彈性變形能應變能

彈性變形能應變能2023/8/141第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)

軸向拉（壓）桿Ⅰ應變能（1）線彈性體1.基本變形形式【材料力學（Ⅰ）】

利用應變能在數(shù)值上等于外力功W，可得2023/8/142第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

(b)

扭轉2023/8/143第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(c)彎曲純彎曲

2023/8/144第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月彎曲應變能各種基本變形的應變能統(tǒng)一表達式：MM

d

MMdx橫力彎曲對于細長梁來說一般可略去剪切應變能2023/8/145第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

也可以把應變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個力,一個力偶,一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移,一個角位移,一對線位移或一對角位移等。拉壓扭轉彎曲內(nèi)力FNTM剛度EAGIPEI2023/8/146第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月1.構件上有一組廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）CwCFEIABMel/2l/2qA,2023/8/147第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

Fi

為廣義力，Di

為Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。

2.組合變形（用內(nèi)力形式表示的應變能）M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉角

小變形時不計FS

產(chǎn)生的應變能，F(xiàn)N

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉角有n個廣義力同時作用時2023/8/148第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月對于dx微段，F(xiàn)N(x),T(x),M(x)

均為外力。略去高階微量后，dx段的應變能為桿的應變能為2023/8/149第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)由于應變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應變能，不等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應變能之和。小變形時，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應變能等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應變能之和。3.應變能的特點:EAF2F1ab例F1F2Me2023/8/1410第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月應變能與內(nèi)力（或載荷）不是線性關系，故多個載荷作用時，求應變能不可隨意用疊加法。注意組合變形分解為各基本變形后（互不偶合），分別計算并求和：變形能與加載次序無關；相互獨立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。2023/8/1411第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)

應變能的大小與加載順序無關（能量守恒）F

和Me

同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡單加載。

在線性彈性范圍時，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)2023/8/1412第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

先加F,再加Me

(圖b，c)式中，為力F在由Me產(chǎn)生的C點處的撓度上作功，所以無系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),還可以先加Me

，再加F，得到的應變能和以上的值相同。2023/8/1413第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月FSMNMTAAFNBjT例1圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力P的作用，求A點的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應變能）①求內(nèi)力AFR2023/8/1414第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月③外力功等于應變能②變形能：2023/8/1415第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

Ⅱ.余能

圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F－D和s－e關系如圖b,c所示。（1）余功的定義為2023/8/1416第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc

和外力功W

具有相同的量綱，且Wc

為矩形OF1aD1

的面積與曲面OaD1

的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc

為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc。FF1WcaWD1Do(d)2023/8/1417第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

余能密度為

（3－8）(3－7)和（3－8）式，分別以F和s為自變量，D=f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)

為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）線彈性體（圖e）Ve和Vc

數(shù)值相等，但概念和計算方法不同，即Ve=f(D),Vc=

f(F)。仿照,余能為（3－7）（2）余能（3－9）余能為2023/8/1418第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

例圖a中兩桿的長度均為l,橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的s－e關系如圖b

所示。求結構的余能。

解：該題為物理非線性問題，需用