數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)

第一章實數(shù)集與函數(shù)

§1實數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第一章實數(shù)集與函數(shù)

§1實數(shù)§2數(shù)集確界原理11.1實數(shù)一.實數(shù)及其性質(zhì)二.絕對值與不等式1.1實數(shù)一.實數(shù)及其性質(zhì)二.絕對值與不等式2

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù).實數(shù)對正整數(shù)對負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無限小數(shù)，再在無限小數(shù)前加負(fù)號．如:-8=-7.999一.實數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.若規(guī)定：則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成3說明:

對于負(fù)實數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)2.兩個實數(shù)的大小關(guān)系

說明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個非負(fù)實數(shù)LLLLLLL

1)定義1

說明:對于負(fù)實數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y4定義2設(shè)

為實數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)

稱為x的n位過剩近似，n=0,1,2,….為非負(fù)實數(shù).稱有理數(shù)2)通過有限小數(shù)比較大小的等價條件定義2設(shè)為實數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)稱為x的5

對于負(fù)實數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為和

注意：對任何實數(shù)x,有,對于負(fù)實數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為和注意：對6命題1

設(shè)實數(shù)的性質(zhì)

1.實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實數(shù).

2.實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a,b必滿足下述三個關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個實數(shù)，則命題1設(shè)實數(shù)的性質(zhì)1.實數(shù)集R對加,減,73.實數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù),且既有有理數(shù),也有無理數(shù).6.實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對任何

實數(shù)具有阿基米德性

3.實數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c8例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee例1證明例2證明.:9a0-a二.絕對值與不等式從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離：

絕對值定義：a0-a二.絕對值與不等式從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距10絕對值的一些主要性質(zhì)絕對值的一些主要性質(zhì)11性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出12幾個重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)幾個重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值13有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.⑶Bernoulli不等式:有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)14⑷利用二項展開式得到的不等式:由二項展開式⑷利用二項展開式得到的不等式:由二項展開式15TheClassisover.Goodbye!TheClassisover.Goodbye!16§2數(shù)集·確界原理?！?數(shù)集·確界原理17數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)18

無限區(qū)間

無限區(qū)間19xx20（見下頁示圖）（見下頁示圖）21數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)22數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)23MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界24數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)25確確26數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)272、3、上2、3、上28§1.3函數(shù)概念映射函數(shù)的概念幾個特殊的函數(shù)舉例函數(shù)的性質(zhì)§1.3函數(shù)概念映射29一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個非空集合，若對X中的每一個元素x，均可找到Y(jié)中唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)是集合X到集合

Y的一個映射，記為f，或者更詳細(xì)地寫將x的對應(yīng)元y記作1.映射的概念一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個非空集合，若對X中的每30并稱y為映射f下x的像，而x稱為映射f下y的原像(或稱為逆像).集合X稱為映射f的定義域，記作，而X的所有元素的像f(x)的集合稱為映射f的值域，記為并稱y為映射f下x的像，而x稱為映射f下31概括起來，構(gòu)成一個映射必須具備下列三個基本要素：有唯一確定的y=f(x)與之對應(yīng).需要指出的是：（1）映射要求元素的像必須是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.概括起來，構(gòu)成一個映射必須具備下列三個基本要32定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個映射，若f的逆像也是唯一的，即對X中的任意兩個不同元素x1≠x2，它們的像y1與y2也滿足y1≠y2，則稱f為單射；如果映射f滿足Rf=Y，則稱f為滿射；如果映射f既是單射，又是滿射，則稱f為雙射（又稱一一對應(yīng)）.2一一對應(yīng)定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個映射，若f的333.逆映射逆映射：如果映射f既是單射，又是滿射，則

逆映射，3.逆映射逆映射：如果映射344.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個和新的對應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.4.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個和新的對應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.35

二函數(shù)概念

函數(shù)是整個高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對象,可以說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個清楚的認(rèn)識.

二函數(shù)概念36例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n邊形Or)例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n邊形Or)37因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為值域，記為：因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=D.38對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.自變量因變量約定:39定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總40表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的

函數(shù)的表示法表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、41單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對每個xD,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).如果給定一個對應(yīng)法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):下頁此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支單值函數(shù)與多值函數(shù)例如,由42此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

(2)

(1)常值函數(shù)y=c.其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={c}.下頁三幾個特殊的函數(shù)舉例此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),(243(3)符號函數(shù)

其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.(3)符號函數(shù)44(4)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)階梯曲線其定義域為D=(-,+),其值域為

=Z.

(4)取整函數(shù)y=[x]階梯曲線45（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是46有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域為D=(-,+),其值域為={0,1}.有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域為47(7)取最值函數(shù)yxoxo(7)取最值函數(shù)yxoxo48在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),49例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U50數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)51例2解故例2解故52四、復(fù)合函數(shù)

在實際問題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個比較簡單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡諧振動中位移y與時間t的函數(shù)關(guān)系就是由三角函數(shù)和線性函數(shù)“疊置”而成的，四、復(fù)合函數(shù)在實際問題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是53定義:注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;——復(fù)合條件定義:注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;54復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實際應(yīng)用時常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實際應(yīng)用時常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落55數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)56數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)57數(shù)學(xué)分析課件之第一章實數(shù)集與函數(shù)58五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).59的反函數(shù)，記為

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。的反函數(shù)，記為顯然有(恒等變換）(恒等變換)。60這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為.這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱61

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。但1-1對應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己.

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有62

實際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：

(1).確定的定義域和值域，考慮1-1對應(yīng)條件。固定，解方程

得出。(2).按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.的定義域和值域，考慮1-1對應(yīng)條件。固定，解方程得63六初等函數(shù)１、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)六初等函數(shù)１、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)64冪函數(shù)冪函數(shù)65（2）.指數(shù)函數(shù)（2）.指數(shù)函數(shù)66（3）.對數(shù)函數(shù)（3）.對數(shù)函數(shù)67(4)三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|sinx|≤1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式(4)三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|sinx|≤68三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：69三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：70正割函數(shù)余割函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)71(5)反三角函數(shù)的圖象(5)反三角函數(shù)的圖象72冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角732.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例3解2.