北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案

最新北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案

目錄

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)菱形的性質(zhì)

第2課時(shí)菱形的判定

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

第2課時(shí)矩形的判定

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

第2課時(shí)正方形的判定

第二章一元二次方程

2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程

第1課時(shí)一元二次方程

第2課時(shí)一元二次方程的解及其估算

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時(shí)用配方法求解簡(jiǎn)單的一元二次方程

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時(shí)用公式法求解一元二次方程

第2課時(shí)利用一元二次方程解決面積問(wèn)題

2.4用因式分解法求解一元二次方程

2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2.6應(yīng)用一元二次方程

第四章圖形的相似4.1成比例線段

第1課時(shí)線段的比和成比例線段第2課時(shí)比例的性質(zhì)

4.2平行線分線段成比例4.3相似多邊形

4.4探索三角形相似的條件第1課時(shí)利用兩角判定三角

形相似第2課時(shí)利用兩邊及夾角判定三角形相似第3

課時(shí)利用三邊判定三角形相似第4課時(shí)黃金分割

4.5相似三角形判定定理的證明4.6利用相似三角形測(cè)

高4.7相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)相似三角形中的對(duì)

應(yīng)線段之比第2課時(shí)相似三角形的周長(zhǎng)和面積之比4.8

圖形的位似

第2課時(shí)平面直角坐標(biāo)系中的位似變換第五章投影與

視圖

5.1投影

第1課時(shí)投影的概念與中心投影第2課時(shí)平行投影與

正投影5.2視圖

第2課時(shí)用配方法求解較復(fù)雜的一元二次方程第1課

時(shí)位似多邊形及其性質(zhì)第1課時(shí)幾何問(wèn)題及數(shù)字問(wèn)題

與一元二次方程第1課時(shí)簡(jiǎn)單圖形的三視圖第2課時(shí)

營(yíng)銷問(wèn)題及平均變化率問(wèn)題與一元二次方程第2課時(shí)

復(fù)雜圖形的三視圖第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

3.1用樹(shù)狀圖或表格求概率

第1課時(shí)用樹(shù)狀圖或表格求概率

第2課時(shí)概率與游戲的綜合運(yùn)用

第六章反比例函數(shù)

6.1反比例函數(shù)

6.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時(shí)反比例函數(shù)的圖

象

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3.2用頻率估計(jì)概率

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)菱形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

①通過(guò)折、剪紙張的方法，探索菱形獨(dú)特的性質(zhì)。

②通過(guò)學(xué)生間的交流、計(jì)論、分析、類比、歸納、運(yùn)用已

學(xué)過(guò)的知識(shí)總結(jié)菱形的特征。教學(xué)重點(diǎn)：菱形的概念和菱形的

性質(zhì)，菱形的面積公式的推導(dǎo)。

教學(xué)難點(diǎn)：菱形的性質(zhì)的理解及菱形性質(zhì)的靈活運(yùn)用。

【預(yù)習(xí)案】

學(xué)習(xí)過(guò)程：

活動(dòng)一：

自學(xué)課本例題以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題：

1.如何從一個(gè)平行四邊形中剪出一個(gè)菱形來(lái)？

菱形

平行四邊形

的四邊形叫做菱形，生活中的

有。

菱形【探究案】

2.按探究步驟剪下一個(gè)四邊形。

①所得四邊形為什么一定是菱形？

②菱形為什么是軸對(duì)稱圖形？

有對(duì)稱軸。

圖中相等的線段有：

圖中相等的角有：

③你能從菱形的軸對(duì)稱性中得到菱形所具有的特有的性質(zhì)

嗎？自己完成證明。

性質(zhì)：

證明：

活動(dòng)二：對(duì)比菱形與平行四邊形的對(duì)角線

菱形的對(duì)角線：

平行四邊的對(duì)角線：

活動(dòng)三：菱形性質(zhì)的應(yīng)用

1.菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6cm和8cm,求菱形的周

長(zhǎng)和面積。

【訓(xùn)練案】

2.如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20cm,NABC=60。

沿菱形的兩條對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD,

求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積。

課效檢測(cè)：

一、填空

(1)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是12cm,16cm,它的周

長(zhǎng)等于，面積等于。

(2)菱形的一條邊與它的兩條對(duì)角線所夾的角比是3：2,

菱形的四個(gè)內(nèi)角是。

(3)已知：菱形的周長(zhǎng)是20cm,兩個(gè)相鄰的角的度數(shù)比

為1：2,則較短的對(duì)角線長(zhǎng)是。

(4)已知：菱形的周長(zhǎng)是52cm,一條對(duì)角線長(zhǎng)是24cm,

則它的面積是。

二、解答題

已知：如圖，在菱形ABCD中，周長(zhǎng)為8cm,

NBAD=120對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,求

這個(gè)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)和面積。

A

OD

第2課時(shí)菱形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用；

2.靈活運(yùn)用判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.

重點(diǎn)：掌握并會(huì)應(yīng)用菱形的判定方法.

難點(diǎn)：菱形判定方法的應(yīng)用.

B

C

【預(yù)習(xí)案】

課前預(yù)習(xí)

你還記得菱形的定義嗎？菱形有哪些特殊性質(zhì)？

邊

角

對(duì)角線

對(duì)稱性:

【探究案】

1.木工在做菱形的窗格時(shí)，總是保證四條邊框一樣長(zhǎng)，你知

道其中的道理嗎？借助以下圖形探索：如圖，在四邊形ABCD

中,AB=BC=CD=DA,試說(shuō)明四邊形ABCD是菱形.

