高等量子力學-密度算符和密度矩陣課件

§14密度矩陣§14-1純態(tài)和混合態(tài)§14-2密度算符和密度矩陣§14-3例§14密度矩陣§14-1純態(tài)和混合態(tài)1§14-1純態(tài)和混合態(tài)(14.1)

這個狀態(tài)也是純態(tài).

§14-1純態(tài)和混合態(tài)(14.1)這個狀態(tài)也是純態(tài).2

(14.2)

(14.2)3

(14.3)

(14.4)

(14.3)(14.4)4以上的說法若在X表象中說,純態(tài)的函數(shù)為而混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可以寫成而在混合態(tài)中為相干疊加

不相干疊加

以上的說法若在X表象中說,純態(tài)的函數(shù)為而混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可以5高等量子力學-密度算符和密度矩陣ppt課件6高等量子力學-密度算符和密度矩陣ppt課件7§14-2密度算符和密度矩陣

我們希望找到一個單一的數(shù)學量去描寫混合態(tài),這個量就是本節(jié)要介紹的密度算符.先從純態(tài)開始.一、密度算符的定義

物理量A的平均值：

密度算符：

注意構造密度算符時必須使用歸一化的態(tài)矢量.

(14.5)

(14.6)

§14-2密度算符和密度矩陣我們希望找到8(14.7)

(14.7)9下面看混合態(tài).取一個比(14.2)式更一般的混合態(tài)如下：(14.8)

物理量A在這個混合態(tài)中的平均值：

混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計算符：

(14.9)

(14.10)

下面看混合態(tài).取一個比(14.2)式更一般的混合態(tài)如下：(10

(14.11)

(14.9)和(14.11)二式與純態(tài)情況(14.5)和(14.7)二式完全一樣；而混合態(tài)的密度算符是參與混合態(tài)的那些純態(tài)的密度算符的加權平均.(14.11)(14.9)和(14.11)11

(14.12)

而在薛定諤繪景中,密度算符則是一個含時算符：

(14.13)

(14.14)

這是密度算符的運動方程,稱為劉維方程.與海森伯繪景不同.二、劉維方程(14.12)而在薛定諤繪景中,密度算符則是一個含時算12

(14.15)

(14.15)13密度算符在一個具體表象中的矩陣稱為密度矩陣.在薛定諤繪景中的密度矩陣是含時的,而在海森伯繪景中,密度矩陣則是不含時的.密度矩陣中的“密度”一詞是歷史上形成的,并不貼切,不必深究.

(14.16)密度算符在一個具體表象中的矩陣稱為密度矩陣.14

(14.17)

對于這樣的矩陣,其跡是

(14.18)

(14.17)對于這樣的矩陣,其跡是(14.18)15三、密度算符的一些性質

我們研究一個一般的混合態(tài)：

(14.19)

1、(14.20)

三、密度算符的一些性質我們研究一個一般的混合態(tài)：(14.162、

(14.21)

(混合態(tài))

2、(14.21)(混17(純態(tài))

3、密度算符是厄米的：

(純態(tài))3、密度算符是厄米的：18

(14.22)證明：

(14.22)證明：19非正交的：正交的：非正交的：正交的：20式中式中21

(14.24)

(14.25)

(14.26)由以上三式可見,用一組正交基表現(xiàn)一個系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的.一個系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式：

(14.27)

(14.28)(14.24)(14.25)(14.22高等量子力學-密度算符和密度矩陣ppt課件23四、約化密度矩陣

(14.29)四、約化密度矩陣(14.29)24(14.30)(14.31)(14.30)(14.31)25

令

(14.32)令(126(14.33)這一表式完全與粒子2無關,是一個只在粒子1空間中的關系.(14.33)這一表式完全與粒子2無關,是一個只在粒子127高等量子力學-密度算符和密度矩陣ppt課件28由(14.32)和(14.31)式知

(14.34)這是一個(14.27)式類型的密度算符.由(14.32)和(14.31)式知(14.34)這是一29§14-3例我們來看幾個自旋態(tài)的例子,自旋態(tài)很能說明問題,而且空間維數(shù)少,比較簡單.純態(tài)混合態(tài)§14-3例我們來看幾個自旋態(tài)的例子,自旋態(tài)很30(14.35)（1）純態(tài)由此可算出

(14.35)（1）純態(tài)由此可算出31（2）混合態(tài)由此算出

討論：首先，由所得結果可明顯看出，混合態(tài)確是兩個態(tài)的不相干疊加。在混合態(tài)中，保存了原有兩態(tài)的特點。（2）混合態(tài)由此算出討論：首先，由所得結果可明顯看出，混32則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)不是原來哪個純態(tài)了，而混合態(tài)的密度矩陣則無變化。可見，在相干疊加構成純態(tài)時，兩態(tài)的相因子非常重要。則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)33下面看一個非正交態(tài)構成的混合態(tài)：例2：我們來研究下列混合態(tài)（14.36）這個態(tài)的密度矩陣為（14.37）下面看一個非正交態(tài)構成的混合態(tài)：例2：我們來研究下列混34（14.38）（14.38）式所表示的混合態(tài)，其密度矩陣是（14.37）式，與（14.36）式所表示的混合態(tài)密度矩陣相同。通常認為14.36）式與（14.38）式是相同的混合態(tài)。前者的參與態(tài)不是正交的，而后者則是正交的。（14.38）（14.38）式所表示的混合態(tài)，其密度矩陣是35

現(xiàn)在取這個雙粒子系統(tǒng)的一個純態(tài)：求其中電子自旋的平均值。

36解：首先用整個系統(tǒng)的密度矩陣來做，然后再用約化矩陣來做。系統(tǒng)的態(tài)矢量的矩陣形式是基矢的矩陣形式是解：首先用整個系統(tǒng)的密度矩陣來做，然后再用約化矩陣來做。系統(tǒng)37密度矩陣是密度矩陣是38于是得同理，得于是得同理，得39高等量子力學-密度算符和密度矩陣ppt課件40與前