重難點突破03 三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）（原卷版）

重難點突破03三角形中的范圍與最值問題目錄1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結果的范圍過大．2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：（1）求角的最值；（2）求邊和周長的最值及范圍；（3）求面積的最值和范圍．題型一：周長問題例1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．例2．（2023·甘肅武威·高三武威第六中學?？茧A段練習）在銳角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周長l的范圍.例3．（2023·全國·高三專題練習）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．在銳角中，內角、、，的對邊分別是、、，且______(1)求角的大??；(2)若，求周長的范圍．變式1．（2023·全國·模擬預測）在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求周長的范圍.變式2．（2023·陜西西安·高三西安中學?？茧A段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．(1)求角A的大小；(2)求周長的范圍．題型二：面積問題例4．（2023·全國·模擬預測）已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．例5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）如圖，某植物園內有一塊圓形區(qū)域，在其內接四邊形內種植了兩種花卉，其中區(qū)域內種植蘭花，區(qū)域內種植丁香花，對角線BD是一條觀賞小道．測量可知邊界，，．（1）求觀賞小道BD的長及種植區(qū)域的面積；（2）因地理條件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調整，使得種植蘭花的面積有所增加，請在BAD上設計一點P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個面積的最大值．例6．（2023·山東青島·高三青島三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關系式：，且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．變式3．（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學校考階段練習）如圖所示，某住宅小區(qū)一側有一塊三角形空地，其中，，．物業(yè)管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．(1)若在距離點處，求點，之間的距離；(2)設，①求出的面積關于的表達式；②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個最小面積．變式4．（2023·全國·高三專題練習）在中，．（1）D為線段上一點，且，求長度；（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．變式5．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知在中，內角，，的對邊分別為，，，且.（1）若，，求的大?。唬?）若，且是鈍角，求面積的大小范圍.題型三：長度問題例7．（2023·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末）已知銳角內角的對邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.例8．（2023·福建莆田·高三?？计谥校┰谥?，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．例9．（2023·重慶江北·高三校考階段練習）在中，內角，，所對的邊分別，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，當僅有一解時，寫出的范圍，并求的取值范圍.變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足條件；，．（I）求角A的值；（Ⅱ）求的范圍．變式7．（2023·全國·高三專題練習）在中，分別是角的對邊.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.變式8．（2023·山西運城·統(tǒng)考模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若是銳角三角形，，求的范圍.變式9．（2023·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）設為的垂心，且，求的范圍.題型四：轉化為角范圍問題例10．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.例11．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角、、的對邊分別為、、，且．(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍．例12．（2023·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習）設的內角的對邊分別為，已知．(1)判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；(2)求的最小值．變式10．（2023·廣東佛山·高一大瀝高中?？茧A段練習）已知的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且；(1)若，判斷的形狀并說明理由；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.變式11．（2023·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大?。?2)求的取值范圍.變式12．（2023·江西吉安·高二江西省峽江中學?？奸_學考試）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是，．（1）求角A的大小；（2）求的取值范圍．變式13．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：倍角問題例13．（2023·浙江紹興·高一諸暨中學?？计谥校┰阡J角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若，求a的取值范圍；(3)若的三邊邊長為連續(xù)的正整數(shù)，求的面積．例14．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角，，的對邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（

）A． B． C． D．例15．（2023·全國·高三專題練習）銳角的角所對的邊為，，則的范圍是_________．變式14．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，的面積為5，若，則的取值范圍為______．變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．變式16．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，，的對邊長分別是，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中學?？茧A段練習）在銳角中，，，的對邊分別是，，則的范圍是（

）A． B． C． D．變式18．（2023·江蘇南京·高一金陵中學?？计谥校┮阎鰽BC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C，若A＝2B，則的最小值為（

）A．－1 B． C．3 D．題型六：角平分線問題例16．（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學?？茧A段練習）已知的內角的對邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若角的平分線交于點，且，求的最小值.例17．（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）如圖，中，，的平分線AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；(2)若，求AD的取值范圍．例18．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）在①，②，③．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．(1)求角C的值；(2)若角C的平分線交于點D，且，求的最小值．變式19．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知的內角所對的邊分別為，且，角A的平分線與邊交于點.(1)求角A；(2)若，求的最小值.變式20．（2023·山東泰安·校考模擬預測）在銳角中，內角所對的邊分別為，滿足，且．(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．變式21．（2023·全國·高一專題練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角的大?。?2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值．變式22．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點.(1)當為邊中點時，若，求的長度；(2)當為的平分線時，若，求的最大值.題型七：中線問題例19．（2023·湖南長沙·高一雅禮中學校考期中）在銳角中，角的對邊分別是，，，若(1)求角的大?。?2)若，求中線長的范圍（點是邊中點）.例20．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．例21．（2023·全國·高一專題練習）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．變式23．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若(1)求角A的大小；(2)若，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．變式24．（2023·廣東廣州·高二廣州六中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，求邊上的中線長度的最小值．題型八：四心問題例22．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）設（是坐標原點）的重心、內心分別是，且，若，則的最小值是__________．例23．（2023·全國·高三專題練習）在中，分別為內角的對邊，且.（1）求角的大??；（2）若，為的內心，求的最大值.例24．（2023·全國·模擬預測）已知銳角三角形的內角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的垂心，，求面積的最大值.變式25．（2023·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校┰谥校謩e是角的對邊，．(1)求角A的大?。?2)若為銳角三角形，且其面積為，點為重心，點為線段的中點，點在線段上，且，線段與線段相交于點，求的取值范圍.變式26．（2023·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．(1)求C的大小；(2)若G是的重心，求面積的最大值．變式27．（2023·遼寧撫順·高一撫順一中校考階段練習）如圖，記銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A的角平分線交BC于點D，O為的重心，過O作，交AD于點P，過P作于點E.(1)求的取值范圍；(2)若四邊形BDPE與的面積之比為，求的取值范圍.變式28．（2023·浙江·高一路橋中學校聯(lián)考期中）若O是的外心，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知是三角形的外心，若，且，則實數(shù)的最大值為（