證明：

B

DA

我發(fā)現(xiàn)，的四邊形是菱形。

2.如下圖，在DABCD中，若ACLBD,則DABCD是什么圖形?

證明：

我發(fā)現(xiàn)，的平行四邊形四邊形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四邊形是菱形

符號(hào)語(yǔ)言

2、的平行四邊形是菱形

符號(hào)語(yǔ)言

課堂活動(dòng)

活動(dòng)1預(yù)習(xí)反饋

活動(dòng)2例習(xí)題分析

例DABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,且AB=5

AO=4,OB=3.求證：DABCD是菱形。

A

C

BoD

A

B

平行練習(xí)

C

oDl、一個(gè)平行四邊形的一條邊長(zhǎng)是15,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)

分別是12和

9

,這是一個(gè)特殊的平行四邊形嗎？為什么？求它的面積。

歸納：S

菱形

2、如圖，用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起，重合

的四邊形ABCD是一個(gè)菱形嗎？為什么？

【訓(xùn)練案】

課后鞏固

1、如圖，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于點(diǎn)C,BD

平分NABC,且交AE于點(diǎn)D,連接CD,

求證：四邊形ABCD是菱形。

A

D

0

BCF

E

2、如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)M,N分別在AB,AD

上，且BM=DN,MG〃AD,NF〃AB,點(diǎn)F,G

分別在BC,CD上，MG與NF相交于點(diǎn)E.求證：四邊形

AMEN,EFCG都是菱形。

B

F

C

E

G

A

MN

D

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能運(yùn)用綜合法證明矩形性質(zhì)定理。

2.體會(huì)證明過(guò)程中所運(yùn)用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思

想方法。

【預(yù)習(xí)案】

回顧舊知：

1.你了解哪些特殊的平行四邊形？

2.這些特殊的平行四邊形與平行四邊形有哪些關(guān)系？

3.能用一張圖來(lái)表示它們之間的關(guān)系嗎？

自學(xué)提示：

（一）自主學(xué)習(xí)：

①平行四邊形活動(dòng)框架在變化過(guò)程中，哪些量發(fā)生了變化?

哪些量沒(méi)有變化？從中得到哪些

結(jié)論？你能試著說(shuō)明結(jié)論是否成立？

②矩形的一條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)什么三角形？矩形的

兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)什么樣的三角形？

1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形，叫做

矩形。由此可見(jiàn)，矩形是特殊的，它具有平行四邊形

的所有性質(zhì)。

2.結(jié)合上面兩個(gè)圖形說(shuō)說(shuō)矩形有哪些平行四邊形不具

有的特殊性質(zhì)？

3.證明：矩形的四個(gè)角都是直角

已知：如圖，

求證：___________________

證明：

D

證明：矩形對(duì)角線相等

A已知：如圖，

求證：

證明：

BCBC【探究案】

合作探究：

問(wèn)題一:如圖，矩形ABCD,對(duì)角線相交于0,觀察對(duì)角

線所分成的三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

A

O

BC

D

問(wèn)題二將目光鎖定在RtAABC中，你能發(fā)現(xiàn)它有什么特

殊的性質(zhì)嗎？

證明：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”

已知:AB

求證：

證明：

DC

問(wèn)題三上面結(jié)論的逆命題是：。是否正確？請(qǐng)給予證明。

【訓(xùn)練案】

鞏固練習(xí)

1.矩形除了具備平行四邊形的性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì):

四個(gè)角，對(duì)角線。

2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,若

A0B100,則OABo3、已知矩形的長(zhǎng)為20,寬為12,

順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形的面積是.

4,如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。

六、反思領(lǐng)悟

這節(jié)課我們學(xué)到了：

我的疑問(wèn)是：

第2課時(shí)矩形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)證明矩形的判定定理。

2.能運(yùn)用矩形的判定定理進(jìn)行計(jì)算與證明。

3.能運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行綜合推理與

證明。

【預(yù)習(xí)案】

學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：

1.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有條對(duì)稱軸.

2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,若對(duì)

角線AC=10cm,?邊BC=?8cm,?則△ABO的周長(zhǎng)為

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個(gè)平行四邊

形是矩形呢？

請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出最基本的方法：（用定義）

【訓(xùn)練案】

鞏固練習(xí)

1.矩形除了具備平行四邊形的性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì):

四個(gè)角，對(duì)角線。

2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,若，貝L

3、已知矩形的長(zhǎng)為20,寬為12,順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所形

成的四邊形的面積是.

4,如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。

六、反思領(lǐng)悟

這節(jié)課我們學(xué)到了：

我的疑問(wèn)是：

第2課時(shí)矩形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)證明矩形的判定定理。

2.能運(yùn)用矩形的判定定理進(jìn)行計(jì)算與證明。

3.能運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行綜合推理與證明。

【預(yù)習(xí)案】

學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：

1.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有條對(duì)稱軸.

