不定積分的計(jì)算課件

不定積分的計(jì)算一、第一換元積分法二、第二換元積分法三、分部積分法1不定積分的計(jì)算一、第一換元積分法二、第二換元積分法三、分部積問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，設(shè)置中間變量.過(guò)程令說(shuō)明結(jié)果正確一、第一換元積分法2問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，設(shè)置中間變量.過(guò)程令對(duì)于形如的積分，設(shè)如果連續(xù)，且則該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明這種積分方法也叫做“湊微分法”。3對(duì)于形如的積分，設(shè)如果連續(xù)，且則該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明定理1可導(dǎo),則有換元公式設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=

(x)連續(xù)如何應(yīng)用上述公式來(lái)求不定積分?

則使用此公式的關(guān)鍵在于將化為的形式，假設(shè)要求所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法.4定理1可導(dǎo),則有換元公式設(shè)f(u)具有原函數(shù)F例1求解u=2x+1,du=d(2x+1)

=2dx,則想到公式注意換回原變量5例1求解u=2x+1,du=d(2x例2求解：則想到公式6例2求解：則想到公式6

這種換元法又稱為湊微分法或配元法,即引進(jìn)一個(gè)新變量以代替原來(lái)的變量,對(duì)于變量代換熟練以后,可以不寫(xiě)出中間變量u.例1求解法二：7這種換元法又稱為湊微分法或配元法,即引進(jìn)例3求一般地,有8例3求一般地,有8例4求類似9例4求類似9例5求一般地,有10例5求一般地,有10例6

求解說(shuō)明:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)(如正弦函數(shù)和余弦函數(shù))相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.11例6求解說(shuō)明:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)(如正弦函數(shù)和余弦函數(shù))例7求12例7求12例8求一般地,有13例8求一般地,有13例9求一般地,有14例9求一般地,有14第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，卻沒(méi)有一般的法則可循．這種方法的特點(diǎn)是湊微分，要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如,等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子．15第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代例10求16例10求16例11求17例11求17例12求18例12求18例13求19例13求19例14求20例14求20例15求21例15求21解類似可得例16.

求22解類似可得例16.求22小結(jié)積分常用技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;湊微分法（陪元方法）(4)巧妙換元或配元。利用積化和差;分式分項(xiàng)等;利用倍角公式,如23小結(jié)積分常用技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(作業(yè)P1551(1)--(18)24作業(yè)P1551(1)--(18)24二、第二換元積分法設(shè)將積分化為若則若對(duì)結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，則可知其正確性。25二、第二換元積分法設(shè)將積分例1

求解令則于是26例1求解令則于是26例2

求解令27例2求解令27說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例3

求解令28說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式三、分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或

分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問(wèn)題的.29三、分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或分例1.

求解:令則原式=

分析：被積函數(shù)xlnx是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積,采用分部積分.30例1.求解:令則原式=分析：被積函數(shù)xlnx例2

求積分解（一）令顯然，

選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令

分析：被積函數(shù)xcosx是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積,采用分部積分.31例2求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積(1)v要容易求出;

容易積出.

分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇一般來(lái)說(shuō)，選取的原則是：32(1)v要容易求出;容易積出.分部積分公式運(yùn)用成敗的

解題技巧：

分部積分法求不定積分的關(guān)鍵是要確定u，由計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，可以得出以下順序：“反（反三角函數(shù)）、對(duì)（對(duì)數(shù)函數(shù)）、冪（冪函數(shù)）、指（指數(shù)函數(shù)）、三（三角函數(shù)）”，當(dāng)兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時(shí)，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為u.即把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按

“

反對(duì)冪指三”的順序,前者為后者為33解題技巧：分部積分法求不定積分的例3.

求解:

令,則原式=34例3.求解:令,則原式=34例4求解設(shè)u=arctanx,v′=x,則“

反對(duì)冪指三”前者為后者為35例4求解設(shè)u=arctanx,v′=例5求解設(shè)u=lnx,dv=dx,則“

反對(duì)冪指三”前者為后者為36例5求解設(shè)u=lnx,dv=dx,例6求設(shè)u=x2,,

則du=2xdx,v=-cosx,于是解：37例6求設(shè)u=x2,例7求

上式最后一項(xiàng)正好是所求積分,移到等式左邊然后除以2,可知exsinx的一個(gè)原函數(shù)為38例7求上式最后一項(xiàng)正好是所求積分,移說(shuō)明:分部積分題目的主要類型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型要一致,

解出積分后加C)39說(shuō)明:分部積分題目的主要類型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2不定積分計(jì)算練習(xí)題40不定積分計(jì)算練習(xí)題404141例1

求解:

令則故原式注意換回原變量想到公式42例1求解:令則故原式注意換回原變量想到公式42例2求解u=2x+1,du=2dx,則想到公式43例2求解u=2x+1,du=2dx例3求例4求例5求44例3求例4求例5求44例6求