兩個(gè)重要極限課件

第四節(jié)兩個(gè)重要極限第四節(jié)兩個(gè)重要極限1兩個(gè)重要的極限§1-4兩個(gè)重要的極限§1-42預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)y=logex，叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡(jiǎn)記為y=lnx.數(shù)e

是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的前八位數(shù)是：e=2.7182818

預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)33.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)44.極限的運(yùn)算法則4.極限的運(yùn)算法則51.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅰ滿足下列條件:如果數(shù)列那么數(shù)列的極限存在,且}{}{},{nnnzyx及一、極限運(yùn)算準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅰ滿足下列條件:如果數(shù)列那么數(shù)列的極限存在6x

10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998x－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一個(gè)重要極限x10.7OxBACD證OxBACD證8解這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用例1求解這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用例1求9例2注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：例2注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：10練習(xí)1.求下列極限:練習(xí)1.求下列極限:11兩個(gè)重要極限ppt課件12

例3解例4解例3解例4解13思考題思考題14練習(xí)3：下列等式正確的是（）

．

練習(xí)4：下列等式不正確的是（）練習(xí)3：下列等式正確的是（）．練習(xí)4：下列等式15練習(xí)5.下列極限計(jì)算正確的是（）練習(xí)6.已知當(dāng)（）時(shí)，為無(wú)窮小量.

練習(xí)5.下列極限計(jì)算正確的是（）練習(xí)6.已知16，當(dāng)

時(shí)，為無(wú)窮小量．

練習(xí)7.已知練習(xí)8.練習(xí)9.，當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮172.單調(diào)有界準(zhǔn)則幾何解釋:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界有極限有界2.單調(diào)有界準(zhǔn)則幾何解釋:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有18

x

-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

x

10100100010000100000…

2.5942.7052.7172.7182.71827第二個(gè)重要極限x-10-100-1019兩個(gè)重要極限ppt課件20兩個(gè)重要極限ppt課件21解因?yàn)樗裕欣?解因?yàn)樗?，有?22例2

解

方法一令u=-x，因?yàn)閤0時(shí)u0，所以例2解方法一令u=-x，因?yàn)閤023方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量24例3解

例3解25練習(xí)1.解練習(xí)1.解26練習(xí)2.解練習(xí)2.解27兩個(gè)重要極限:小結(jié)兩個(gè)重要極限:小結(jié)28練習(xí)題練習(xí)題29兩個(gè)重要極限ppt課件30思考題解因?yàn)樗粤顄=x

-3

，當(dāng)x

時(shí)u

，因此思考題解因?yàn)樗粤顄=x-3，當(dāng)x31第一章作業(yè)2作業(yè)第一章作業(yè)2作業(yè)32附錄兩個(gè)重要極限的證明附錄兩個(gè)重要極限的證明33OxRABC證

AOB面積<扇形AOB面積<AOC面積,即例兩個(gè)重要極限的證明OxRABC證AOB面積<扇形AOB面積<34因?yàn)樗栽俅芜\(yùn)用定理6即可得≤≤因?yàn)?5重要極限1

其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.證設(shè)圓心角過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，又作則sinx=BD，tanx=AC，重要極限1其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.證設(shè)圓心角36兩個(gè)重要極限ppt課件37這就證明了不等式(7).從而有這就證明了不等式(7).從而有38兩個(gè)重要極限ppt課件39重要極限2證重要極限2證40兩個(gè)重要極限ppt課件41這是重要極限2常用的另一種形式.這是重要極限2常用的另一種形式.42分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解。極限綜合練習(xí)題(一)

分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母43兩個(gè)重要極限ppt課件44例3求下列極限：例3求下列極限：45解：當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)，當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),解：當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)，當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),46例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的極限過(guò)程中，分子、分母的極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：①若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是無(wú)理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。例5求下列極限分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的47解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。48求解。又當(dāng)x→0時(shí)，ax→0，bx→0，于是有求解。又當(dāng)x→0時(shí)，ax→0，bx→0，于是有49分析：當(dāng)x→0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1個(gè)重要極限。分析：當(dāng)x→0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函50兩個(gè)重要極限ppt課件51解法2：解法2：52分析：當(dāng)x→0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍７治觯寒?dāng)x→0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用53解：因當(dāng)x→∞時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則求解，考慮到解：因當(dāng)x→∞時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法54兩個(gè)重要極限ppt課件55解1.求極限:極限綜合練習(xí)題(二)

解1.求極限:極限綜合練習(xí)題(二)

56解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即2.求下列極限：解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即2.求下列57解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即3.求下列極限：解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第58分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來(lái)計(jì)算。解：分子分母同除以x15，有分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用上59=22+1=5解5.求=22+1=5解5.求60解6.求極限解6.求極限61解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是，分式分母的最高次項(xiàng)是，所以7.求極限解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是628.求極限8.求極限639.設(shè)函數(shù)問(wèn)：（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在x=0右連續(xù)；（2）a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處有極限存在；（3）當(dāng)a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。處右連續(xù)。在時(shí)，。故當(dāng)，從而，，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(====?==