2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,若對(duì)

角線AC=10cm,?邊BC=?8cm,?則△ABO的周長(zhǎng)為

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個(gè)平行四邊形是

矩形呢？

請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)出最基本的方法：(用定義)

【探究案】

1.知識(shí)點(diǎn)一：探究“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形?！?/p>

如圖在DABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于0,如果

AC=BD

求證：DABCD是矩形。

證明：DABCD是平行四邊形

，AB=CD,AB〃CD()

.*.ZABC+ZDCB=180

在^ABC^ADCB中

/.△ABC^ADCB()

.\ZABC=ZDCB

NABC二

??.□ABCD是矩形()

2.知識(shí)點(diǎn)二：探究“三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形?！?/p>

已知：在四邊形ABCD中NA=NB=NC=90°

求證：四邊形ABCD矩形

證明：?.?NA+NB+NC+ND二度

而NA=NB=NC=90度

ND=

???——_—_

，四邊形ABCD是平行四邊形()

，四邊形ABCD矩形()

【訓(xùn)練案】

1.如圖，DABCD中，AB=6,BC=8,AC=10,

求證:DABCD是矩形。

2.如上圖已知：nABCD的AC、BD對(duì)角線相交于0,

△A0B是等邊三角形，AB=4cm,求這個(gè)平行四邊形的面積。

能力提升：

△ABC中，點(diǎn)0是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)0點(diǎn)作直線

MN//BC,設(shè)MN交NBCA的平分線于點(diǎn)E,交NBCA的外角

平分線于點(diǎn)F,

(1)試說(shuō)明EO=OF的理由。

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)

明你的結(jié)論。

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解正方形的定義，掌握正方形的性質(zhì)和判定；

2.能運(yùn)用正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算與證明.

【預(yù)習(xí)案】

自主學(xué)習(xí)：

1、正方形具有而一般菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊都相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線相等

D.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角2、正方形具有而一般矩

形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.四個(gè)角相等B,四條邊相等C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角

線相等

3、已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2cm,則對(duì)角線長(zhǎng)為

4、已知一正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm,則它的邊長(zhǎng)為

5、若正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm,則正方形的周長(zhǎng)

為,面積為;對(duì)角線

的交點(diǎn)到邊的距離為O

【探究案】

探究點(diǎn)1:矩形和正方形的關(guān)系

做一做：用一張長(zhǎng)方形的紙片（如圖所示）折出一個(gè)正方

形.

問(wèn)題1:什么樣的四邊形是正方形？

探究點(diǎn)2：正方形的性質(zhì)

問(wèn)題2：正方形有什么性質(zhì)？

由正方形的定義得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形,

又是有一個(gè)角是直角的菱形.

所以，正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì).

正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是，四條邊都。

正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等并且。例1.

求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角

三角形.

已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)0（如圖）.

求證：△ABO、△BCO、△CDO.△DAO是

全等的等腰直角三角形.

例2.已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),

點(diǎn)F是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=BF.

求證：（1）EA=AF；（2）EA±AF.

【訓(xùn)練案】

1.⑴正方形的四條邊,四個(gè)角,兩條對(duì)角

線.

⑵正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的

⑶正方形的邊長(zhǎng)為6,則面積為

⑷正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為6,則面積為

2.如右圖，E為正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，已知

EC=30,EB=10,

則正方形ABCD的面積為,對(duì)角線為

3.如右圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且aEBC是等邊

三角形,

求NEAD與NECD的度數(shù).

第2課時(shí)正方形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、知道正方形的判定方法，會(huì)運(yùn)用平行四邊形、矩形、

菱形、正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)

的論證和計(jì)算。

2、經(jīng)歷探究正方形判定條件的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生初步的綜

合推理能力，主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)

慣，逐步掌握說(shuō)理的基本方法。

3、理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯

證看問(wèn)題的觀點(diǎn)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握正方形的判定條件。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：合理恰當(dāng)?shù)乩谜叫蔚呐卸ǘɡ斫鉀Q問(wèn)題。

【預(yù)習(xí)案】

預(yù)習(xí)檢測(cè)

1、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A、對(duì)角線相等的菱形是正方形B、有一組鄰邊相等的

矩形是正方形

C、四條邊都相等的四邊形是正方法D、有一個(gè)角為直

角的菱形是正方形

2、已知四邊形兩對(duì)角線：①互相垂直；②相等；③互

相平分。具備條件—可得平行四邊

形；具備條件可得矩形；具備條件可得是

菱形；具備條件可得正方形。（填序號(hào)）

3.我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思

考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出來(lái)。

【探究案】

探究點(diǎn)1：用菱形證明正方形.

1.已知四邊形ABCD是菱形，當(dāng)滿足條件時(shí)，

它成為正方形（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可）.

證明:

探究點(diǎn)2：用矩形證明正方形.

2.已知四邊形ABCD是矩形，當(dāng)滿足條件時(shí)，

它成為正方形（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可）.

證明：

探究點(diǎn)3：用平行四邊形證明正方形

3.在RtAABC中，NACB=90。，CD平分ZACB,

DEIBC,DF±AC,垂足分別是E,Fo

求證：（1）四邊形CFDE是平行四邊形。

（2）四邊形CFDE是矩形或菱形（任選一項(xiàng)）。

（3）四邊形CFDE是正方形。

【訓(xùn)練案】

1.如下圖E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD±,

且NEAF=45。，試說(shuō)明EF=BE+DF。

2.畫(huà)一個(gè)正方形，使它的對(duì)角線長(zhǎng)為30,并說(shuō)明畫(huà)法的依

據(jù)。

3.如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、F兩點(diǎn)，

使NEAF=45°,AGLEF于G.求證：AG=AB。

達(dá)標(biāo)測(cè)試答案

1.解：將△ADF旋轉(zhuǎn)到△ABC,則△ADFZ^ABG

，AF=AG,NADF=NBAG,DF=BG

ZEAF=45。且四邊形是正方形，

.*.ZADF+ZBAE=45°

ZGAB+NBAE=45°

即NGAE=45°

.?.△AEF^AAEG(SAS)

，EF=EG=EB+BG=EB+DF

2.畫(huà)法：1、畫(huà)線段=30cm,取AC的中點(diǎn)O。

2、過(guò)點(diǎn)O畫(huà)AC的垂線，并分別在AC的兩側(cè)取

0B=0D=15cm。

3、連結(jié)AB、BC、CD、DA.

