利用基本不等式解高考選做題

利用基本不等式解高考選做題引入：用基本不等式證明不等式用基本不等式證明不等式，要分析不等式的左右結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件．【例1】已知a，b，c都是實(shí)數(shù)．求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.證明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ②在①式兩邊同時(shí)加上(a2＋b2＋c2)得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2. ③在②式兩邊同時(shí)加上2(ab＋bc＋ca)得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. ④∴由③④可得a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.方法點(diǎn)評(píng)：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危侠順?gòu)造“和式”與“積式”的互化，必要時(shí)可多次應(yīng)用．變式訓(xùn)練1．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.證明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時(shí)取等號(hào)．高考銜接（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理））（不等式選講）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡(jiǎn)整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論.(2)證，也即證可分別證然后相加即得.證明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2aca2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因?yàn)閑q\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，∴…………③∴原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c,時(shí)，③式等號(hào)成立.即當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)原式等號(hào)成立.(2014年遼寧卷16題)16.對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，且使最大時(shí)，的最小值為.解法1填－2.(柯西不等式)∵，∴，由柯西不等式得，，故當(dāng)|2a＋b|最大時(shí)，有，∴，代入已知得，∴，當(dāng)時(shí)，取得最小值為－2.類似的，還可以這樣構(gòu)造式子：，所以，剩下的步驟和解法1相同.解法2填－2.（求解對(duì)照）∵，∴，則，當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，即取到最大值，將代入中，解得，下面步驟與解法1步驟一樣.這種解法較為簡(jiǎn)單，容易理解，所以推薦這種解法.解法3填－2.（判別式法）設(shè)t＝2a＋b，則b＝t－2a，代入式子中，整理可得要保證關(guān)于a的方程有解，則△＝，整理解t，，即，而只有△＝0時(shí)，等號(hào)成立，即使最大，此時(shí)，，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，上式取得最小值，解得，，所以當(dāng)，，時(shí)，的最小值為－2.解法4填－2.（換元法）∵，∴，設(shè)，，則，，代入式子中，所以.當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，整理得，代入到已知等式中解得，所以，當(dāng)時(shí)，上式取得最小值，解得，，所以當(dāng)，，時(shí)，的最小值為－2.解法5填－2.（齊次—均值不等式法）令，由已知可得，所以，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)即或（舍）時(shí)，等式成立，所以，即時(shí)，取到最大值，將代入中，解得，下面步驟與其他解法步驟一樣.點(diǎn)評(píng)：（1）本題涉及到柯西不等式，二次函數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，（2）解法1涉及4個(gè)步驟：構(gòu)造式子，利用柯西不等式求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法2涉及4個(gè)步驟：變形化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法3涉及5個(gè)步驟：設(shè)，化簡(jiǎn)整理，用△判斷方程有解的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法4涉及7個(gè)步驟：變形，設(shè)，化簡(jiǎn)，求三角函數(shù)最值，討論等號(hào)取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法5涉及7個(gè)步驟：設(shè)，比值，化簡(jiǎn)，用均值定理求最值，判定等號(hào)成立條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；從以上步驟過(guò)程可以看出不管用哪一個(gè)理論都是將要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問(wèn)題.（3）可涉及到化歸與轉(zhuǎn)化思想等基本思想，考查了抽象概括能力、運(yùn)算求解能力.（4）柯西不等式是非常著名的不等式，在高中不等式問(wèn)題中出現(xiàn)越來(lái)越多與之有關(guān)的應(yīng)用，柯西不等式往往在解決較為復(fù)雜的不等式問(wèn)題上可以收到事半功倍效果.雖然在考綱和考試說(shuō)明中對(duì)柯西不等式的要求僅為“