判