常用邏輯用語復(fù)習(xí)

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常用邏輯用語命題及其關(guān)系簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞四種命題充分條件與必要條件量詞全稱量詞存在量詞含有一個量詞的否定或且非并集交集補集命題的形式：“若P,則q”也可寫成“如果P,那么q”

的形式也可寫成“只要P,就有q”

的形式

通常,我們把這種形式的命題中的P叫做命題的條件,q叫做結(jié)論.用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題．1.1.1命題其中判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題．條件Ｐ的否定，記作“

Ｐ”。讀作“非Ｐ”。若p則q逆否命題：原命題：逆命題：否命題：若q則p若

p則

q若

q則

p

四種命題結(jié)論1：要寫出一個命題的另外三個命題關(guān)鍵是分清命題的題設(shè)和結(jié)論（即把原命題寫成“若P則q”的形式）注意：三種命題中最難寫的是否命題。結(jié)論2：（1）“或”的否定為“且”，（2）“且”的否定為“或”，（3）“都”的否定為“不都”。四種命題之間的關(guān)系原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互逆互否互否互逆互為逆否（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。

(1)原命題與逆否命題同真假。(2)原命題的逆命題與否命題同真假。（1）原命題為真，則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真。命題真假性判斷結(jié)論：充分條件與必要條件一般地，“若p則q”為真命題，我們就說由p可推出q，則記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果pq，且qp，那么就說：p是q的充分且必要條件，簡記充要條件；

“若p則q”為假命題，我們就說由p推不出q，則記作pq，并且說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件；①從命題角度看若把命題中的條件與結(jié)論分別記作p與q,則原命題與逆命題同p與q之間有如下充要關(guān)系：㈠若原命題是真命題,逆命題是假命題,那么p是q的充分不必要條件㈡若原命題是假命題,逆命題是真命題,那么p是q的必要不充分條件㈢若原命題和逆命題都是真命題,那么p和q互為充要條件㈣若原命題和逆命題是假命題,那么p是q的既不充分也不必要條件充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件pqq

ppqpqpqpqq

Ppqq

p即:即:即:即:

⑴p是q的充分不必要條件，相當(dāng)于,如右圖:

⑵p是q的必要不充分條件，相當(dāng)于,如左圖:⑶q

P相當(dāng)于

P=Q

,即:互為充要條件的兩個事物表示的是——同一事物。如右圖:

②從集合角度看簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

一般地,用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來.就得到一個新命題,記作

讀作“p且q”.規(guī)定:當(dāng)p,q都是真命題時,是真命題;當(dāng)p,q兩個命題中有一個命題是假命題時,是假命題.全真為真,有假即假.

一般地,用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來.就得到一個新命題,記作規(guī)定:當(dāng)p,q兩個命題中有一個是真命題時,是真命題;當(dāng)p,q兩個命題中都是假命題時,是假命題.全假為假,有真即真.

一般地,對一個命題p全盤否定,就得到一個新命題,記作

若p是真命題,則必是假命題;若p是假命題,則必是真命題.讀作”非p”或”p的否定”理解對命題中關(guān)鍵詞的否定：關(guān)鍵詞等于大于小于是都是至少一個至多一個任意…P或QP且Q否定不等于不大于不小于不是不都是一個沒有至少兩個存在…非P且非Q非P或非Q全稱量詞與存在量詞常見的全稱量詞有:“對所有的”,“對任意一個”,“對一切”,“對每一個”,“任給”,“所有的”等.

短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題.

全稱命題“對M中任意一個x有p(x)成立”可用符號簡記為讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”.

常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“有的”“對某個”等.

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯上通常叫做存在量詞,并用符號“”表示.含有存在量詞的命題,叫做特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個x,使p(x)成立”可用符號簡記為讀做“存在一個x,使p(x)成立”.含有一個量詞的命題的否定

從命題形式上看,這三個全稱命題的否定都變成了特稱命題.