則四邊形ABCD就是所要畫(huà)的正方形.

證明：VAO=CO,BO=DO

四邊形ABCD是平行四邊形。

又「AC=BD,，平行四邊形ABCD是矩形：ACJ_BD

???平行四邊形ABCD是菱形。

.二四邊形ABCD是正方形

補(bǔ)標(biāo)練習(xí)答案：解析：欲證AG=AB,就圖形直觀來(lái)看，

應(yīng)證RQABE與RQAGE全等，但條件不夠.

NEAF=45。怎么用呢？顯然Nl+N2=45。，若把它們拼在

一起，問(wèn)題就解決了.

證明：把△AFD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。至△AHB.

VZEAFM50,.?.Nl+N2=45°.

VZ2=Z3,??.Nl+N3=45°.

又由旋轉(zhuǎn)所得AH=AF,AE=AE.

.?.△AEF^AAEH,

，NAEH=NAEF,

又?:NABE=NAGE,AE=AE,

AAABE^AAGE,

，AG=AB.

第二章一元二次方程

2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程

第1課時(shí)一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概

念給一元二次方程下定義.2.一元二次方程的一般形式及其

有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過(guò)生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問(wèn)題來(lái)激

發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程

的有關(guān)概念并用這些概念解決問(wèn)題.

難點(diǎn)：通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，?

再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.

【預(yù)習(xí)案】

二、自學(xué)探究：

理解一元二次方程的概念，并會(huì)把一元二次方程化為一般

形式。

自學(xué)教材，回答：

(1)如果設(shè)未鋪地毯區(qū)域的寬為xm,那么地毯中央長(zhǎng)

方形圖案的長(zhǎng)為m,寬為為m.

根據(jù)題意，可得方程

(2)試再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五個(gè)連

續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于

后兩個(gè)數(shù)的平方和：

9

如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為X,那么后面四個(gè)數(shù)

依次可表示為、、

V,根據(jù)題意可得方程：

(3)根據(jù)圖2-2,由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距

墻m,如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm,那么滑動(dòng)后梯子底端距墻m,

梯子頂端距地面的垂直距離為m,根據(jù)題意，可得方程：

【探究案】

探究點(diǎn)1：一元二次方程的概念

1.一元二次方程的一般形式是()

(1)提問(wèn)2=時(shí)方程還是一無(wú)二次方程嗎？為什么?(如果

a=、b#就成了一元一次方程了)

2(2)方程中ax、bx、c各項(xiàng)的名稱及a、b的系數(shù)名稱

各是什么?

(3)強(qiáng)調(diào)：一元二次方程的一般形式中“=”的左邊最多

三項(xiàng)、其中一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)可以不出現(xiàn)、但二次項(xiàng)必須存在、

而且左邊通常按x的降得排列：特別注意的是“=”的右邊必須

整理成.

探究點(diǎn)2：一元二次方程解決生活中的應(yīng)用

根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次

方程的一般形式：

△4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形

的邊長(zhǎng)x;

⑵一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2,面積是100,求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

X；

⑶把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)與全長(zhǎng)的積,

等于較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)的平方，求較短一段的長(zhǎng)X。

【訓(xùn)練案】

1.在下列方程中，一元二次方程有.

①3x+7=0②ax+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x-l?3x-

2

2222=0

2.方程2x=3(x-6)化為一般式后二次項(xiàng)系數(shù)、?一次項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是O.

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

223.px-3x+p-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，貝?。?).

A.p=lB.p>0C.p#)D.p為任意實(shí)數(shù)

4.方程3x-3=2x+l的二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)

為,

常數(shù)項(xiàng)為.

5.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出

其中的二次項(xiàng)系數(shù)、及常數(shù)項(xiàng)：

(1)3x2+1=6x(2)4x2+5x=81(3)x(x+5)=0

(4)(2x-2)(x-1)=0(5)x(x+5)=5x-10(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-1)

2

第2課時(shí)一元二次方程的解及其估算

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)

元二次方程的根及利用它們解決一些具體問(wèn)題.

2.經(jīng)歷方程解的探索過(guò)程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，發(fā)展估

算意識(shí)和能力。

重點(diǎn)：探索一元二次方程的解或近似解；

難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能力.

【預(yù)習(xí)案】

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下列問(wèn)題.

問(wèn)題1.如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的

頂端距地面的垂直距離為8m,那么梯子的底端距墻多少米？

設(shè)梯子底端距墻為xm,那么，

根據(jù)題意，可得方程為.

整理，得.

列表：

X12345678...

問(wèn)題2.一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長(zhǎng)比寬多

2m,苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少？

設(shè)苗圃的寬為xm,則長(zhǎng)為m.

根據(jù)題意，得.

整理，得.

列表：

X123456789101

1

【探究案】

探究點(diǎn)1：探究一元二次方程的解.

提問(wèn)：(1)問(wèn)題1中一元二次方程的解是多少？問(wèn)題2

中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題1中還有其它解嗎？問(wèn)題

2呢？

(3)如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題(1)中還有x=-6的解；

問(wèn)題2中還有x=-12的解.

為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我

們稱：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回過(guò)頭來(lái)看：x2-36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6,另一個(gè)是一6,

但-6不滿足題意；同理，問(wèn)題2中的x-12的根也滿足題

意.因此，由實(shí)際問(wèn)題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際

問(wèn)題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問(wèn)題的解.

例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,,1,2,3,4.

分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式,

使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有一2和-3滿足方程的等

式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x4-12=0的兩根.

