換元積分法課件

一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法§5.4換元積分法一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法§5.4換元積分引例一、第一類換元積分法引例一、第一類換元積分法觀察湊微分換元回代已知（湊微分法）一、第一類換元積分法第一類換元積分法過程：觀察湊微分換元回代已知（湊微分法）一、第一類換元積分法第一類一、第一類換元積分法如果f(u)、

(x)及

(x)都是連續(xù)函數(shù)

且

證明

只要證明{F[

(x)]}

f[

(x)]

(x)

設(shè)F

(u)

f(u)

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式易知

f[

(x)]

(x)

f(u)

(x)

F

(u)

(x){F[

(x)]}

一、第一類換元積分法如果f(u)、(x)及觀察湊微分換元回代一、第一類換元積分法第一類換元積分法過程：觀察湊微分換元回代一、第一類換元積分法第一類換元積分法過程：

解

(令u

2x

1)再將u

2x

1代入上式得觀察湊微分換元回代解(令u2x1)再將u2x1代入

解

(令u

x2

3)觀察湊微分換元回代解(令ux23)觀察湊微分換元回代觀察湊微分換元回代觀察湊微分換元回代換元積分法ppt課件特殊類型三角函數(shù)的積分：形如(1)m,n中有一個為奇數(shù)：(2)m,n均為正偶數(shù)：降冪特殊類型三角函數(shù)的積分：形如(1)m,n中有一個為奇解求解求解求解求換元積分法ppt課件

ln|cscx

cotx|

C

ln|cscxcotx|C練習(xí)計算下列不定積分練習(xí)計算下列不定積分二、第二類換元積分法

x

t2

3

此時dx

2tdt

二、第二類換元積分法xt23此時dx2tdt

設(shè)x

(t)單調(diào)可導(dǎo)

且

(t)

0

如果f(x)的原函數(shù)不易求得

而復(fù)合函數(shù)f[

(t)]

(t)的原函數(shù)F(t)易于求得

則有積分法

這是因為

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則

二、第二類換元積分法求微分設(shè)x(t)單調(diào)可導(dǎo)且(t)0二、第二類換元積分法------根式代換

x

t2

3

此時dx

2tdt

二、第二類換元積分法------根式代換xt23換元積分法ppt課件換元積分法ppt課件練習(xí)練習(xí)

解

設(shè)x

asint

則dx

acostdt

且二、第二類換元積分法------三角代換解設(shè)xasint則dxacostd

解

設(shè)x

atan

t

則dx

asec2tdt

且

ln|sect

tan

t|

C1

其中C

C1

lna

解設(shè)xatant則dxase

解

設(shè)x

asec

t

則dx

asec

t

tan

tdt

且其中C

C1

lna

解設(shè)xasect則dxasec（1）一般令或（2）一般令或（3）一般令或總結(jié)例10～12，有如下規(guī)律：若被積函數(shù)含有如下“根號形式”時：二、第二類換元積分法------三角代換（1）一般令或（2）一般令或（3）一般令或總結(jié)例10～12，練習(xí)練習(xí)就有

萬能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分.令二、第二類換元積分法------萬能代換就有萬能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分.令二、第二類換元例13

解法一(用萬能代換)

解法二

(用初等化簡)例13解法一(用萬能代換)解法二(用初等化解法三(用初等化簡,并湊微分)

解法三(用初等化簡,并湊微分)

解:例14