施圖姆-劉維爾本征值問題課件

施圖姆-劉維爾本征值問題課件1構成施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）本征值問題（本征值的全體稱為給定問題的“譜”）。

§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題一、為本征值；為權重因子（權函數(shù)）構成施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）本2例：例：3施圖姆-劉維爾本征值問題課件4施圖姆-劉維爾本征值問題課件5貝塞爾方程（本征值問題參閱P328）貝塞爾方程（本征值問題參閱P328）6（即厄米特方程（見P487）（即厄米特方程（見P487）7（即拉蓋爾方程）（見P490）（即拉蓋爾方程）（見P490）8①以上各例中，在區(qū)間上都取正值；注意：②關于自然邊界條件是否存在：如端點a或b是k(x)的一階零點，在該端點就存在自然邊界條件.①以上各例中，在區(qū)間上都取正值；注意：②關于自然邊界條件是否9共同條件：則存在無限多個本征值且相應有無限多個本征函數(shù)二、施圖姆-劉維爾本征值問題的性質(zhì)：定理1：若在且最多以上連續(xù)，為一階極點，共同條件：則存在無限多個本征值且相應有無限多個本征函數(shù)二、施10證明對應的本征函數(shù)為，是方程的根.本征值設:則證明對應的本征函數(shù)為，是方程的根.本征值設:則11施圖姆-劉維爾本征值問題課件12討論：對第一、第二類邊界條件：對第三類邊界條件：討論：對第一、第二類邊界條件：對第三類邊界條件：13上式大于零，因為第一項同理第二項得上式大于零，因為第一項同理第二項得14證明：定理2：相應于不同本征值的本征函數(shù)在區(qū)間即上帶權重正交，兩式分別乘以，相減證明：定理2：相應于不同本征值的本征函數(shù)在區(qū)間即上帶權重正交15逐項積分逐項積分16討論(證明同上):又討論(證明同上):又17則必可展為絕對且一致收斂的廣義傅立葉級數(shù)稱為廣義傅立葉系數(shù)；完備的，即若函數(shù)滿足廣義的狄利克雷條件：定理3：所有的本征函數(shù)族是(1)具有連續(xù)一階導數(shù)和逐段連續(xù)二階導數(shù)；所滿足的邊界條件，(2)滿足本征函數(shù)族則必可展為絕對且一致收斂的廣義傅立葉級數(shù)稱為廣義傅立葉系數(shù)；18其中模方證明：當正交關系和模是今后研究特殊函數(shù)的兩個重要課題其中模方證明：當正交關系和模是今后研究特殊函數(shù)的兩個重要課題19關于歸一化問題：正交關系即歸一化本征函數(shù)族。，當，對本征函數(shù)族，可用作為新的關于歸一化問題：正交關系即歸一化本征函數(shù)族。，當，對本征函數(shù)20一般定義：正交關系：復數(shù)本征函數(shù)族模：廣義傅里葉級數(shù)及系數(shù)公式：一般定義：正交關系：復數(shù)本征函數(shù)族模：廣義傅里葉級數(shù)及系數(shù)公2