一般地,對于含有一個量詞的全稱命題的否定,有下面的結(jié)論:全稱命題p:全稱命題的否定是特稱命題.從命題形式上看,這三個特稱命題的否定都變成了全稱命題.一般地,對于含有一個量詞的特稱命題的否定,有下面的結(jié)論:特稱命題它的否定從命題形式上看,這三個特稱命題的否定都變成了全稱命題.一般地,對于含有一個量詞的特稱命題的否定,有下面的結(jié)論:特稱命題特稱命題的否定是全稱命題.例題選講例1、分別寫出由下列各種命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命題：

（1）p：平行四邊形對角線相等；

q：平行四邊形對角線互相平分。p或q：平行四邊形對角線相等或互相平分p且q：平行四邊形對角線相等且互相平分非p：平行四邊形對角線不一定相等（２）p：10是自然數(shù)

q：10是偶數(shù)p或q：10是自然數(shù)或是偶數(shù)p且q：10是自然數(shù)且是偶數(shù)非p：10不是自然數(shù)例2．分別指出下列命題的構(gòu)成形式并判斷命題的真假：（１）x=2或x=3是方程x2

5x+6=0的根（２）

既大于3又是無理數(shù)（３）直角不等于90

（４）x+1≥x

3（５）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧例3．把下列改寫成“若p則q”的形式，并判斷它們的真假：

（１）實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)。（２）等底等高的兩個三角形是全等三角形。（３）被6整除的數(shù)既被3整除又被2整除。（４）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧。若一個數(shù)是實數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù)。（真命題）若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形。（假命題）若一個數(shù)能被6整除，則它能被3整除又能被2整除。（真命題）若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧。（真命題）例4．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷真假：（１）面積相等的兩個三角形是全等三角形。（２）若x=0，則xy=0。（３）當(dāng)c<0時，若ac>bc，則a<b。（４）若mn<0，則方程mx2

x+n=0有兩個不相等的實數(shù)根。（１）面積相等的兩個三角形是全等三角形。解：逆命題：兩個全等三角形面積相等。（真命題）否命題:面積不等的兩個三角形不是全等三角形.(真命題）逆否命題：不全等的兩個三角形面積不相等。（假命題）（２）若x=0，則xy=0。解：逆命題：若xy=0，則x=0。（假命題）否命題：若x

0，則xy

0。（假命題）逆否命題：若xy

0，則x

0。（真命題）(3)當(dāng)c<0時，若ac>bc，則a<b。解：逆命題：當(dāng)c<0時，若a<b，則ac>bc。（真命題）否命題：當(dāng)c<0時，若ac≤bc，則a≥b。（真命題）逆否命題：當(dāng)c<0時，若a≥b，則ac≤bc。（真命題）(4)若mn<0，則方程mx2

x+n=0有兩個不相等的實數(shù)根。解：逆命題：若方程mx2

x+n=0有兩個不等實數(shù)根，則mn<0。（假命題）否命題：若mn≥0，則方程mx2

x+n=0沒有兩個不等實數(shù)根。（假命題）逆否命題：若方程mx2

x+n=0沒有兩個不等實數(shù)根，則mn≥0。（真命題）例5．指出下列各組命題中p是q的什么條件（充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件）：（１）p：a2>b2

q：a>b

則p是q的（）（２）p：{x|x>

2或x<3}q：{x|x2

x

6<0}則p是q的（）（３）p：a與b都是奇數(shù)q：a+b是偶數(shù)則p是q（）（４）p：0<m<１/３

q：方程mx2

2x+3=0有兩個同號且不相等的實數(shù)根，則p是q的（）既不充分也不必要條件。必要而不充分條件充分不必要條件。充要條件例6．判斷下列命題的真假：(1)(x

2)(x+3)=0是(x

2)2+(y+3)2=0的充要條件。(2)x2=4x+5是x

＝x2的必要條件。(3)內(nèi)錯角相等是兩直線平行的充分條件。(4)ab<0是|a+b|<|a

b|的必要而不充分條件。(1)是假命題。反例；若x=2,y

3(2)是假命題.{x|x2=4x+5}={

1,5}{x|x＝x2}={0,5}(3)是真命題。

(4)是假命題。|a

b|>|a+b|≥0(a

b)2>(a+b)2

a2

2ab+b2>a2+2ab+b2

4ab<0

ab<0∴(ab<0是|a+b|<|a

b|的充要條件)例7．用量詞符號“

”，“

”表達(dá)下列問題１、凸n邊形的外角和等于２π；２、不等式的解集為A，則A

R；３、有的向量方向不定；４、至少有一個實數(shù)不能取對數(shù)；(1)

x∈{凸n邊形}，x的外角和等于２π；(2)A={不等式的解}，AR；(3)

0∈{向量}，0的方向任意；(4)x∈R，x不能取對數(shù)；例8．寫出下列命題的否定(1