全等三角形證明方法歸納經(jīng)典-1文檔資料

全等三角形證明方法歸納經(jīng)典全等三角形的證明，主要應(yīng)用在證明邊或者是角相等的時(shí)候，作為重要的證明手段，很多方法是可以歸納總結(jié)出來的，要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵。全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，同時(shí)能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系．而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線。以下通過典型例題的方式詳解五種常見輔助線的做法。首先我們學(xué)習(xí)一下找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；③引平行線構(gòu)造全等三角形；④作連線構(gòu)造等腰三角形。1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用；2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。點(diǎn)撥：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。2、若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。又因?yàn)锳D是BC邊上的中線，∴BD=DC又∠BDE=∠CDA，所以ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。點(diǎn)撥：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長(zhǎng)此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)锳C是∠BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F?！逜C平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。點(diǎn)撥：①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；②見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析：

本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。點(diǎn)撥：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例5：如圖甲，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：

本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙在△FCE與△BCE中，CF=CB,∠FCE=∠BCE，CE=CE∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∠FDE=∠ADE,DE=DE,∠3=∠4,△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。全等三角形經(jīng)典模型總結(jié)角平分線模型(一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：（雙垂直）過點(diǎn)G作GE⊥射線AC1、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.2、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)輔助線：1.延長(zhǎng)ED交射線OB于F輔助線2.過點(diǎn)E作EF∥射線OB例1.如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于M.求證：AM=1/2(AB+

AC).2（三）角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全（截長(zhǎng)）飛鏢形輔助線：都是在射線ON上取點(diǎn)B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點(diǎn)（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC.3、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，

求證：AD＋BD＝BC（四）一線三等角模型（弦圖模型）（不一定垂直，滿足三個(gè)角相等即可）1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于點(diǎn)E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠CDF.變式1,已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.變式2.在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.三，手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四點(diǎn)共圓證）拓展：1.△ABC和△CDE均為等邊三角形1.AD＝BE；2.∠ACB＝∠AOB；3.△PCQ為等邊三角形；4.PQ∥AE；5.AP＝BQ；6.CO平分∠AOE；（四點(diǎn)共圓證）7.OA＝OB＋OC；8.OE＝OC＋OD.(7.8.需構(gòu)造等邊三角形證明）2.△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD.3.四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF.例3.如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．1.求證：△AMB≌△ENB；2.若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；3.小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，4.則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．四、半角模型思路：1.補(bǔ)短（旋轉(zhuǎn)）輔助線：①延長(zhǎng)CD到E,使ED=BM,連AE或延長(zhǎng)CB到F,使FB=DN,連AF②將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證F,B,M三點(diǎn)共線結(jié)論：（1）MN＝BM＋DN；（2）三角形CMN的周長(zhǎng)=2AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.2、翻折（對(duì)稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN于點(diǎn)P②將△ADN，△ABM分別沿AN，AM翻折，但一定要證明M，P，N三點(diǎn)共線.例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；（2）三角形CMN的周長(zhǎng)=2AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分