探究點(diǎn)2：用“夾逼法”解生活中的一元二次方程.

例2.要剪一塊面積為150cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)

比寬多5cm,△這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？

設(shè)長(zhǎng)為xcm,則寬為(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0

請(qǐng)根據(jù)列方程回答以下問(wèn)題：

(1)x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

(2)完成下表：

X

x2-5x-15

101121314151617...

1

(3)你知道鐵片的長(zhǎng)x是多少嗎？

分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平

方根的意義和八年級(jí)上冊(cè)的整式中的分解因式的方法去求根，

但是我們可以用一種新的方法夾逼'’方法求出該方程的根.

解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,則寬(x-5)

<0,不合題意.

x不可能等于10.理由：如果x=10,則面積x2-5x-150=-

100,也不可能.

(2)

x

x2-5x-15

10121314151617...

11

-10-8-66-46-2

2654...

(3)鐵片長(zhǎng)x=15cm

44

【訓(xùn)練案】

一、選擇題

1.方程x(x-1)=2的兩根為().

A.x

1

=0,x

2

=1B.x

1

=0,x

2

=-1C.x

1

=1,x

2

=2D.x

1

=-1,x

2

2.已知x=-l是方程ax2+bx+c=0的根(bg),則=().

A.IB.-IC.D.2

二、填空題

1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的兩個(gè)根分別是x

1

=,x

2

*"*■

2.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為

3.方程(x+1)2+x(x+1)=0,那么方程的根x

1

=;x

2

~~■

三、綜合提高題

1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求(a-b)

2+4ab的值.

2.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#：)中的二

次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù)，求證：-1必是該方

程的一個(gè)根.

3.在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明給全班同學(xué)演示了一個(gè)

有趣的變形，即在()2-2x+l=0,令=丫,則有y2-2y+l=0,根

據(jù)上述變形數(shù)學(xué)思想(換元法)，解決小明給出的問(wèn)題：在

(x2-l)2+(x2-l)=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的

根.4.一塊矩形鐵片，面積為lm2,長(zhǎng)比寬多3m,求鐵片

的長(zhǎng)，小明在做這道題時(shí)，△是這樣做的：

設(shè)鐵片的長(zhǎng)為x,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：

x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道鐵片的長(zhǎng)到底是多少，

下面是他的探索過(guò)程：

第一步:

X

x2-3x-

1

所以，一<x<

第二步:

x

x2-3x-

-0.9

6

3.2

-0.3

6

3.

3

3.

4

1234

]

33

所以，<x<

(1)請(qǐng)你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過(guò)以上探索，估計(jì)出矩形鐵片的整數(shù)部分為

,十分位為.答案：

一、1.D2.A

二、1.9,-92.-133.-1,1-

三、1.由已知，得a+b=-3,原式二(a+b)2=(-3)2=9.

2.a+c=b,a-b+c=O,把x—1代入得

ax2+bx+c=ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c=O,

???-l必是該方程的一根.

3.設(shè)y=x2-l,則y2+y=0,y

1

=o,v

2

=-1,

即當(dāng)x2-l=0,x

1

=1,X

2

=-1；

當(dāng)y

2

=-1時(shí),x2-l=-l,x2=0,

△x

3

=x

4

=o,

.'.X

1

=1,X

2

=-1,x

3

=x

4

二是原方程的根.

4.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4(2)3,3

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時(shí)用配方法求解簡(jiǎn)單的一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)用開(kāi)平方法解形如(x十m)=n(n0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

重點(diǎn)：利用配方法解一元二次方程

難點(diǎn)：把一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為(x十m)=n(nO)的

形式.

【預(yù)習(xí)案】

1用直接開(kāi)平方法解方程

222x-8=0(x+6)-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)X—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

(4)x+

2

2x+=(x+)

2

2

(5)x+px+=(x+)

觀察并思考填的數(shù)與一次項(xiàng)的系數(shù)有怎樣的關(guān)系？

【探究案】

探究點(diǎn)1:用配方法一元二次方程來(lái)解一元二次方程.

問(wèn)題：下列方程能否用直接開(kāi)平方法解？

x+8x—9=0x—10x十25=7；

是否先把它變成(x+m)=n(n>)的形式再用直接開(kāi)平方法

求解？

在這里，解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化成的形

式，它的一邊是另一邊是，當(dāng)時(shí)兩邊便可以求出它的根。這種

通過(guò)配成進(jìn)一步求得一元二次方程根的方法稱為配方法

問(wèn)題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m,并且面積為

16m2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少？解：設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則

長(zhǎng)為(x+6)米，根據(jù)題意得：()整理得()

2

2

怎樣解方程x+6x—16=0自學(xué)P36頁(yè)

例1:用配方法解下列方程

2x-8x+l=0

探究2：用配方法解一元二次方程步驟

總結(jié)用配方法解方程的一般步驟.

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù).

(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).

(3)要在方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.(注：一

次項(xiàng)系數(shù)是帶符號(hào)的)

2(4)方程變形為(x+m)=n的形式.

(5)如果右邊是非負(fù)實(shí)數(shù)，就用直接開(kāi)平方法解這個(gè)一元

二次方程；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.

2

【訓(xùn)練案】

1配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)x—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

22.將二次三項(xiàng)式x-4x+l配方后得().

2222A.(x-2)+3B.(x-2)-3C.(x+2)+3

D.(x+2)-3

23.已知x-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，

其中正確的是().