）A．6 B． C． D．3題型九：坐標法例25．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，點在內部，，則的最小值為______．例26．（2023·全國·高一專題練習）在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．例27．（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知B，C為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍是___________.變式30．（2023·全國·高三專題練習）在中，，且所在平面內存在一點使得，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．變式31．（2023·全國·高三專題練習）在等邊中，為內一動點，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．變式32．（2023·江西·高三校聯(lián)考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．題型十：隱圓問題例28．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（

）A．27 B．16 C．10 D．25例29．（2023·江蘇泰州·高三階段練習）已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.例30．（2023·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學?？奸_學考試）已知等邊的邊長為2，點G是內的一點，且，點P在所在的平面內且滿足，則的最大值為________.變式33．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形ABCD中，，，．若，則的最小值為____．變式34．（2023·全國·高三專題練習）若滿足條件，，則面積的最大值為__.變式35．（2023·江蘇·高三專題練習）在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．變式36．（2023·全國·高三專題練習）中，所在平面內存在點P使得，，則的面積最大值為__________________．變式37．（2023·全國·高三專題練習）已知中，，所在平面內存在點使得，則面積的最大值為__________．題型十一：兩邊夾問題例31．（2023·全國·高三專題練習）在中，若，且的周長為12．(1)求證：為直角三角形；(2)求面積的最大值．例32．（2023·全國·高三專題練習）設的內角的對邊長成等比數(shù)列，，延長至，若，則面積的最大值為__________.例33．（2023·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C的對邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數(shù)列，且，延長邊BC到D，若，則面積的最大值為______．題型十二：與正切有關的最值問題例34．（2023·全國·高一專題練習）在銳角三角形中，角??的對邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.例35．（2023·全國·高一階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A角的值；(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.例36．（2023·全國·高三專題練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．變式38．（2023·全國·高三專題練習）銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中學?？计谥校┰阡J角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式40．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十三：最大角問題例37．（2023·全國·高三專題練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大．”如圖，其結論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點P在x軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7例38．（2023·全國·高三專題練習）設中，內角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例39．（2023·江西上饒·高三上饒中學?？计谥校┰凇鰽BC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，當tan(A－B)取最大值時，角C的值為A． B． C． D．變式41．（2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（

）

A． B． C． D．變式42．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）如圖：已知樹頂A離地面米，樹上另一點離地面米，某人在離地面米的處看此樹，則該人離此樹（）米時，看A、的視角最大.A．4 B．5 C．6 D．7題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題例40．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考階段練習）內一點O，滿足，則點O稱為三角形的布洛卡點．王聰同學對布洛卡點產生興趣，對其進行探索得到許多正確結論，比如，請你和他一起解決如下問題：(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，，證明：；(2)在（1）的條件下，若的周長為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．例41．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末）十七世紀法國數(shù)學家皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當三角形有一內角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在中，已知，，，且點在線段上，且滿足，若點為的費馬點，則（

）A． B． C． D．例42．（2023·全國·高三專題練習）點在所在平面內一點，當取到最小值時，則稱該點為的“費馬點”.當?shù)娜齻€內角均小于時，費馬點滿足如下特征：.如圖，在中，，，則其費馬點到三點的距離之和為（

）A．4 B．2C． D．變式43．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）拿破侖·波拿巴最早提出了一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點”.在△ABC中，已知，且，，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的邊長為（

）A．3 B．2 C． D．變式44．（2023·河南·高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點．在中，已知，，外接圓的半徑為，現(xiàn)以其三邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積為（

）A．3 B．2 C． D．題型十五：托勒密定理及旋轉相似例43．（2023·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B．16 C． D．12例44．（2023·全國·高三專題練習）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．例45．（2023·全國·高三專題練習）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（

）A． B． C． D．變式45．（2023·江蘇·高一專題練習）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當變化時，對角線BD的最大值為（）A．4 B． C． D．變式46．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學?？茧A段練習）在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點，，兩點在直線的兩側).當角變化時，線段長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．9變式47．（2023·全國·高一專題練習）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點，、兩點在直線的兩側）.當變化時，線段長的最大值為（

）A． B． C． D．變式48．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（）A． B． C． D．題型十六：三角形中的平方問題例46．（2023·全國·高三專題練習）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A． B． C． D．例47．（2023·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.例48．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預測）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中