同濟(jì)版大一高數(shù)第十章習(xí)題課課件

高等數(shù)學(xué)第十八講1高等數(shù)學(xué)第十八講1習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用第十章重積分的計算及應(yīng)用2習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法——累次積分法3一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或質(zhì)心公式簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號練習(xí)題4.利用重積分換元公式P1811(總習(xí)題十);P1824,7(2),9解答提示:(接下頁)4二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順1、二重積分的定義定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積．二重積分是柱體的體積的負(fù)值．51、二重積分的定義定義:將區(qū)域D任意分成n個小區(qū)域任性質(zhì)１為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４為D的面積若性質(zhì)５若在D上，6性質(zhì)１為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）7性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）7特別：輪換對稱：

若D關(guān)于直線對稱，則.例如計算：8特別：輪換對稱：若D關(guān)于直線對稱，則.例如計算：8４、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y軸（１）直角坐標(biāo)系下

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線［Y－型］的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).9４、二重積分的計算［X－型］X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域（２）極坐標(biāo)系下10（２）極坐標(biāo)系下10兩個方面。1．若關(guān)于軸對稱，時，當(dāng)時，運(yùn)用對稱性時，當(dāng)則有必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的對稱性要相匹配，才能利用對11兩個方面。1．若關(guān)于軸對稱，時，當(dāng)6、重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面面積126、重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面(3)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度13(3)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.(4)轉(zhuǎn)動慣量14如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.((4)轉(zhuǎn)動慣量15(4)轉(zhuǎn)動慣量15例1計算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續(xù),所以16例1計算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續(xù),所以16解例2.17解例2.17解例3.18解例3.18例4.計算其中解:對于含有絕對值的函數(shù),通常分區(qū)域積分原式=利用極坐標(biāo)19例4.計算其中解:對于含有絕對值的函數(shù),通常分區(qū)域例5.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.20例5.計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例5.

計算二重積分其中:(2)D由直線圍成.21(2)積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成在第一象限部分.其中D為圓域22(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以解：例6計算用極坐標(biāo)計算。對稱。如圖D是關(guān)于直線23解：例6計算用極坐標(biāo)計算。對稱。如圖D是關(guān)于直線2例7.

計算積分解:原式24例7.計算積分解:原式24例8計算，其中解：25例8計算，其中解：256、三重積分的定義定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作266、三重積分的定義定義.設(shè)存在,稱為體積元素,若對7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．277、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域9、三重積分的計算28投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域9、三重積分的計算28方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為記作29方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱(２)柱面坐標(biāo)(３)球面坐標(biāo)30(２)柱面坐標(biāo)(３)球面坐標(biāo)30例如計算：設(shè)輪換對稱：31例如計算：設(shè)輪換對稱：315)已知則提示:其形心為其體積為325)已知則提示:其形心為其體積為326)設(shè)在柱坐標(biāo)系下,有則提示:336)設(shè)在柱坐標(biāo)系下,有則提示:33例1：計算解由輪換對稱有設(shè)34例1：計算解由輪換對稱有設(shè)34

解例2被積函數(shù)僅為z的函數(shù)，截面為圓域：故采用“先二后一”的方法。35解例2被積函數(shù)僅為z的函數(shù)，截面為圓域：故采用“先二后一”例3.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,36例3.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,36三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面37三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域)例3.計算其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。解：繞軸旋轉(zhuǎn)得

由旋轉(zhuǎn)面方程為所圍成的立體如圖.與兩平38例3.計算其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。解：解法1.用“先二后一”計算例4.計算其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。與兩平旋轉(zhuǎn)面方程為39解法1.用“先二后一”計算例4.計算其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所圍成立體的投影區(qū)域如圖，解法2.(用柱坐標(biāo)計算)旋轉(zhuǎn)面方程為40所圍成立體的投影區(qū)域如圖，解法2.(用柱坐標(biāo)計算)旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面方程為41旋轉(zhuǎn)面方程為41或旋轉(zhuǎn)面方程為42或旋轉(zhuǎn)面方程為427(1).計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.P124437(1).計算積分其中是兩個球(R>0)的公7(3).計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183原式＝447(3).計算三重積分其中是由xoy平面上曲線所圍成7(3).計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:原式繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183利用柱坐標(biāo)457(3).計算三重積分其中是由xoy平面上曲線所圍成證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1824.46證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P18(2)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度47(2)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片例1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,矩形薄片的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:建立坐標(biāo)系如圖.由對稱性知由此解得問接上去的均勻即有使整個薄片的形心恰好落在圓心上,48例1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個例2.在半徑為體質(zhì)心位于球心上，該圓柱體的高應(yīng)為多少？，以大圓為xoy平面，球心在原點(diǎn)，，故在球面坐標(biāo)系中解得。的均勻半球體的大圓上接一個半徑與球的半徑相等材料相同的均勻圓柱體，使拼接后的立解：設(shè)高為密度為49例2.在半徑為體質(zhì)心位于球心上，該圓柱體的高應(yīng)為多少？，以例3.計算二重積分解:其中利用對稱性分區(qū)域D為(如圖),則用形心公式50例3.計算二重積分解:其中利用對稱性分區(qū)域D為(如圖)例4設(shè)積分域D是以原點(diǎn)為中心,半徑為r的圓域