2222A.x-8x+(-4)=31B.x-8x+(-4)=1

222C.x+8x+4=lD.x-4x+4=-ll

25.如果mx+2(3-2m)x+3m-2=0(m聲)的左邊是一個(gè)

關(guān)于x的完全平方式，則m等于().A.1B.-1

C.1或9D.-1或9

6.下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是()

A.x+l=OB.(2x+l)=0C.(2x+l)+3=0

D.(

7.方程x+4x-5=0的解是.2

222x-a)=a28.代數(shù)式的值為，則x的值為.

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設(shè)

x+y=z,則原方程可變?yōu)椋?所以求出z的值即為x+y

的值，所以x+y的值為—

210已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4,第三邊是方程x-

4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

11.如果x-4x+y+6y+22+13=0,求(xy)的值.z

12.新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500?元，?市

場(chǎng)調(diào)研表明：?當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；

而當(dāng)銷售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要

想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)5000元，每臺(tái)冰箱的定

價(jià)應(yīng)為多少元？

1.已知：x+4x+y-6y+13=0,求22的值.

2.如圖，在R3ACB中，NC=90。，AC=8m,CB=6m,

點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B?兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C

勻速移動(dòng)，它們的速度都是lm/s,?幾秒后4PCQ?的面積為

RtAACB面積的一半.

第2課時(shí)用配方法求解較復(fù)雜的一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：能夠熟練地、靈活地應(yīng)用配方法解一元

二次方程。

2、能力培養(yǎng)：進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決實(shí)

際問(wèn)題。

3、情感與態(tài)度：培養(yǎng)觀察能力，運(yùn)用所學(xué)舊知識(shí)解決新

問(wèn)題。

重點(diǎn)：掌握配方法解一元二次方程。

2難點(diǎn)：把一元二次方程轉(zhuǎn)換為(x+m)=n(n>0)

【預(yù)習(xí)案】

熟練掌握解一元二次方程的兩種方法。

1、解下列方程：

(1)(2-x)=3(2)(x-2)=64(3)2(x+1)=22

2、用配方法解方程：

222(1)x-6x-40=0(2)x-6x+7=0(3)x+4x+3=0(4)x-

8x+9=0(5)x-22x=2

【探究案】

探究點(diǎn)1：如何用配方法解較復(fù)雜的一元二次方程

例1.用配方法解下列方程：

(l)x(2x-5)=4x-10(2)x+5x+7=3x+l1

探究點(diǎn)2：用配方法解生活中一元二次方程

例2.綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開(kāi)辟面

積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那

么綠地的長(zhǎng)應(yīng)是多少米？

解:設(shè)綠地的寬是x米，則長(zhǎng)是(x+10)米，根據(jù)題意得:

x(x+10)=900.

整理得

配方得

解得

由于綠地的邊長(zhǎng)不可能是負(fù)數(shù)，因此綠地的寬只能是

米.

當(dāng)堂訓(xùn)練：

2

米，于是綠地的長(zhǎng)是解下列方程：

221、2x+5x-3=02、3x-4x-7=0

223、5x-6x+l=04、x+6x=l

【訓(xùn)練案】

1、(1)x-4x+=(x-)；(2)x-

2

222x+=(x-)

2

2

2、方程x-12x=9964經(jīng)配方后得(x-)二

23、方程(x+m)=n的根是

224、當(dāng)x=-l滿足方程x-2(a+1)x-9=0時(shí)，a=

2m+15、已知：方程(m+1)x+(m-3)x-l=O,試問(wèn):

(1)m取何值時(shí)，方程是關(guān)于x的一元二次方程，求出

此時(shí)方程的解；

(2)m取何值時(shí)，方程是關(guān)于x的一元一次方程？

6、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(y-1)2=5

C.(y-1)2=3D.(y+1)2=-3.

7、已知m2-13m+12=0,則m的取值為()

A.1B.12

C.-1和-12D.1和12

221、關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x+3x+a-3a-4=0的一

個(gè)根為，則a的值為()A、-1B、4C、-1或4D、

1

222、不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x+y+2x-4y+7的值()

A、總不小于2B、總不小于7C、可為任何實(shí)數(shù)D、

可能為負(fù)數(shù)

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時(shí)用公式法求解一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法

的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

22.復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過(guò)程，引

入ax+bx+c=O(ar)?的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法

解一元二次方程.

重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn)：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)

【預(yù)習(xí)案】

學(xué)前準(zhǔn)備

(學(xué)生活動(dòng))用配方法解下列方程

22(1)6x-7x+l=0(2)4x-3x=52

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟是什么？

【探究案】

探究點(diǎn)1:如何用公式法來(lái)解一元二次方程.

21如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax+bx+c=O(a^),

你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成

下面這個(gè)問(wèn)題.

我們來(lái)討論一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=O(a^O)

因?yàn)閍，，方程兩邊都除以a,得

x2+x+=

移項(xiàng)，得x+x=—2

配方，得x+2?x?2+()=()—22

即(x+)=

22

2

Va^,.\4a>,當(dāng)b—4acN時(shí)，直接開(kāi)平方，得

x+=±

.*.x=-±,

即x=

2

由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程2乂+6乂+?=的

求根公式：

即x二

利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、b、c

的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法.

探究點(diǎn)2：公式法中根與判別式之間的關(guān)系.

一元二次方程根的情況與一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一

次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)嗎？有什么關(guān)系？通過(guò)解下列方程你有

什么發(fā)現(xiàn)？

222(1)x+x-l=O(2)x-2x+3=0(3)2x-2x+l=0

小結(jié)

2(1)當(dāng)b—4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

2(2)當(dāng)b—4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

2(3)當(dāng)b-'4acvO時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

22把b—4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=O的根的判別式

2注：(1)當(dāng)b—4acN時(shí)，方程的根的情況如何敘述？

(2)上述的敘述：反過(guò)來(lái)也成立.

