換元積分法課件

一、第一類(lèi)換元積分法二、第二類(lèi)換元積分法§5.4換元積分法一、第一類(lèi)換元積分法二、第二類(lèi)換元積分法§5.4換元積分引例一、第一類(lèi)換元積分法引例一、第一類(lèi)換元積分法觀(guān)察湊微分換元回代已知（湊微分法）一、第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法過(guò)程：觀(guān)察湊微分換元回代已知（湊微分法）一、第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)一、第一類(lèi)換元積分法如果f(u)、

(x)及

(x)都是連續(xù)函數(shù)

且

證明

只要證明{F[

(x)]}

f[

(x)]

(x)

設(shè)F

(u)

f(u)

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式易知

f[

(x)]

(x)

f(u)

(x)

F

(u)

(x){F[

(x)]}

一、第一類(lèi)換元積分法如果f(u)、(x)及觀(guān)察湊微分換元回代一、第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法過(guò)程：觀(guān)察湊微分換元回代一、第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法過(guò)程：

解

(令u

2x

1)再將u

2x

1代入上式得觀(guān)察湊微分換元回代解(令u2x1)再將u2x1代入

解

(令u

x2

3)觀(guān)察湊微分換元回代解(令ux23)觀(guān)察湊微分換元回代觀(guān)察湊微分換元回代觀(guān)察湊微分換元回代換元積分法ppt課件特殊類(lèi)型三角函數(shù)的積分：形如(1)m,n中有一個(gè)為奇數(shù)：(2)m,n均為正偶數(shù)：降冪特殊類(lèi)型三角函數(shù)的積分：形如(1)m,n中有一個(gè)為奇解求解求解求解求換元積分法ppt課件

ln|cscx

cotx|

C

ln|cscxcotx|C練習(xí)計(jì)算下列不定積分練習(xí)計(jì)算下列不定積分二、第二類(lèi)換元積分法

x

t2

3

此時(shí)dx

2tdt

二、第二類(lèi)換元積分法xt23此時(shí)dx2tdt

設(shè)x

(t)單調(diào)可導(dǎo)

且

(t)

0

如果f(x)的原函數(shù)不易求得

而復(fù)合函數(shù)f[

(t)]

(t)的原函數(shù)F(t)易于求得

則有積分法

這是因?yàn)?/p>

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則

二、第二類(lèi)換元積分法求微分設(shè)x(t)單調(diào)可導(dǎo)且(t)0二、第二類(lèi)換元積分法------根式代換

x

t2

3

此時(shí)dx

2tdt

二、第二類(lèi)換元積分法------根式代換xt23換元積分法ppt課件換元積分法ppt課件練習(xí)練習(xí)

解

設(shè)x

asint

則dx

acostdt

且二、第二類(lèi)換元積分法------三角代換解設(shè)xasint則dxacostd

解

設(shè)x

atan

t

則dx

asec2tdt

且

ln|sect

tan

t|

C1

其中C

C1

lna

解設(shè)xatant則dxase

解

設(shè)x

asec

t

則dx

asec

t

tan

tdt

且其中C

C1

lna

解設(shè)xasect則dxasec（1）一般令或（2）一般令或（3）一般令或總結(jié)例10～12，有如下規(guī)律：若被積函數(shù)含有如下“根號(hào)形式”時(shí)：二、第二類(lèi)換元積分法------三角代換（1）一般令或（2）一般令或（3）一般令或總結(jié)例10～12，練習(xí)練習(xí)就有

萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分.令二、第二類(lèi)換元積分法------萬(wàn)能代換就有萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分.令二、第二類(lèi)換元例13

解法一(用萬(wàn)能代換)

解法二

(用初等化簡(jiǎn))例13解法一(用萬(wàn)能代換)解法二(用初等化解法三(用初等化簡(jiǎn),并湊微分)

解法三(用初等化簡(jiǎn),并湊微分)

解:例14