例1.不解方程，判別下列方程的根的情況：

222(1)2x+3x-4=0；(2)1.6y+0.9=2.4y；(3)5

(x+1)—7x=0.例2:解下列方程

(1)2x+x—6=0(2)4x+4x+10=1-8x22

【訓(xùn)練案】

1用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

2(1)4x-3x-l=x-2(2)3x(x-3)=2(x-l)(x+l)

22一元二次方程ax+bx+c=0(a#)的求根公式是

,條件是.

3當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式x-8x+12的值是-4.

224關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一

根為，則m的值是.

25方程x—5x—1=0()

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D。無(wú)法確定

6當(dāng)a取什么值時(shí)，關(guān)于的方程

關(guān)于的方程

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)a取什么值時(shí)，

2

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)a取什么值時(shí)，關(guān)于的方程

沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

第2課時(shí)利用一元二次方程解決面積問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、在已有的一元二次方程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，能夠?qū)ι钪?/p>

的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題，從而進(jìn)一步體會(huì)方程是刻

畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型。

2、積極主動(dòng)參與課堂自主探究和合作交流，并在其中體

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題及解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高自己的數(shù)學(xué)

應(yīng)用能力。

3、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成實(shí)事求是的態(tài)度及進(jìn)行質(zhì)疑

和激發(fā)思考的習(xí)慣。

【預(yù)習(xí)案】

知識(shí)準(zhǔn)備

解方程，并敘述解一元二次方程的解法。

【探究案】

探究點(diǎn)：利用一元二次方程解決面積問(wèn)題

小明把一張邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板的四周剪去一個(gè)同樣大

小的正方形，再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子。

2(1)如果要求長(zhǎng)方體的底面面積為81cm,那么剪去的

小正方形邊長(zhǎng)為多少？

(2)如果按下表列出的長(zhǎng)方體底面面積的數(shù)據(jù)要求，那

么剪去的正方形邊長(zhǎng)會(huì)發(fā)生什么樣的變化？折合成的長(zhǎng)方體的

體積又會(huì)發(fā)生什么樣的變化？

問(wèn)題：1、長(zhǎng)方形的底面、正方形的邊長(zhǎng)與正方形硬紙板

中的什么量有關(guān)系？

(長(zhǎng)方形的底面正方形的邊長(zhǎng)與正方形硬紙板的邊長(zhǎng)有關(guān)

系)

2、長(zhǎng)方形的底面正方形的邊長(zhǎng)與正方形硬紙板的邊長(zhǎng)存

在什么關(guān)系？

(長(zhǎng)方形的底面正方形的邊長(zhǎng)等于正方形硬紙板的邊長(zhǎng)減

去剪去的小正方形邊長(zhǎng)的2倍)

3、你能否用數(shù)量關(guān)系表示出這種關(guān)系呢？并求出剪去的

小正方形的邊長(zhǎng)。解：設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為

因?yàn)檎叫斡布埌宓倪呴L(zhǎng)為

,依題意得：

，，，

。，所以剪去的正方形邊長(zhǎng)為

4、請(qǐng)問(wèn)長(zhǎng)方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關(guān)系？

求出此時(shí)長(zhǎng)方體的體積。

（長(zhǎng)方體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形的邊長(zhǎng)一

樣；體積為）5、完成表格，與你的同伴一起交流，并討論剪

去的正方形邊長(zhǎng)發(fā)生什么樣的變化？折合成的長(zhǎng)方體的體積又

會(huì)發(fā)生什么樣的變化？

6、在你觀察到的變化中、你感到折合而成的長(zhǎng)方體的體

積會(huì)不會(huì)有最大的情況？以剪去的正方形的邊長(zhǎng)為自變量，折

合而成的長(zhǎng)方體體積為函數(shù)，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的點(diǎn),

看看與你的感覺(jué)是否一致。

例1.如圖，的邊，高，長(zhǎng)方形DEFG的一邊EF落在BC

上，頂點(diǎn)D、

,試求這長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)。G分別落在AB和AC上，如果

這長(zhǎng)方形面積

【訓(xùn)練案】

1.如圖，寬為50cm的矩形圖案由10個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼

成，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為（

）

A.400cmB.500cmC.600cmD.4000cm

2.在一幅長(zhǎng)80cm,寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金

色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的

面積是5400cm,設(shè)金色紙邊的寬為xcm,那么x滿足的方程

是()

2

2222

A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-

1400=0D.x2-65x-350=03.如圖，面積為30m的正方形的四個(gè)

角是面積為2m的小正方形，用計(jì)算器求得a的長(zhǎng)為(保留3

個(gè)有效數(shù)字)()

22

A.2.70mB.2.66mC.2.65mD.2.60m

4.如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊靠墻，另外三

面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長(zhǎng)為

35m,所圍的面積為150m,則此長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分

別為.2

5、某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長(zhǎng)750m,斷面為等腰梯形的渠道,

斷面面積為1.6m,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多

0.4m.(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

(2)如果計(jì)劃每天挖土48m,需要多少天才能把這條渠

道挖完？

6、學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一塊長(zhǎng)40米、寬20米的

長(zhǎng)方形空地上計(jì)劃新建一塊長(zhǎng)9米、寬7米的長(zhǎng)方形花圃.

(1)若請(qǐng)你在這塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，使它的

面積比學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃的面積多1平方米，請(qǐng)你給

出你認(rèn)為合適的三種不同的方案.

(2)在學(xué)校計(jì)劃新建的長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)不變的情況下，

長(zhǎng)方形花圃的面積能否增加2平方

3

2

米？如果能，請(qǐng)求出長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)和寬；如果不能，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

2.4用因式分解法求解一元二次方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解因式分解法的解題步驟；

2.能用因式分解法解一元二次方程。

重點(diǎn)：應(yīng)用因式分解法解一元二次方程

難點(diǎn)：：讓學(xué)生通過(guò)比較解一元二次方程的多種方法感悟

用因式分解法使解題簡(jiǎn)便.

【預(yù)習(xí)案】

1、(1)將一個(gè)多項(xiàng)式(特別是二次三項(xiàng)式)因式分解，

有哪幾種分解方法？

(2)將下列多項(xiàng)式因式分解

22222①3x—4x②4x—9y③x—6xy+9y

?(2x+l)+4(2x+1)+42

【探究案】

探究點(diǎn)1：適合用因式分解法解一元二次方程的特點(diǎn)

(1)上面兩個(gè)方程中常數(shù)項(xiàng)為

(2)等式左邊的各項(xiàng)有共同因式都可以因式分解：

象這樣的方程又有一種方法解一元二次方程

探究點(diǎn)2：用因式分解法解一元二次方程

上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成：

(1)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于，至少其中一個(gè)因式要等于，也

就是(1)x=0或2x+l=0,所以x

1

=0,x

2

(2)3x=0或x+2=0,所以x

1

=0,x

2

=-2.

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用

開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等

于的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種

解法叫做因式分解法.

例1.解方程

22(1)4x=llx(2)(x-2)=2x-4(3)x(x-2)+x—2=0

自我測(cè)試

1.用因式分解法解下列方程.

(1)3y-6y=0(2)25y-16=0(3)x-12x-28=0

(4)x-12x+35=0(5)(2x-l)—x=0(6)x+3—x

(x+3)=02.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(x-3)(x-5)=10x2,/.x-3=10,x-5=2,.*.x

1

=13,x

2

=7

222

222

B.(2-5x)+(5x-2)=0,???(5x-2)(5x-3)=0,Ax

1

2

2,x

2

C.(x+2)+4x=0,/.x

1

=2,x

2

=-2

2D.x=x兩邊同除以x,得x=l

23.如果不為零的n是關(guān)于x的方程x-mx+n=O的根，那

么m-n的值為().

A.-

2

B.-1C.D.1

4.x-5x因式分解結(jié)果為；2x(x-3)-5(x-3)因

式分解的結(jié)果是.

22.方程(2x-l)=2x-l的根是.

223.二次三項(xiàng)式x+20x+96分解因式的結(jié)果為

如果令x+20x+96=0,那么它的兩個(gè)根是.

【訓(xùn)練案】

1解方程:(D3x(x—1)=2(x—1)(x+1)

(2)(3x-l)-4x=0(3)x-3x-4=0(4)x-7x+6=02222

(5)x+4x-5=0

2.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y的值.

3.今年初，湖北武穴市發(fā)生禽流感，某養(yǎng)雞專業(yè)戶在禽

流感后，打算改建養(yǎng)雞場(chǎng)，建一個(gè)

2面積為150m的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng).為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)的

一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)am,另三邊用竹籬圍成，如果

籬笆的長(zhǎng)為35m,問(wèn)雞場(chǎng)長(zhǎng)與寬各為多少？(其中吟20m)

2

4已知9a-4b=0,求代數(shù)式22的值.

2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、在已有的一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，探索出一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及其此關(guān)系的運(yùn)用。

2、通過(guò)觀察、實(shí)踐、討論等活動(dòng)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)

關(guān)系的過(guò)程。

重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用

難點(diǎn)：探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【預(yù)習(xí)案】

利用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)然后完成列任務(wù)。

1、一元二次方程

(1)當(dāng)

(2)當(dāng)

(3)當(dāng)

根的判別式為：

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

反之：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝I;方程有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根，

貝心方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，貝L

閱讀課本49至50頁(yè)例題以上內(nèi)容，請(qǐng)你歸納出一元二次

方程根與系的關(guān)系，然后完成下列任務(wù)。

2、先判斷下列方程根的情況然后解出下列有解方程的兩

根，再完成：

①求出每個(gè)方程的兩根和、兩根積；

②求出各方程中一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)和

常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的商。

(1)x-2x+l=0(2)x-2

2

22x-l=0(3)2x-3x+l=02

3、寫(xiě)出一元二次方程ax+bx+c=O(a#))的求根公式，并計(jì)

算出兩根和、兩積。想一想，一元二次方程根與系數(shù)有怎樣的

關(guān)系？

4、通過(guò)2、3兩題的結(jié)果，不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)

系求出下列方程的兩根和、兩根積。

(1)x2+3x+1=0；(2)3x2-2x-1=0；(3)

2x2+5x=0o

【探究案】

1、提問(wèn)：一元二次方程根的判別式是什么？

三、自主探究合作釋疑

【自主學(xué)習(xí)一】：在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，再次閱讀課本49頁(yè),

然后獨(dú)立完成下列問(wèn)題(6分鐘)：

1、寫(xiě)出下列每個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)

項(xiàng)。

(1)x-2x+l=0(2)x-222x-l=0(3)2x-3x+l=0

x-l=O(3)2x-3x+l=O的兩根2

2

2、求出方程(1)x2-2x+l=0(2)x2-2

和、兩根積。

3、求出每個(gè)方程一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)

和常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的商；并比較第2小題的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)

了什么？

合作探究：P49頁(yè)，小組共同證